單自由度平面六桿手指機(jī)構(gòu)解域綜合方法

韓建友 蔡營(yíng)疆

(北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 北京 100083)

0 引言

仿生手的發(fā)展給殘疾人的生活帶來(lái)極大的便利。為實(shí)現(xiàn)人手指的功能，許多手指被發(fā)明出來(lái)，比如采用記憶合金的手指[1-3]具有無(wú)噪聲的特點(diǎn)。POTRATZ等[4]采用彈簧來(lái)減輕手指的質(zhì)量，但其具有5個(gè)自由度，需要較多的驅(qū)動(dòng)電機(jī)。LOTTI等[5]采用由彈性鉸鏈構(gòu)成的連桿機(jī)構(gòu)，其自由度為4，成本較高。還有采用單晶硅的手指[6]和欠驅(qū)動(dòng)多自由度手指，比如Belgrade/USC手指[7]、TBM手指[8]和SPRING手指[9]，這些手指采用腱驅(qū)動(dòng)其中的幾個(gè)關(guān)節(jié)即可實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有被驅(qū)動(dòng)的關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)則取決于抓取物體的外形。除此之外，欠驅(qū)動(dòng)手指理論也有一定的發(fā)展[10-12]。欠驅(qū)動(dòng)手指分為兩類(lèi)，一種是采用肌腱驅(qū)動(dòng)的手指，一種是采用連桿驅(qū)動(dòng)的手指，如文獻(xiàn)[13]中的手指同時(shí)采用平面五桿機(jī)構(gòu)和平面四桿機(jī)構(gòu)，其成本較低。也有根據(jù)人手骨骼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的手指[14]，然而這種手指結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，加工較難。另外，也有采用氣動(dòng)柔性驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行驅(qū)動(dòng)的手指[15-16]，但其仿生程度不高。連桿機(jī)構(gòu)可以應(yīng)用于康復(fù)手指的設(shè)計(jì)，但是在已有的康復(fù)手指中，文獻(xiàn)[17-18]根據(jù)初始的條件只得到一個(gè)確定的機(jī)構(gòu)。本文采用單自由度平面六桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)手指機(jī)構(gòu)，其控制簡(jiǎn)單，采用1個(gè)電機(jī)即可實(shí)現(xiàn)控制，易加工，且通過(guò)解域法得到滿(mǎn)足初始條件的無(wú)窮多機(jī)構(gòu)，每個(gè)機(jī)構(gòu)都可以應(yīng)用于手指的設(shè)計(jì)，因此可達(dá)到機(jī)器人手指多用途、多尺寸、易控制的要求。同時(shí)為得到較好的力學(xué)性能，引入力傳遞性能指標(biāo)K[19]。本文在文獻(xiàn)[20-21]的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)和擴(kuò)展，對(duì)解域的形成給出不同的生成方法，該方法能更明確地表示出解域上連續(xù)變化的性能，從而形成所需要的各種曲線(xiàn)，并引入力傳遞性能指標(biāo)。

1 手指機(jī)構(gòu)綜合

本文首先給出手指機(jī)構(gòu)的3個(gè)指節(jié)的4個(gè)運(yùn)動(dòng)位置，并給定手指關(guān)節(jié)的坐標(biāo)限制范圍，據(jù)此得到鉸鏈點(diǎn)的可行曲線(xiàn)段，對(duì)可行曲線(xiàn)段進(jìn)行分段，形成解域，然后引入力傳遞性能指標(biāo)K，對(duì)解域進(jìn)行篩選，得到可行解域，最后在解域中選擇一個(gè)平面六桿機(jī)構(gòu)，得到手指機(jī)構(gòu)的全部參數(shù)，并根據(jù)選擇的機(jī)構(gòu)給出手指的設(shè)計(jì)示例，整個(gè)過(guò)程如圖1所示。

圖2 連桿平面運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.2 Diagram of links planar motion

1.1 運(yùn)動(dòng)生成綜合理論

(1)

(2)

根據(jù)桿長(zhǎng)不變?cè)?，連桿BM的長(zhǎng)度不變，即

[Bi-Mi]T[Bi-Mi]=[B1-M1]T[B1-M1]

(3)

