考慮靜水壓力和LODE角的塑性模型在GH4169合金上的應(yīng)用

許凱旋 ，胡緒騰 ，宋迎東 ，2

（南京航空航天大學(xué)江蘇省航空動(dòng)力系統(tǒng)重點(diǎn)試驗(yàn)室1，機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)試驗(yàn)室2：南京210016）

0 引言

鎳基合金具備足夠的高溫強(qiáng)度、抗氧化和耐腐蝕性能，廣泛應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)輪盤、機(jī)匣、軸、葉片等構(gòu)件中[1]。延性斷裂通常指材料發(fā)生明顯塑性變形后的斷裂，是該類構(gòu)件靜強(qiáng)度設(shè)計(jì)首要考慮的問(wèn)題。工程中常采用有限元方法對(duì)構(gòu)件的變形進(jìn)行仿真計(jì)算，再結(jié)合延性斷裂準(zhǔn)則判斷材料的延性斷裂失效[2-3]。建立準(zhǔn)確、適用的塑性本構(gòu)模型是有限元計(jì)算精確結(jié)果的基礎(chǔ)，也是進(jìn)一步研究鎳基合金韌性斷裂問(wèn)題的保證。

近年來(lái)已有學(xué)者對(duì)鎳基合金的塑性變形進(jìn)行了比較深入的理論和試驗(yàn)研究，并建立了一些適用描述鎳基合金力學(xué)行為的理論與模型。目前鎳基合金的塑性模型大多通過(guò)考慮載荷條件如應(yīng)變率、溫度等外界條件對(duì)材料塑性變形的影響并在本構(gòu)方程中引入應(yīng)變率、溫度等補(bǔ)償參數(shù)來(lái)提升本構(gòu)方程對(duì)材料變形行為的描述精度[4-5]。這類本構(gòu)方程適用于描述特定載荷條件下鎳基合金的塑性變形，但對(duì)一般室溫、準(zhǔn)靜態(tài)拉伸條件并不適用。實(shí)際上在一些室溫、準(zhǔn)靜態(tài)拉伸等條件下，基于材料單向拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線試驗(yàn)數(shù)據(jù)和經(jīng)典塑性理論（基于von Mises屈服準(zhǔn)則）建立的彈塑性本構(gòu)模型不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的缺口試件的拉伸響應(yīng)。Maziere[6]，劉華翔[7]，王盛堯[8]等人采用基于von Mises屈服準(zhǔn)則的彈塑性本構(gòu)模型均不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)鎳基高溫合金塑性變形行為。

von Mises塑性屈服理論認(rèn)為靜水壓力對(duì)材料塑性流動(dòng)的影響可以忽略不計(jì)，并且流動(dòng)應(yīng)力不受偏應(yīng)力第3不變量的影響，然而最近一些關(guān)于金屬的試驗(yàn)研究表明靜水壓力和偏應(yīng)力第3不變量都與材料的塑性變形有關(guān)[9]。近年來(lái)，Bai、Wierzbizki等[10]發(fā)展了考慮靜水壓力和Lode角（偏應(yīng)力第3不變量）影響的塑性本構(gòu)模型（簡(jiǎn)其稱為B-W模型）。該模型仍采用von Mises屈服準(zhǔn)則，但考慮流動(dòng)應(yīng)力受靜水壓力（應(yīng)力3軸度）和Lode角的影響，在硬化函數(shù)中引入應(yīng)力3軸度和Lode角的修正項(xiàng)。。

為建立更加適用于一般條件下的鎳基高溫合金延性斷裂分析的塑性本構(gòu)模型，本文針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)盤用典型鎳基高溫合金GH4169，采用B-W塑性理論對(duì)其塑性變形行為進(jìn)行建模和應(yīng)用，利用B-W塑性模型對(duì)GH4169合金缺口拉伸響應(yīng)曲線的預(yù)測(cè)能力進(jìn)行研究和評(píng)估。

