基于在線滾動序列核極限學(xué)習(xí)機的渦軸發(fā)動機非線性模型預(yù)測控制

王 寧，潘慕絢，黃金泉

（南京航空航天大學(xué)能源與動力學(xué)院，南京210016）

0 引言

直升機是1個多自由度、強耦合的系統(tǒng)，與發(fā)動機系統(tǒng)之間相互耦合[1]。隨著新一代直升機性能不斷提高，對直升機控制系統(tǒng)、操縱品質(zhì)和機動性的要求越來越高，各子系統(tǒng)復(fù)雜程度和耦合效應(yīng)大大增加，傳統(tǒng)串級PID控制方法難以獲得較好的控制效果[2]。此外，直升機機動飛行時，由于旋翼扭矩相對于操縱量變化的滯后特性和發(fā)動機控制系統(tǒng)動態(tài)特性造成的不容忽視的時滯特性，使得發(fā)動機不能及時針對操縱量變化進行調(diào)整，因此，在設(shè)計發(fā)動機控制律時必須考慮這種滯后性，而傳統(tǒng)串級PID方案處理上述時滯效應(yīng)時顯得能力不足，最終導(dǎo)致控制系統(tǒng)性能較差[3]。

模型預(yù)測控制（MPC）技術(shù)[4]由于具有對模型寬容性、有限時域滾動優(yōu)化有效性以及在設(shè)計中考慮各種軟硬約束可能性等突出特點，若將該動態(tài)優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用到發(fā)動機控制系統(tǒng)中，對解決上述時滯效應(yīng)問題、改善閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)特性無疑是1種可期待的控制方法。預(yù)測控制方法的核心是基于1個預(yù)測模型在一定控制時域內(nèi)進行滾動優(yōu)化控制，其間考慮到相關(guān)約束并利用反饋校正機制準(zhǔn)確控制目標(biāo)。預(yù)測控制方法的突出優(yōu)點是可利用大量有效信息進行優(yōu)化控制，在有擾動或模型失配的情況下具有良好的魯棒性。

2007年，美國NASA研究中心在1次重要會議上介紹了有關(guān)智能發(fā)動機NMPC的應(yīng)用[5]。從國內(nèi)、外文獻來看，NMPC在航空發(fā)動機控制方面已有相關(guān)探索研究[6-7]；文獻[8]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練預(yù)測模型實現(xiàn)了帶旋翼負載的渦軸發(fā)動機在小擾動情況下的預(yù)測控制；文獻[9-10]通過串聯(lián)穩(wěn)態(tài)非線性模型和ARX動態(tài)線性模型作為預(yù)測模型進行渦軸發(fā)動機動力渦輪轉(zhuǎn)速控制；文獻[11]建立MRR-LSSVR預(yù)測模型進行渦軸發(fā)動機預(yù)測控制；文獻[12]通過在線滾動更新OPS-LSSVR預(yù)測模型進行渦軸發(fā)動機預(yù)測控制等。以上研究大多利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或者支持向量機進行多輸出預(yù)測模型辨識，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及支持向量機有自身的缺陷，如需要多次迭代，訓(xùn)練時間長，容易陷入局部最優(yōu)解等。極限學(xué)習(xí)機（ELM）算法具有訓(xùn)練速度快、泛化能力強的特點，在辨識多輸出參數(shù)耦合模型方面具有較大優(yōu)勢[13]。其中核極限學(xué)習(xí)機（KELM）由于具有可調(diào)參數(shù)少、收斂速度快、泛化能力強等諸多優(yōu)點，在模型辨識等方面已經(jīng)得到廣泛的研究與應(yīng)用[14-15]。此外，大多研究僅考慮了燃油量及燃油變化量限制約束，對于渦軸發(fā)動機控制問題，除了考慮以上約束限制外，還需要考慮發(fā)動機轉(zhuǎn)速、燃氣渦輪出口溫度、壓氣機喘振裕度限制，保證發(fā)動機平穩(wěn)、安全、可靠地工作。