將式(1)、(2)代入式(3)，整理可得

CixB1+EiyB1+Fi=0 (i=2,3,4)

(4)

把xB1和yB1看作未知數(shù)，則式(4)有解的條件為

(5)

整理可得鉸鏈點(diǎn)M滿(mǎn)足的三次曲線(xiàn)方程[22-24]

(6)

曲線(xiàn)(6)為廣義布爾梅斯特曲線(xiàn)，在曲線(xiàn)(6)上取得一點(diǎn)，可得鉸鏈點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)位置1的坐標(biāo)，代入式(4)即可得到對(duì)應(yīng)的鉸鏈點(diǎn)B在運(yùn)動(dòng)位置1的坐標(biāo)。若其中一個(gè)連桿平面為固定平面，則對(duì)應(yīng)的位移矩陣為單位矩陣，此時(shí)曲線(xiàn)(6)為布爾梅斯特曲線(xiàn)。利用本節(jié)求曲線(xiàn)方程的方法，可對(duì)平面六桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行綜合。

1.2 解曲線(xiàn)及解域生成

本文采用Watt-I型平面六桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)手指。平面六桿機(jī)構(gòu)需要實(shí)現(xiàn)人手指彎曲的動(dòng)作，同時(shí)，當(dāng)有外力施加到機(jī)構(gòu)上時(shí)，機(jī)構(gòu)需要具有良好的力學(xué)傳遞性能。文獻(xiàn)[20]根據(jù)Watt-I型平面六桿機(jī)構(gòu)4位置運(yùn)動(dòng)生成理論得到解域，其表達(dá)了所有Watt-I型平面六桿機(jī)構(gòu)在解域中的位置，但未能表達(dá)機(jī)構(gòu)的力學(xué)性能和鉸鏈點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)，本文在此基礎(chǔ)上，給出新的解域生成方法，對(duì)曲線(xiàn)分段，按鉸鏈點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)生成3部分解域，將鉸鏈點(diǎn)坐標(biāo)直接表達(dá)在解域上，除此之外，引入力傳遞性能指標(biāo)K，得到K在解域上的分布規(guī)律，使得解域中機(jī)構(gòu)的力學(xué)性能更加直觀。

圖3 單自由度平面六桿機(jī)構(gòu)Fig.3 Planar six-bar mechanism with one DOF

圖3為單自由度平面六桿機(jī)構(gòu)，其通過(guò)4個(gè)預(yù)定的運(yùn)動(dòng)位置(位置1、2、3、4)。鉸鏈點(diǎn)a0和鉸鏈點(diǎn)d0為固定鉸鏈點(diǎn)，其他鉸鏈點(diǎn)為動(dòng)鉸鏈點(diǎn)，且鉸鏈點(diǎn)a0位于所選坐標(biāo)系的原點(diǎn)，鉸鏈點(diǎn)d、e、f、d0為待求鉸鏈點(diǎn)。θ1、θ2、θ3分別為a0a、ab、bc與x軸的夾角(按右手法則，逆時(shí)針為正)。L1、L2、L3分別為a0a、ab、bc的長(zhǎng)度。F為施加在連桿bce上的外力(為簡(jiǎn)化受力狀態(tài)，將外力施加在1個(gè)連桿上)，T為施加在連架桿a0ad上的力矩。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中F的大小不變(為方便計(jì)算，示例中設(shè)置為1 N)，驅(qū)動(dòng)力矩T為待求量。

根據(jù)人手指3個(gè)指節(jié)的長(zhǎng)度，給定L1、L2、L3的值，如表1所示。給定θ1、θ2、θ3在4個(gè)運(yùn)動(dòng)位置的值，如表2所示，給定鉸鏈點(diǎn)d0、d、e、f的坐標(biāo)限制范圍，如表3所示。通過(guò)連架桿a0a的4個(gè)位置和連桿bc的4個(gè)位置，即2個(gè)連桿平面，采用1.1節(jié)求鉸鏈點(diǎn)曲線(xiàn)的方法，得到在運(yùn)動(dòng)位置1處鉸鏈點(diǎn)d的解曲線(xiàn)(Cd)及可行段，也可得到鉸鏈點(diǎn)e的解曲線(xiàn)(Ce)和可行段，此時(shí)a0、a分別對(duì)應(yīng)圖2中的b、m。θ1、θ2分別對(duì)應(yīng)圖2中的α、β。d、e分別對(duì)應(yīng)圖2中的B、M，通過(guò)計(jì)算整理得Cd和Ce，其與式(6)具有相同的形式。圖4顯示了解曲線(xiàn)Cd和可行段。由于Cd可行段上的點(diǎn)和Ce可行段上的點(diǎn)需同時(shí)滿(mǎn)足各自的坐標(biāo)限制范圍，Cd可行段并不連續(xù)。