1 Bai-Wierzbizki模型

經(jīng)典von Mises屈服函數(shù)的表達(dá)式為

該屈服函數(shù)不考慮靜水壓力和偏應(yīng)力第3不變量對(duì)材料塑性行為的影響。Bai和Wierzbizki等提出的B-W模型依然采用von Mises屈服準(zhǔn)則，但引入應(yīng)力3軸度和lode角修正項(xiàng)對(duì)硬化函數(shù)進(jìn)行修正。B-W模型的屈服準(zhǔn)則表達(dá)式為

式中：η 為應(yīng)力 3軸度；A（η）、B（γ）分別為應(yīng)力 3 軸度η和lode角相關(guān)參數(shù)γ的函數(shù)項(xiàng)，用來(lái)修正塑性模型。

應(yīng)力3軸度修正項(xiàng)A（η）主要用來(lái)修正靜水壓力對(duì)材料塑性行為的影響，其表達(dá)式為

式中：η0為基準(zhǔn)試驗(yàn)的應(yīng)力3軸度，與標(biāo)定基本硬化函數(shù)所選取的試樣和試驗(yàn)類型相關(guān)；cη為材料參數(shù)，其大小反映了靜水壓力對(duì)材料塑性變形的影響。

當(dāng)基準(zhǔn)試驗(yàn)為光滑圓棒試樣單向拉伸試驗(yàn)時(shí)，η0=1/3；當(dāng)基準(zhǔn)試驗(yàn)為光滑圓棒試樣軸向鐓粗試驗(yàn)時(shí)

式中：σm為平均應(yīng)力為von Mises等效應(yīng)力。

Lode角項(xiàng)B（γ）主要用來(lái)修正偏應(yīng)力第3不變量對(duì)材料塑性行為的影響

Lode角與偏應(yīng)力第3不變量的關(guān)系為[11]

2 GH4169合金拉伸試驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)材料

本文試驗(yàn)所用GH4169合金為高強(qiáng)GH4169，其熱處理制度為：960℃保溫1 h，空冷；720℃保溫8 h，空冷[12]。主要化學(xué)成分見表1。

表1 鎳基合金GH4169的主要化學(xué)成分

2.2 試樣設(shè)計(jì)

為研究應(yīng)力3軸度及Lode角對(duì)材料塑性變形行為的影響，并確定模型參數(shù)，本文分別設(shè)計(jì)圓棒和平板類試樣。試樣具體尺寸及試樣編號(hào)如圖1～5所示。圓棒類試樣通過(guò)不同缺口半徑大小來(lái)改變應(yīng)力3軸度的大小，缺口圓棒試樣采用BNT代號(hào)加缺口半徑大小區(qū)分，如BNT_R5表示缺口半徑R=5 mm的圓棒，光滑圓棒的代號(hào)為BST。拉伸試驗(yàn)中平板類試樣所表征的力學(xué)狀態(tài)不同于圓棒試樣，軸對(duì)稱拉伸（圓棒）狀態(tài)下的Lode角參數(shù)為1，而平面應(yīng)變（平板）拉伸狀態(tài)下的Lode角參數(shù)為0，平面應(yīng)力（平板）拉伸狀態(tài)下的Lode角參數(shù)介于0～1[10]。本文通過(guò)設(shè)計(jì)不同厚度的平板試樣來(lái)實(shí)現(xiàn)不同力學(xué)狀態(tài)下的材料塑性變形行為，從而研究Lode角對(duì)材料塑性變形的影響。平板試樣采用PNT代號(hào)加厚度和缺口半徑大小加以區(qū)分，如PNT_T3_R3表示厚度T=3 mm和缺口半徑R=3 mm的平板試樣。