本文針對渦軸發(fā)動機控制系統(tǒng)中時滯特性問題，提出了1種基于在線滾動序列的核極限學(xué)習(xí)機（OSS-KELM）的非線性模型預(yù)測控制方法。

1 NMPC控制結(jié)構(gòu)

渦軸發(fā)動機控制的目的是保證當(dāng)直升機操縱量發(fā)生改變時，發(fā)動機動力渦輪轉(zhuǎn)速恒定，抑制動力渦輪轉(zhuǎn)速的超調(diào)/下垂量。NMPC控制是1種基于有限時域帶約束的目標(biāo)函數(shù)的開環(huán)優(yōu)化方法，運用非線性模型預(yù)測渦軸發(fā)動機未來時刻的輸出，并利用在線滾動優(yōu)化算法求解發(fā)動機動力渦輪轉(zhuǎn)速控制器。本文提出的渦軸發(fā)動機NMPC控制方案原理如圖1所示。

圖1 渦軸發(fā)動機NMPC控制系統(tǒng)方案

NMPC控制器包括在線更新預(yù)測模型、在線滾動優(yōu)化以及反饋校正3部分，其中預(yù)測模型能夠?qū)崿F(xiàn)在線更新，保證預(yù)測精度。預(yù)測模型根據(jù)當(dāng)前時刻燃油Wf以及歷史的輸入和輸出信息，在線實時預(yù)測發(fā)動機系統(tǒng)輸出，如旋翼扭矩Qh、動力渦輪轉(zhuǎn)速np、燃氣渦輪轉(zhuǎn)速nG、渦輪級間溫度T45和壓氣機喘振裕度等；基于預(yù)測模型以有限時域帶約束的動力渦輪轉(zhuǎn)速恒定為尋優(yōu)目標(biāo)，利用SQP算法求解未來有限時域內(nèi)的燃油輸入，并將下一時刻的輸入通過執(zhí)行機構(gòu)輸入到發(fā)動機燃燒室；根據(jù)KELM模型與實際系統(tǒng)輸出誤差修正控制指令，提高控制精度。

2 預(yù)測控制器設(shè)計

2.1 OSS-KELM算法

當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集過大時，學(xué)習(xí)算法中矩陣求逆計算耗時嚴重。而且對于復(fù)雜的直升機/發(fā)動機系統(tǒng)，系統(tǒng)參數(shù)變化速度較快，變化范圍較廣，離線辨識的預(yù)測模型精度難以保證。因此，若能根據(jù)系統(tǒng)實時有效信息在線辨識預(yù)測模型實現(xiàn)預(yù)測控制，可以改善控制系統(tǒng)控制品質(zhì)。

文獻[16]將離線KELM推廣到在線訓(xùn)練，提出了在線序列KELM算法。但是該方法的缺陷是隨著時間的推移，模型結(jié)構(gòu)隨訓(xùn)練樣本的增加呈線性增長。為此，本文采用基于線性相關(guān)分析的滾動窗法進一步稀疏模型結(jié)構(gòu)，稱之為在線滾動序列核極限學(xué)習(xí)機（OSS-KELM）。

給定樣本集{（xi,yi）,i=1,2,…,N}，其中，xi=[xi1xi2…xin]T∈n，yi=[yt1yt2…yim]∈m，N 為樣本數(shù)。針對具有 L 個隱含層神經(jīng)元的ELM網(wǎng)絡(luò)，這個學(xué)習(xí)問題可以描述為

式中：ak=[a1ka2k… ank]T，為連接第k個隱含節(jié)點的輸入權(quán)值向量；b為第k個隱含節(jié)點偏置；h（x）=[g（ki+b1）g（+b2）… g（+bL）]T，為特征映射；g（x）i為隱含層神經(jīng)元激活函數(shù)；βj=[β1β2… βL]T，為第 j個輸出參數(shù)輸出權(quán)值向量。