表1 L1、L2、L3的值Tab.1 Values of L1, L2 and L3 mm

表2 θ1、θ2、θ3在4個(gè)運(yùn)動(dòng)位置的值Tab.2 Values of θ1, θ2 and θ3 in four moving positions (°)

表3 待求鉸鏈點(diǎn)坐標(biāo)限制范圍Tab.3 Limited ranges of coordinates of unknown joints mm

Cd可行段上的點(diǎn)和Ce可行段上的點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。在Cd可行段上選擇一點(diǎn)后，與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的鉸鏈點(diǎn)e也確定，即確定連桿de在運(yùn)動(dòng)位置1處的位置，通過(guò)鉸鏈點(diǎn)d和鉸鏈點(diǎn)e可得到連桿a0ad和連桿bce的尺寸，基于此，得到鉸鏈點(diǎn)d和鉸鏈點(diǎn)e在其他運(yùn)動(dòng)位置的坐標(biāo)，通過(guò)連桿de的4個(gè)位置和機(jī)架，采用1.1節(jié)求鉸鏈點(diǎn)曲線(xiàn)的方法，得到鉸鏈點(diǎn)d0在運(yùn)動(dòng)位置1處的解曲線(xiàn)(Cd0)和可行段，也可得到鉸鏈點(diǎn)f的解曲線(xiàn)(Cf)和可行段。此時(shí)原點(diǎn)O、d分別對(duì)應(yīng)圖2中的b、m。de為圖2中的lm1且α為0°。d0、f分別對(duì)應(yīng)圖2中的B、M，通過(guò)計(jì)算整理得到Cd0和Cf，其與式(6)具有相同的形式。

在Cd可行段上選擇不同的點(diǎn)會(huì)得到不同的解曲線(xiàn)Cd0和可行段，圖5和圖6分別為當(dāng)選擇圖4中點(diǎn)A和點(diǎn)B后得到的鉸鏈點(diǎn)d0的解曲線(xiàn)和可行段。Cd0可行段上的點(diǎn)和Cf可行段上的點(diǎn)也有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。在Cd0上選擇一點(diǎn)后，就確定了連桿d0f在運(yùn)動(dòng)位置1的位置，結(jié)合連桿de在運(yùn)動(dòng)位置1處的位置，就確定了1個(gè)平面六桿機(jī)構(gòu)。

圖4 鉸鏈點(diǎn)d解曲線(xiàn)和可行段Fig.4 Solution curve and feasible curves of joint d

圖5 圖4中取A點(diǎn)得到的鉸鏈點(diǎn)d0解曲線(xiàn)及可行段Fig.5 Solution curve and feasible segments for joint d0 corresponding to point A in Fig.4

圖6 圖4中取B點(diǎn)得到的鉸鏈點(diǎn)d0解曲線(xiàn)及可行段Fig.6 Solution curve and feasible segments for joint d0 corresponding to point B in Fig.4