圖1 圓棒試樣BST

圖2 圓棒試樣BNT_R5

圖3 圓棒試樣BNT_R1

圖4 平板試樣PNT_T1.5_R3、PNT_T3_R3、PNT_T6_R3

圖5 平板試樣PNT_T3_R3、PNT_T3_R1.5、PNT_T3_R0.75

2.3 試驗(yàn)方法

對(duì)上述試樣進(jìn)行拉伸試驗(yàn)，采用日本島津液壓伺服疲勞試驗(yàn)機(jī)，均在室溫條件下進(jìn)行。所有試樣采用準(zhǔn)靜態(tài)位移加載控制，底端固定，頂端位移控制，拉伸加載速率為0.3 mm/min，試驗(yàn)進(jìn)行到試樣完全斷裂為止。計(jì)算機(jī)自動(dòng)記錄各試樣從開始加載到完全斷裂期間的載荷、位移等試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖6 光滑和缺口各試樣拉伸載荷-位移曲線

2.4 試驗(yàn)結(jié)果

試驗(yàn)得到各試樣從開始拉伸到完全斷裂的載荷-位移曲線。為直觀比較各試樣的拉伸試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)，將載荷位移曲線轉(zhuǎn)換成為名義應(yīng)力-伸長(zhǎng)量曲線，如圖6所示。圖中縱坐標(biāo)為各試樣拉伸載荷除以其最小凈截面積得到的名義拉伸應(yīng)力，橫坐標(biāo)位移為各試樣標(biāo)距段的伸長(zhǎng)量，由引伸計(jì)測(cè)量得到。從圖中可見，對(duì)于圓棒試樣，試樣的缺口半徑越小，其斷裂位移越小，斷裂強(qiáng)度越高；對(duì)于平板試樣，當(dāng)試樣的厚度一定時(shí)，其缺口半徑越小，對(duì)應(yīng)的斷裂位移越小，斷裂強(qiáng)度也越大。當(dāng)試樣的缺口半徑一定時(shí)，試樣越厚，對(duì)應(yīng)的斷裂位移越大，厚度為6 mm時(shí)，斷裂強(qiáng)度最大，厚度為3 mm和1.5 mm時(shí)，斷裂強(qiáng)度差別較小。

3 B-W模型參數(shù)的確定

3.1 材料參數(shù)確定方法

工程中常選取應(yīng)力應(yīng)變曲線頸縮點(diǎn)之前的數(shù)據(jù)用于擬合材料的彈塑性本構(gòu)參數(shù)，對(duì)頸縮點(diǎn)之后的應(yīng)力應(yīng)變并不考慮。然而對(duì)于應(yīng)變范圍超過(guò)頸縮點(diǎn)應(yīng)變值的塑性大變形分析，僅以頸縮點(diǎn)之前數(shù)據(jù)得到的材料本構(gòu)模型參數(shù)并不能得出預(yù)測(cè)材料的變形響應(yīng)。為此，本文采用光滑和缺口試樣并基于反演法的思想，通過(guò)試驗(yàn)和有限元分析相結(jié)合的方法得到材料的本構(gòu)模型參數(shù)。

將B-W塑性模型通過(guò)用戶材料子程序VUAMT嵌入Abaqus/Explicit中，通過(guò)試樣的拉伸響應(yīng)有限元模擬與試驗(yàn)結(jié)果的殘差平方和最小來(lái)優(yōu)化確定B-W模型中的材料參數(shù)[13]。材料參數(shù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

式中：P為待估計(jì)的材料參數(shù)矢量；N為試驗(yàn)曲線中所取的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)；wi為加權(quán)系數(shù)；Fexp（di）、Fcal（di,P）分別為試驗(yàn)曲線中伸長(zhǎng)量為di處的載荷試驗(yàn)測(cè)量值和計(jì)算值。

加權(quán)系數(shù)wi為

式中：Fexp（di）的作用是將殘差無(wú)量綱化；L為任取的1個(gè)大數(shù)，用于放大目標(biāo)函數(shù)值，使得優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值不至于過(guò)小。

