數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)教學(xué)中的PIPA過(guò)程

譚友軍

摘 要：本文介紹了在數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)教學(xué)中遵循的“問(wèn)題（Problem）-直覺(jué)（Intuition）-證明（Proof）-應(yīng)用（Applications）”（PIPA）過(guò)程。這種PIPA過(guò)程有助于學(xué)生理解概念，培養(yǎng)抽象思維能力和數(shù)學(xué)證明能力，為后繼課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；教學(xué)；PIPA

一、引言

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)本科一年級(jí)主干課程之一，是后繼專業(yè)課程的基礎(chǔ)。線性代數(shù)抽象程度高，理論體系復(fù)雜，一直是公認(rèn)的教學(xué)難度較大的課程[1]。對(duì)于普通數(shù)學(xué)專業(yè)一年級(jí)新生來(lái)說(shuō)，由于沒(méi)有足夠的物理、幾何和其他應(yīng)用學(xué)科方面的背景，而且缺乏數(shù)學(xué)證明（mathematical proving）方面的經(jīng)驗(yàn)，所以他們要理解線性代數(shù)中的基本概念和大量解決問(wèn)題的方法是很有難度的。一般教科書中的“定義—引理—證明—定理—證明—推論”（DLPTPC）模式對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)是糟糕的體驗(yàn)[2]。因此，關(guān)于線性代數(shù)的教學(xué)研究一直是很活躍的[3-7]。

近年來(lái)，我們?cè)跀?shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)教學(xué)中進(jìn)行了一些探索，在進(jìn)行基本概念和基本理論教學(xué)時(shí)主要遵循“問(wèn)題（Problem）—直覺(jué)（Intuition）—證明（Proof）—應(yīng)用（Applications）”（PIPA） 的過(guò)程。我們知道，線性代數(shù)主要概念來(lái)自于分析、幾何、物理、代數(shù)以及一些應(yīng)用學(xué)科中的具體問(wèn)題。所以，我們堅(jiān)持在介紹新的概念之前力爭(zhēng)把相關(guān)問(wèn)題、背景講解清楚，使學(xué)生了解代數(shù)抽象過(guò)程的必要性。我們通常在提出具體問(wèn)題之后，鼓勵(lì)學(xué)生先對(duì)相應(yīng)的問(wèn)題根據(jù)直覺(jué)自己解答，這類似于Mazur的polling方法[1]。學(xué)生直覺(jué)是否正確并不是重要的，但是將有助于學(xué)生積極參與教學(xué)過(guò)程，并逐漸意識(shí)到知識(shí)積累對(duì)解決問(wèn)題的重要性。線性代數(shù)是一門證明課程 （proving course）[2]，我們?cè)诮榻B了關(guān)于某個(gè)問(wèn)題或概念的結(jié)論后，首先強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)證明的必要性，然后再?gòu)?qiáng)調(diào)證明過(guò)程中所用的方法?；靖拍詈徒Y(jié)論的應(yīng)用可以是適當(dāng)?shù)睦}和習(xí)題，也可以是對(duì)定理的補(bǔ)充討論。上述PIPA過(guò)程適用于線性代數(shù)的大多數(shù)基本概念和基本理論教學(xué)，有助于學(xué)生理解抽象概念的來(lái)龍去脈，提高解決問(wèn)題的能力。另外，一次PIPA過(guò)程的結(jié)束，往往會(huì)在“應(yīng)用”階段產(chǎn)生新的“問(wèn)題”，從而又是一次新的PIPA過(guò)程的開始。

二、PIPA過(guò)程

1.問(wèn)題

線性代數(shù)基本概念來(lái)源于一些較為具體的問(wèn)題，從具體問(wèn)題著手無(wú)疑會(huì)幫助學(xué)生理解抽象概念，并產(chǎn)生研究抽象概念的興趣。同時(shí)，線性代數(shù)的主要概念之間有很強(qiáng)的內(nèi)在聯(lián)系，以至于可以從線性代數(shù)的任意基本概念開始教學(xué)。