在ELM中，學(xué)習(xí)問題可以理解為尋找預(yù)測函數(shù)f保證 （fx）i→yi，建立如下最優(yōu)化問題

式中：C為人為選定的正則化參數(shù)；εij為松弛變量，表征ELM預(yù)測值與實際值之間的誤差。

求解式（2）得到

式中：H=[h(x1)h(x2)… h（xN）]T，為隱含層輸出矩陣；Y=，為樣本輸出向量；IN為1個N維的單位矩陣。

借鑒 SVM等核方法，定義核函數(shù) k（x,y）=〈h（x）h（y）〉，〈·，·〉表示特征映射的內(nèi)積，定義核矩陣 K 為

將核函數(shù)代入式（1）、（3）得到 KELM的預(yù)測函數(shù)

式中：x為待估計樣本輸入向量；α為KELM的輸出權(quán)值

由于OSS-KELM訓(xùn)練可以看作是1個迭代學(xué)習(xí)過程，每次新樣本加入都需要更新輸出權(quán)值α以及求解逆矩陣R，計算耗時費力，為解決這一問題，考慮核矩陣迭代求逆加快計算速度。

定義1個在線索引集合Q，利用第1個樣本初始化逆矩陣R1和輸出權(quán)值向量α1，此時Q={1}。假設(shè)在第n+1步時，在線索引集合Q={Qi|i=1,2,…,q}，q為在線索引集合Q元素的個數(shù)，訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)集為（X,Y），其中，X=[xQ1xQ2…xQ4]T，Y=[yQ1yQ2…yQ4]T。

新加入樣本數(shù)據(jù)（xn+1,yn+1），則有

式中：Kn為第 n 步計算得到的核矩陣，kn+1=[k（xQ1,xn+1）k（xQ2,xn+1）… k（xQ4,xn+1）]T。

Sherman-Morrison公式[17]：給定矩陣A以及D、V、U，以下等式是成立的。

由于 Rn=（K+InC-1）-1在第n步中已經(jīng)得到，則求逆問題的更新式為

式中：β=Rnkn+1；λ=（k（xn+1,xn+1）-β），將得到的求逆結(jié)果代入式（6），得到第n+1步的輸出權(quán)值

這樣逆矩陣以及輸出權(quán)值便可以通過迭代計算得到?？紤]到輸出權(quán)值向量的維度隨訓(xùn)練樣本的增加呈線性增長，為了降低輸出權(quán)值向量維度，引入線性相關(guān)性作為評判的準(zhǔn)則，從而降低數(shù)據(jù)的冗余程度，精簡模型的結(jié)構(gòu)。由于在線數(shù)據(jù)是按時間序列交替出現(xiàn)的，在第n+1步根據(jù)式（12）判斷新加入的樣本（xn+1,yn+1）與當(dāng)前樣本訓(xùn)練樣本集合（X，Y）的線性相關(guān)程度

式中：KQ=（kij）∈q·q，kij=k（xi,xj），i,j∈Q。

該算法中盡管樣本數(shù)沒有上限，對于實時性要求很高的在線預(yù)測模型而言，仍不能滿足精簡模型的要求。下面以滾動窗法進行改進（如圖 2所示），當(dāng)n+1時刻加入新樣本（xn+1,yn+1）時，首先判斷新樣本與當(dāng)前樣本集（X，Y）的線性相關(guān)程度，定義1個較小的常數(shù) δ，如果 Δ＜δ，不引入新樣本對在線索引集合Q以及模型進行更新，否則，引入新樣本更新（X，Y），Q以及α，若此時樣本窗口中的數(shù)據(jù)量超過窗口規(guī)模L+1，則剔除離當(dāng)前時刻最遠的樣本數(shù)據(jù)（xQ1,yQ1），將擴維后的逆矩陣R進行降維，得到降維后的逆矩陣R。根據(jù)Sherman-Morrison定理[18]分解逆矩陣