圖7 典型試樣的有限元模型

有限元分析中GH4169合金光滑圓棒和缺口圓棒試樣均采用軸對(duì)稱模型，模型網(wǎng)格劃分采用4節(jié)點(diǎn)軸對(duì)稱縮減積分單元（CAX4R）。缺口平板試樣采用3維實(shí)體模型，單元類型為C3D8R。有限元模型底端均施加固支約束，頂端施加速度邊界條件，速度大小為 0.005 mm/s。BST、BNT_R5和PNT_R3_T3 3種典型試樣的有限元模型如圖7所示。

3.2 基本硬化函數(shù)材料參數(shù)的確定

針對(duì)GH4169合金非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)，本文采用如下多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)描述其塑性硬化規(guī)律

式中：σy0為初始屈服應(yīng)力；εˉp為等效塑性應(yīng)變；K、n、r1、b1、r2、b2為塑性硬化參數(shù)。

對(duì)于光滑圓棒試樣拉伸試驗(yàn)，在試樣頸縮之前，應(yīng)力3軸度為1/3，Lode角參數(shù)為1。采用光滑圓棒拉伸試驗(yàn)作為基準(zhǔn)試驗(yàn)，應(yīng)力3軸度函數(shù)A=1，Lode角相關(guān)函數(shù)B=1。因此，基本硬化模型材料參數(shù)可采用GH4169合金光滑圓棒試樣拉伸數(shù)據(jù)基于優(yōu)化方程（12）計(jì)算得到，其中優(yōu)化初始點(diǎn)為光滑圓棒應(yīng)力應(yīng)變曲線頸縮點(diǎn)之前數(shù)據(jù)擬合值，具體優(yōu)化結(jié)果見表2。硬化方程采用表2中的參數(shù)，并通過(guò)有限元計(jì)算得到光滑圓棒拉伸載荷-位移曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比如圖8所示。從圖中可見，本文選擇的非線性硬化函數(shù)可以較好地描述GH4169合金的塑性變形行為，在試樣頸縮之前（極限載荷之前）拉伸載荷-位移曲線的模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果非常吻合，頸縮之后模型計(jì)算結(jié)果高于試驗(yàn)結(jié)果，考慮到試樣頸縮之后發(fā)生塑性變形局部化，頸縮部位內(nèi)部將產(chǎn)生延性損傷。文獻(xiàn)[14-15]通過(guò)研究材料的力學(xué)參數(shù)演化歷程得到相關(guān)的延性損傷公式，并將損傷變量耦合到材料的本構(gòu)模型中來(lái)改進(jìn)這一現(xiàn)象，本文對(duì)此暫不考慮。僅選擇對(duì)GH4169合金光滑試樣頸縮之前的塑性變形行為能夠準(zhǔn)確描述的非線性函數(shù)建立其基本塑性硬化模型。

表2 GH4169合金基本參數(shù)

圖 8 光滑圓棒BST拉伸響應(yīng)有限元結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

3.3 靜水壓力修正項(xiàng)材料參數(shù)的確定

Coulomb Mohr最早考慮采用靜水壓力修正屈服準(zhǔn)則對(duì)巖土力學(xué)行為進(jìn)行研究[16]。B-W模型中的靜水壓力修正項(xiàng)A（η）為關(guān)于應(yīng)力3軸度η的線性函數(shù)。拉伸試驗(yàn)中光滑圓棒試樣頸縮之前的應(yīng)力3軸度為1/3。缺口圓棒試樣的應(yīng)力3軸度則與缺口半徑大小相關(guān)，一般缺口半徑越大試樣的應(yīng)力3軸度越小，相反缺口半徑越小、越尖銳，試樣在變形過(guò)程中的應(yīng)力3軸度越高。在拉伸試驗(yàn)過(guò)程中，圓棒試樣呈軸對(duì)稱力學(xué)狀態(tài)，試樣Lode角參數(shù)θˉ大小恒定為1，Lode角相關(guān)函數(shù)B=1。因此，在基本硬化函數(shù)確定后，B-W模型中靜水壓力修正函數(shù)中的材料參數(shù)cη可根據(jù)缺口圓棒拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)優(yōu)化確定。本文采用BNT_R5缺口圓棒試樣的拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)優(yōu)化確定參數(shù)cη，結(jié)果為cη=0.15。采用傳統(tǒng)von Mises屈服準(zhǔn)則塑性模型（即不考慮靜水壓力和Lode角影響的傳統(tǒng)塑性模型）和B-W模型（僅含靜水壓力修正）計(jì)算的BNT_R5缺口圓棒試樣拉伸載荷-位移曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比如圖9所示。從圖中可見，對(duì)于BNT_R5缺口圓棒試樣，采用傳統(tǒng)von Mises屈服準(zhǔn)則塑性模型預(yù)測(cè)拉伸載荷-位移響應(yīng)曲線明顯高于試驗(yàn)結(jié)果，所預(yù)測(cè)的缺口試樣極限載荷與試驗(yàn)結(jié)果的誤差約為4.13%。而考慮靜水壓力修正的B-W模型可以更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)GH4169合金缺口圓棒試樣的拉伸響應(yīng)，所預(yù)測(cè)的缺口極限載荷與試驗(yàn)結(jié)果的誤差約為1%。