連桿de和連桿d0f的位置分別由4個(gè)坐標(biāo)分量(dx,dy,ex,ey)之一和4個(gè)坐標(biāo)分量(d0x,d0y,fx,fy)之一決定，因此，可采用dx和d0x分別為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)生成解域。當(dāng)x為一定值時(shí)，三次曲線(xiàn)方程變?yōu)殛P(guān)于y的一元三次方程，其可能有1個(gè)或3個(gè)實(shí)根。因此，對(duì)曲線(xiàn)按如下規(guī)則進(jìn)行分段：當(dāng)只有1個(gè)實(shí)根時(shí)，點(diǎn)(x,y)分入第1段曲線(xiàn)；當(dāng)有3個(gè)實(shí)根時(shí)，按照y從小到大的順序把點(diǎn)(x,y)分別分入第1、第2、第3段曲線(xiàn)。根據(jù)此分段規(guī)則，Cd可行段被分為3段，其橫坐標(biāo)范圍分別為41.2～61.6、49.6～56.4、49.6～52.0，如圖4所示。Cd0被分為1段或者3段。在Cd可行段上選擇一點(diǎn)，得到點(diǎn)(dx,dy)，并在得到的Cd0可行段上選擇一點(diǎn)，得到點(diǎn)(d0x,d0y)，則解域點(diǎn)為(dx,d0x)，令m(m=1, 2, 3)和n(n=1, 2, 3)分別表示點(diǎn)(dx,dy)和點(diǎn)(d0x,d0y)所在的曲線(xiàn)段標(biāo)號(hào)，則解域點(diǎn)(dx,d0x)在圖7中的區(qū)域(m,n)(即圖7中圓圈中的數(shù)字)。從橫坐標(biāo)41.2到56.4按照步長(zhǎng)0.2選擇Cd可行段上的每一點(diǎn)，并選擇得到的Cd0可行段上的每一點(diǎn)，得到如圖7所示的解域。解域中的A1(一條實(shí)線(xiàn))對(duì)應(yīng)圖5可行段A1。B1、B3組成圖6可行段的第1段，B2為圖6可行段的第2段。

圖7 平面六桿機(jī)構(gòu)解域Fig.7 Solution region for planar six-bar mechanisms

1.3 力傳遞性能指標(biāo)的確定和可行解域生成

為得到力學(xué)性能較好的機(jī)構(gòu)，引入力傳遞性能指標(biāo)。壓力角可衡量一個(gè)機(jī)構(gòu)的力傳遞性能，但只有當(dāng)外力施加在連架桿上時(shí)，壓力角才適用[19]。本文中外力F施加在連桿bce上，而不是連架桿d0f或者連架桿a0ad，故此時(shí)壓力角并不適用于衡量機(jī)構(gòu)的力傳遞性能，故本文引入K。

如圖3所示，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，假設(shè)外力F總是垂直于邊ec，并位于邊ec的中點(diǎn)。為方便計(jì)算，設(shè)外力F為1 N。在θ1從0°連續(xù)變化到-40°的過(guò)程中，令Fmax_i(i=a,b,d,e,f,a0,d0)表示鉸鏈點(diǎn)i的內(nèi)力最大值，令Fmax表示Fmax_i(i=a,b,d,e,f,a0,d0)中的最大值，則參數(shù)K表示為[19]

(7)

根據(jù)手指的設(shè)計(jì)目的(如康復(fù)手指、仿生手指等)，限制K的大小。康復(fù)手指對(duì)力學(xué)性能要求較高，可取較小的K，而仿生手如果僅著重于外形，則可取較大的K。本文限制K≤20。利用K對(duì)圖7中的所有機(jī)構(gòu)進(jìn)行篩選，可得到篩選后的鉸鏈點(diǎn)可行段。圖8為引入K后鉸鏈點(diǎn)d的解曲線(xiàn)和可行段。當(dāng)選擇圖8中可行段上的C點(diǎn)后，得到篩選后的鉸鏈點(diǎn)d0可行段，如圖9所示。根據(jù)上文提到的曲線(xiàn)分段規(guī)則重新對(duì)可行段進(jìn)行分段，得到如圖10所示的新的可行解域。圖10中解域1和解域2為后文選擇平面六桿機(jī)構(gòu)的區(qū)域，圖中點(diǎn)E、F、G和H坐標(biāo)分別為(48,-4)、(50, 0)、(54,-10)和(57,-2)。

圖8 引入K后的鉸鏈點(diǎn)d解曲線(xiàn)及可行段Fig.8 Solution curve and feasible segments for joint d with parameter K

圖9 圖8中取C點(diǎn)得到的鉸鏈d0解曲線(xiàn)及可行段Fig.9 Solution curve and feasible segments for joint d0 corresponding to point C in Fig.8