為了引入抽象概念，我們?cè)诮榻B具體問(wèn)題時(shí)充分利用學(xué)生已經(jīng)掌握的概念，選擇學(xué)生相對(duì)說(shuō)來(lái)容易理解的問(wèn)題。例如，為了引入矩陣的秩，我們提出的問(wèn)題是如何求一個(gè)向量組的秩；為了引入向量組的秩，我們提出的問(wèn)題是如何判斷一個(gè)向量組的線性相關(guān)性；為了引入向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)，我們提出的問(wèn)題是如何刻畫零向量由已知向量組線性表出的方式；為了引入線性表出的概念，我們提出的問(wèn)題是如何用向量的語(yǔ)言來(lái)描述線性方程組解的存在性；為了引入任意數(shù)域上的向量，我們提出的問(wèn)題是如何解釋Gauss消元法得到的關(guān)于線性方程組的結(jié)論（我們強(qiáng)調(diào)，由于在運(yùn)用Gauss消元法時(shí)所采取的步驟沒(méi)有唯一性，所以學(xué)生需要理解這種表面上看起來(lái)的非唯一性是否是本質(zhì)的）。這樣一來(lái)，學(xué)生可以弄清這些抽象概念的來(lái)源，從而深刻理解引入這些概念的必要性。我們認(rèn)為，如果沒(méi)有引入相對(duì)來(lái)說(shuō)較為具體的問(wèn)題，而是像教科書上那樣直接寫出諸如線性無(wú)關(guān)之類的定義，那么大多數(shù)學(xué)生理解起來(lái)是很有難度的。即使在寫出定義之后再舉出若干例子，也未必能取得很好的效果，因?yàn)閷W(xué)生很可能一開始就對(duì)直接給出的概念產(chǎn)生抵觸情緒。

與其他一些專業(yè)課程不同的是，線性代數(shù)的某些抽象概念來(lái)自于學(xué)生實(shí)際上還沒(méi)有學(xué)過(guò)的課程。這是在選擇問(wèn)題時(shí)我們遇到困難的主要原因。例如，盡管學(xué)生在中學(xué)階段對(duì)二元或三元方程組有所了解，但是，由于缺乏諸如運(yùn)籌學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)等方面的知識(shí)，大多數(shù)學(xué)生難以想象未知數(shù)和方程個(gè)數(shù)很多的線性方程組的存在性，從而難以理解教科書上直接給出的、由含n個(gè)未知數(shù)的m個(gè)線性方程組成的線性方程組。由于學(xué)生還沒(méi)有理解更為抽象的向量空間的概念，單純用解析幾何引入線性方程組的做法是不可取的（此時(shí)，學(xué)生對(duì)空間解析幾何也了解得不多）。又比如，像數(shù)域這樣非?；镜母拍?，由于學(xué)生缺乏數(shù)論、代數(shù)幾何方面的知識(shí)，他們難以理解引入數(shù)域的必要性。

對(duì)于上述困難，一方面我們適當(dāng)介紹一些后繼課程的基本研究?jī)?nèi)容（如數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的最小二乘法），幫助學(xué)生理解復(fù)雜線性方程組的存在性和重要性；另一方面，通過(guò)全面了解學(xué)生在數(shù)學(xué)分析、解析幾何等課程中的學(xué)習(xí)進(jìn)度來(lái)提取一些具體問(wèn)題。比如我們?cè)谥v解二次型理論時(shí)，由于事先了解到學(xué)生在數(shù)學(xué)分析中已經(jīng)學(xué)過(guò)多元函數(shù)的極值，我們利用多元函數(shù)極值點(diǎn)的判別問(wèn)題引入正定、負(fù)定的概念，使學(xué)生明白研究正（負(fù)）定的實(shí)對(duì)稱矩陣是有意義的。

2.直覺(jué)

我們?cè)诮虒W(xué)中提出具體問(wèn)題后，鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)自己的直覺(jué)直接給出對(duì)問(wèn)題的看法，從而激發(fā)學(xué)生積極參與進(jìn)一步討論的興趣，為抽象概念的引入或基本結(jié)論的導(dǎo)出做鋪墊。

為了達(dá)到激勵(lì)的目的，我們需要對(duì)某些問(wèn)題作適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，甚至只要求學(xué)生對(duì)一些特殊情形憑直覺(jué)給出解答。例如，在提出如何判斷任意數(shù)域上的兩個(gè)方陣是否相似這樣的大問(wèn)題后，我們提出的特殊情形下的問(wèn)題是：如何判斷一個(gè)方陣與單位陣相似？有的學(xué)生能很快根據(jù)相似的定義給出正確的回答。接下來(lái)，我們把單位陣換成數(shù)量陣、對(duì)角陣、三角陣，學(xué)生根據(jù)自己的直覺(jué)給出解答后，逐漸自主地意識(shí)到這種用相似的定義判別是否相似的方法不是優(yōu)的、一般的算法，從而為進(jìn)一步討論打下了基礎(chǔ)。

學(xué)生對(duì)問(wèn)題的直覺(jué)即使是不正確的，也會(huì)對(duì)他們掌握基本概念和基本結(jié)論有所幫助。例如，在問(wèn)到是否存在只有兩個(gè)解的線性方程組時(shí)，很多學(xué)生根據(jù)直覺(jué)回答存在。然后，我們引導(dǎo)學(xué)生再次回顧Gauss消元法，讓學(xué)生自己修正解答，并得到完整的正確結(jié)論。