圖9 不同屈服準(zhǔn)則下的BNT_R5拉伸響應(yīng)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

3.4 Lode角參數(shù)修正項(xiàng)材料參數(shù)的確定

表3 GH4169合金的B-W模型各修正項(xiàng)系數(shù)

圖10 不同屈服準(zhǔn)則下的PNT_T6_R3拉伸響應(yīng)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

4 B-W模型預(yù)測(cè)能力的評(píng)估

為進(jìn)一步評(píng)價(jià)B-W模型對(duì)GH4169合金塑性變形行為的描述和預(yù)測(cè)能力，基于上文確定的B-W模型材料參數(shù)，對(duì)GH4169合金其他缺口試樣的拉伸響應(yīng)進(jìn)行有限元計(jì)算和分析。另外，前面在確定基本塑性硬化模型材料參數(shù)時(shí)，對(duì)于GH4169合金光滑圓棒試樣的拉伸響應(yīng)計(jì)算沒(méi)有考慮靜水壓力的影響，但試樣在局部頸縮后由于應(yīng)力3軸度發(fā)生變化，所以對(duì)光滑圓棒試樣的拉伸響應(yīng)重新進(jìn)行計(jì)算和對(duì)比分析。

4.1 圓棒試樣

GH4169合金光滑圓棒和BNT_R1缺口圓棒試樣拉伸響應(yīng)的有限元計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比如圖11所示。從圖中可見，對(duì)于光滑圓棒試樣，由于在試樣頸縮之前應(yīng)力3軸度保持不變，考慮靜水壓力修正的B-W模型計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)von Mises塑性模型的計(jì)算結(jié)果基本重合。但在發(fā)生頸縮之后，由于應(yīng)力3軸度的變化，考慮靜水壓力修正的B-W模型計(jì)算的拉伸響應(yīng)曲線下降，比傳統(tǒng)von Mises塑性模型的計(jì)算結(jié)果更貼近試驗(yàn)結(jié)果。對(duì)于BNT_R1缺口類圓棒試樣，基于傳統(tǒng)von Mises塑性模型預(yù)測(cè)的拉伸載荷-位移響應(yīng)明顯高于試驗(yàn)結(jié)果，極限載荷預(yù)測(cè)誤差為4.13%～10.64%。而采用考慮靜水壓力修正的B-W模型可以較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)BNT_R1缺口類圓棒試樣的拉伸響應(yīng)，極限載荷預(yù)測(cè)誤差在1%以內(nèi)。這一結(jié)果說(shuō)明B-W模型通過(guò)考慮靜水壓力對(duì)塑性硬化行為的影響，可以很好地描述和預(yù)測(cè)GH4169合金光滑和缺口圓棒試樣拉伸過(guò)程中的塑性變形行為。

圖11 不同屈服準(zhǔn)則下的圓棒拉伸響應(yīng)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