圖10 引入K后的解域Fig.10 Solution region with parameter K

2 機(jī)構(gòu)選擇和設(shè)計(jì)示例

采用單自由度平面六桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行手指的設(shè)計(jì)，機(jī)構(gòu)鉸鏈點(diǎn)間的距離可影響手指的外形，因此，K較低的平面六桿機(jī)構(gòu)由于其力學(xué)性能較好，可用來(lái)設(shè)計(jì)對(duì)力學(xué)性能要求高的手指，如康復(fù)手指，而鉸鏈間距離較小的平面六桿機(jī)構(gòu)其結(jié)構(gòu)更加緊湊，可用來(lái)設(shè)計(jì)仿生手指等對(duì)外形要求高而對(duì)力學(xué)性能要求較低的手指，但也要考慮結(jié)構(gòu)上能否實(shí)現(xiàn)。圖11為3個(gè)具有不同外形和K的平面六桿機(jī)構(gòu)。

圖11 3個(gè)具有不同形狀和K的平面六桿機(jī)構(gòu)Fig.11 Three planar six-bar mechanisms with different shapes and K values

將圖10中的解域1和解域2進(jìn)行放大，更清楚地顯示機(jī)構(gòu)在解域中的位置，如圖12和圖13分別顯示機(jī)構(gòu)1和機(jī)構(gòu)2在解域中的位置。機(jī)構(gòu)3的鉸鏈d和鉸鏈d0在曲線(xiàn)上的位置分別如圖8和圖9所示。由于機(jī)構(gòu)3的鉸鏈d0在限制范圍外面，因此解域不包含機(jī)構(gòu)3。

圖12 機(jī)構(gòu)1在圖10解域1中的位置Fig.12 Location of mechanism 1 in solution region 1 shown in Fig.10

圖13 機(jī)構(gòu)2在圖10解域2中的位置Fig.13 Location of mechanism 2 in solution region 2 shown in Fig.10

機(jī)構(gòu)2和機(jī)構(gòu)3的K小于機(jī)構(gòu)1的K，而機(jī)構(gòu)1的結(jié)構(gòu)更加緊湊，故機(jī)構(gòu)2和機(jī)構(gòu)3具有較好的力傳遞性能，用于康復(fù)手指的設(shè)計(jì)可更好地幫助人手指的運(yùn)動(dòng)康復(fù)，而機(jī)構(gòu)1用于設(shè)計(jì)仿生手指可得到更好的手指外形。本文利用機(jī)構(gòu)1給出仿生手指設(shè)計(jì)示例，機(jī)構(gòu)1的鉸鏈點(diǎn)坐標(biāo)如表4所示。

設(shè)計(jì)出的仿生手指包含3個(gè)指節(jié)和2個(gè)隱藏在內(nèi)部的連桿。如圖14所示，圖14a為手指外形示意圖，圖14b為手指內(nèi)部結(jié)構(gòu)。圖15為3D打印樣機(jī)示例。圖中手指依次通過(guò)4個(gè)預(yù)定的運(yùn)動(dòng)位置，采用1個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)即可驅(qū)動(dòng)該手指。

表4 機(jī)構(gòu)1的鉸鏈點(diǎn)坐標(biāo)Tab.4 Coordinates of mechanism 1 mm

圖14 仿生手指結(jié)構(gòu)Fig.14 Structure of anthropomorphic finger

圖15 仿生手指3D打印樣機(jī)Fig.15 Prototype of anthropomorphic finger

3 結(jié)論

(1)手指虛擬樣機(jī)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程能通過(guò)給定的4個(gè)運(yùn)動(dòng)位置，證明設(shè)計(jì)理論和設(shè)計(jì)方法是正確有效的。手指樣機(jī)能實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)，證明了結(jié)構(gòu)上也是可行的，且能滿(mǎn)足各種性能要求。

(2)采用單個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)即可驅(qū)動(dòng)手指，證明力傳遞性能指標(biāo)的引入有利于得到具備較好力學(xué)性能的機(jī)構(gòu)，并有利于手指功能的實(shí)現(xiàn)。解域能給出所有滿(mǎn)足要求的機(jī)構(gòu)解，可根據(jù)不同的設(shè)計(jì)目的選擇合適的結(jié)構(gòu)，滿(mǎn)足機(jī)器人手指多尺寸、多用途的設(shè)計(jì)要求，同時(shí)，也為進(jìn)一步優(yōu)化手指結(jié)構(gòu)提供了可能。