3.證明

數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)力之一。與其他專業(yè)的線性代數(shù)教學(xué)不同的是，數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)教學(xué)的主要功能之一是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)證明意識(shí)和能力。大多數(shù)數(shù)學(xué)專業(yè)一年級(jí)學(xué)生缺乏對(duì)數(shù)學(xué)證明的必要性的足夠認(rèn)識(shí)，如很多學(xué)生容易混淆具體算法與證明的區(qū)別，從而難以理解諸如唯一性的結(jié)論的證明。另外，數(shù)學(xué)證明本身也會(huì)幫助學(xué)生理解抽象概念和一些基本結(jié)論。例如在可逆矩陣定義中，說(shuō)A可逆是指存在矩陣B使得AB=BA=E為單位陣。但是，我們又有如下的結(jié)論：方陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)存在方陣B使得AB=E或BA=E。很多學(xué)生感到困惑的是：根據(jù)這個(gè)結(jié)論，為什么不直接把定義中的“且”改成“或”呢？如果學(xué)生理解了可逆矩陣的唯一性的證明，那么這種困惑就會(huì)得到解決。再比如，像方陣的乘積的行列式等于行列式的乘積這樣深刻的定理（對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，矩陣乘積的定義與方陣的行列式的定義相差得太遠(yuǎn)了），如果對(duì)這個(gè)定理的證明過(guò)程沒(méi)有充分的認(rèn)識(shí)，那也將是難以理解的。

在提出問(wèn)題并且讓學(xué)生自己根據(jù)直覺(jué)得出一些解答后，我們通常通過(guò)共同演算導(dǎo)出正確的結(jié)論，或者直接以命題、定理的形式寫出正確的結(jié)論。由直接演算得到結(jié)論的過(guò)程就是證明。而且，線性代數(shù)中更多的基本結(jié)論的證明需要概念化而不是具體計(jì)算。所以，我們?cè)诮虒W(xué)中特別重視對(duì)那些概念化的證明的講解。首先，我們幫助學(xué)生進(jìn)一步熟悉那些定理或命題中涉及的概念。其次，我們強(qiáng)調(diào)所涉及的證明方法。例如，我們要求學(xué)生總結(jié)：哪些定理的證明運(yùn)用了第二歸納法、數(shù)域的擴(kuò)充（如實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的分類、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值問(wèn)題、λ-矩陣的應(yīng)用）等技巧。最后，我們通常會(huì)和學(xué)生討論定理或命題可以在什么程度上進(jìn)行推廣。

由于有些證明的技巧性太強(qiáng)，或者涉及的概念太多，有關(guān)定理或命題的證明的講解容易使學(xué)生感到氣餒。在這種情況下，我們通常先和學(xué)生討論出證明的主要步驟，然后把細(xì)節(jié)留給學(xué)生思考，必要時(shí)再一起補(bǔ)充完整，這樣就有可能增強(qiáng)學(xué)生的自信。

4.應(yīng)用

有關(guān)線性代數(shù)基本概念和基本結(jié)論的應(yīng)用主要是通過(guò)例題和習(xí)題來(lái)實(shí)現(xiàn)的。例題和習(xí)題的目的在于幫助學(xué)生自我確認(rèn)在多大程度上解決了開始提出的問(wèn)題（有些問(wèn)題需要在后繼課程中才能進(jìn)一步討論），以及對(duì)經(jīng)典方法（比如Gauss消元法、Schmidt正交化方法、第二歸納法等）的掌握程度。我們重視習(xí)題課的教學(xué)，盡量做到讓學(xué)生都有機(jī)會(huì)和教師交流自己的體會(huì)。

作為例題和習(xí)題教學(xué)的補(bǔ)充，我們也鼓勵(lì)學(xué)生從事一些大型的、需要協(xié)作的探究活動(dòng)。例如，我們鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)某些算法（如輾轉(zhuǎn)除法、Gauss消元法、求矩陣的逆等）進(jìn)行計(jì)算機(jī)編程。盡管線性代數(shù)中出現(xiàn)的絕大多數(shù)算法已經(jīng)有現(xiàn)成的package可用，但是學(xué)生自己的工作是有意義的。學(xué)生通過(guò)編程明白了困難所在，從而有可能激發(fā)他們的研究興趣。

在教學(xué)實(shí)踐中，我們通常會(huì)在應(yīng)用階段提出還沒(méi)有討論過(guò)的問(wèn)題，從而開始下一輪PIPA過(guò)程。