圖12 不同屈服準(zhǔn)則下的拉伸響應(yīng)有限的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

4.2 平板試樣

不同缺口半徑和不同厚度的GH4169合金缺口平板試樣拉伸載荷-位移曲線的有限元計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比如圖12所示。從圖中可見，采用傳統(tǒng)von Mises塑性模型預(yù)測(cè)的GH4169合金缺口平板試樣拉伸響應(yīng)曲線均明顯高于試驗(yàn)結(jié)果。采用僅包含靜水壓力修正的B-W模型仍不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)缺口平板試樣的拉伸響應(yīng)，預(yù)測(cè)結(jié)果高于試驗(yàn)結(jié)果。而采用同時(shí)包含靜水壓力修正和Lode角修正的B-W模型預(yù)測(cè)的缺口平板試樣拉伸響應(yīng)曲線與試驗(yàn)結(jié)果均比較吻合。而從缺口平板拉伸極限載荷的預(yù)測(cè)誤差（見表4）來(lái)看，傳統(tǒng)von Mises塑性模型的預(yù)測(cè)誤差最大，僅包含靜水壓力修正的B-W模型的預(yù)測(cè)誤差仍較大，而同時(shí)包含靜水壓力修正和Lode角修正的B-W模型的預(yù)測(cè)誤差最小。

表4 GH4169合金缺口平板試樣極限載荷預(yù)測(cè)誤差 %

對(duì)比結(jié)果說(shuō)明本文所采用的非線性硬化函數(shù)和優(yōu)化確定的B-W模型材料參數(shù)是合理有效的。更重要的是上述結(jié)果表明了B-W模型通過(guò)考慮靜水壓力和Lode角對(duì)材料塑性硬化行為的影響能夠準(zhǔn)確描述和預(yù)測(cè)GH4169合金在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的塑性變形行為，預(yù)測(cè)效果明顯好于傳統(tǒng)von Mises塑性模型。可以預(yù)見采用B-W模型建立的GH4169合金塑性本構(gòu)模型能夠更加準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)GH4169合金延性斷裂相關(guān)行為。

5 結(jié)論

本文針對(duì)基于傳統(tǒng)von Mises屈服準(zhǔn)則的塑性本構(gòu)模型不能準(zhǔn)確描述和預(yù)測(cè)GH4169合金在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下塑性變形行為，研究和評(píng)估了B-W塑性本構(gòu)模型對(duì)GH4169合金的適用性，分別基于光滑圓棒、缺口圓棒和缺口平板試樣優(yōu)化確定了B-W模型中的基本硬化函數(shù)材料參數(shù)、靜水壓力修正項(xiàng)材料參數(shù)和Lode角修正項(xiàng)材料參數(shù)，對(duì)比分析了傳統(tǒng)von Mises塑性模型和B-W模型對(duì)GH4169合金缺口拉伸響應(yīng)的預(yù)測(cè)能力，得到如下主要結(jié)論：

（1）基于傳統(tǒng)von Mises塑性模型預(yù)測(cè)的GH4169合金缺口拉伸響應(yīng)曲線均明顯高于試驗(yàn)曲線。

（2）僅考慮靜水壓力修正的B-W塑性模型可以較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)缺口圓棒試樣的拉伸響應(yīng)曲線，但對(duì)缺口平板試樣拉伸曲線的預(yù)測(cè)結(jié)果仍高于試驗(yàn)結(jié)果。而同時(shí)考慮靜水壓力和Lode角修正的B-W模型所預(yù)測(cè)的缺口平板拉伸響應(yīng)曲線與試驗(yàn)結(jié)果非常吻合。

（3）靜水壓力及偏應(yīng)力第3不變量（Lode角）對(duì)高強(qiáng)GH4169合金塑性屈服后的流動(dòng)應(yīng)力影響顯著，而考慮靜水壓力和Lode角的B-W模型是建立GH4169合金塑性本構(gòu)模型的1種較好選擇。