三、教學(xué)案例：矩陣的相似

按傳統(tǒng)教學(xué)方法，我們導(dǎo)出了矩陣相似的定義：矩陣的相似來(lái)自于有限維線性空間上線性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，關(guān)于矩陣相似的教學(xué)內(nèi)容主要集中在可對(duì)角化、特征值、特征向量、特征子空間、特征多項(xiàng)式、不變子空間、與準(zhǔn)對(duì)角陣相似、與三角陣相似、λ-矩陣?yán)碚?、有理?biāo)準(zhǔn)型與Jordan標(biāo)準(zhǔn)型等方面。我們不像教科書上那樣直接給出特征值、特征向量、不變子空間的定義，而是在討論可對(duì)角化、準(zhǔn)對(duì)角化問(wèn)題的過(guò)程中自然地引入。以下是我們連續(xù)進(jìn)行的幾個(gè)PIPA過(guò)程，其中的矩陣指的是數(shù)域F上的方陣。

P： 一般情況下，如何計(jì)算線性變換的核與像？

I： 在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，誘導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到線性變換在基下的矩陣的重要性。

P： 利用相似的概念，通過(guò)直接演算證明線性變換的核與像不依賴于基的選取，讓學(xué)生理解該結(jié)果與直覺(jué)的一致性。

A： 舉例說(shuō)明基的選取影響計(jì)算量，從而提出下面的問(wèn)題：

P： 如何選取有限維線性空間的基，使得某個(gè)線性變換在這個(gè)基下具有形式上較為簡(jiǎn)單的矩陣，比如說(shuō)對(duì)角陣或上三角陣？

I： 在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到討論矩陣的相似問(wèn)題的重要性。

P： 證明一些關(guān)于矩陣相似的必要條件的結(jié)論。

A： 給出一些矩陣不相似的例子。利用矩陣的列向量形式導(dǎo)出矩陣可對(duì)角化的必要條件，并特別強(qiáng)調(diào)上述問(wèn)題沒(méi)有得到完整解答。于是提出以下的問(wèn)題：

P： 上面得到的可對(duì)角化的必要條件是否也是充分的？

I： 在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生再次檢查原先的關(guān)于必要條件的計(jì)算，并注意可逆矩陣的列向量組線性無(wú)關(guān)。

P： 提出特征值、特征向量、特征子空間的概念，給出矩陣可對(duì)角化的、用特征向量來(lái)描述的充要條件，并完善上述證明過(guò)程。

A： 給出計(jì)算可對(duì)角化矩陣的多項(xiàng)式例子。導(dǎo)出線性變換的特征值、特征向量、特征子空間的定義，說(shuō)明如何利用矩陣來(lái)計(jì)算線性變換的特征值、特征向量和特征子空間。于是提出以下的問(wèn)題：

P： 對(duì)于給定數(shù)域F上的一個(gè)矩陣，如何求它的特征值、特征向量和特征子空間？

I： 在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到齊次線性方程組的作用。

P： 給出特征多項(xiàng)式的概念，并證明特征多項(xiàng)式的基本性質(zhì)。

A： 給出計(jì)算方面的例子，解釋可對(duì)角化情形下過(guò)渡矩陣的構(gòu)造。讓學(xué)生明白矩陣在數(shù)域F上可能沒(méi)有特征值，從而在F上更不可能對(duì)角化。給出F上的矩陣的特征值全在F中，但在F上仍然不可對(duì)角化的例子。于是提出以下的問(wèn)題：

P： 給定數(shù)域F上的一個(gè)矩陣，如何判斷它是否相似于一個(gè)準(zhǔn)對(duì)角陣？

I： 在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到分塊矩陣的重要性。

P： 給出矩陣和線性變換的不變子空間的概念，指出特征子空間是特殊的不變子空間。利用列向量和分塊矩陣導(dǎo)出矩陣相似于準(zhǔn)對(duì)角陣的一個(gè)用不變子空間來(lái)描述的充要條件。

A： 舉出不是特征子空間的不變子空間的例子（循環(huán)子空間），舉出利用多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)造不變子空間的例子，舉出不能相似于準(zhǔn)對(duì)角陣的例子。于是提出以下的問(wèn)題：

P： 給定數(shù)域F上的一個(gè)矩陣，如何判斷它是否相似于一個(gè)上三角陣？從而進(jìn)入下一個(gè)PIPA過(guò)程。

按照這樣的教學(xué)過(guò)程，最后進(jìn)行到對(duì)任意兩個(gè)矩陣的相似問(wèn)題的討論，并利用λ-矩陣?yán)碚摰玫较嗨频某湟獥l件，從而得到有理標(biāo)準(zhǔn)型和Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的相關(guān)結(jié)論。這樣的教學(xué)過(guò)程體現(xiàn)了從特殊到一般的抽象思維過(guò)程，可以幫助學(xué)生在掌握一般理論的同時(shí)，對(duì)具體應(yīng)用問(wèn)題也能達(dá)到熟練的程度。

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