式中：R11∈、R12∈1×(L+1)、R21∈(L+1)×1，以及 R22∈(L+1)×(L+1)，為 R 的分塊矩陣；為剔除（xQ1,yQ1）后的核矩陣；g=k（xQ1,yQ1）+C-1，G=[k（xQ1,yQ2）k（xQ1,yQ3）… k（xQ1,yQn+1）]

根據(jù)式（13）可以得到，剔除（xQ1,yQ1）后的逆矩陣

剔除（xQ1,yQ1），構(gòu)造新的樣本集合（X,Y）以及在線索引集合Q，此時輸出權(quán)值矩陣

從而保證輸出權(quán)值α維度不變，即滾動窗口數(shù)據(jù)規(guī)模恒定，從而提高計算實時性。

圖2 滾動窗原理

圖3 H=3 km、VX=20 m/s模型相對誤差

本文在高度H=1 km、前飛速度VX=0 m/s狀態(tài)下，對直升機以及發(fā)動機輸入進行充分激勵，取其歸一化后動態(tài)響應(yīng)數(shù)據(jù)，利用上述的多輸出OSS-KELM算法進行模型訓(xùn)練，在包線范圍內(nèi)對模型泛化能力進行驗證。限于篇幅，僅列出高度H=3 km、前飛速度VX=20 m/s的測試相對誤差（如圖3所示），模型精度可達1‰，滿足設(shè)計要求，其他點精度與之類似。

圖4 迭代預(yù)測模型

2.2 基于在線滾動KELM的NMPC設(shè)計

利用2.1節(jié)設(shè)計的OSS-KELM算法辨識渦軸發(fā)動機KELM動態(tài)模型，模型輸入為當(dāng)前時刻燃油Wf、歷史時刻的Wf、旋翼扭矩Qh、燃氣渦輪轉(zhuǎn)速nG、動力渦輪轉(zhuǎn)速np、渦輪級間溫度T45以及壓氣機喘振裕度SMC，輸出為當(dāng)前時刻的 Qh、nG、np、T45和 SMC。在線辨識KELM時，首先將前一時刻系統(tǒng)輸出、輸入以及歷史信息看作新樣本，并與之前訓(xùn)練樣本進行相關(guān)性分析，若新樣本與當(dāng)前樣本線性不相關(guān)，則更新輸出權(quán)值矩陣α，同時若當(dāng)前樣本數(shù)量達到窗口規(guī)模L+1，則對擴維的逆矩陣R進行降維處理，保證數(shù)據(jù)窗口規(guī)模恒定不變以提高計算實時性。此時，KELM動態(tài)模型可以描述為

為了減少計算量，需要降低模型結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度，而同時又要保證預(yù)測模型的預(yù)測精度，因此需要選擇合適的預(yù)測模型結(jié)構(gòu)。由于發(fā)動機一般可以簡化為1個2階過程，因此可以選擇控制時域NC=2。由于控制器通過滾動優(yōu)化求解動力渦輪轉(zhuǎn)速恒定為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問題，使得下一時刻的輸入總是最優(yōu)值，則預(yù)測時域Np=3，可以按照如圖4所示的方案，由當(dāng)前時刻燃油Wf（k）、未來Np步的燃油 序 列 {Wf（k+1），Wf（k+2），…，Wf（k+Np）}、歷史輸入和輸出信息根據(jù)式（16）推導(dǎo)出迭代NP步之后的預(yù)測模型

基于上述的OSS-KELM學(xué)習(xí)算法辨識的預(yù)測模型，利用SQP規(guī)劃算法實現(xiàn)在線滾動優(yōu)化求解約束下的最優(yōu)問題，即給定燃油量、渦輪轉(zhuǎn)速、渦輪級間溫度以及喘振裕度限制，保證轉(zhuǎn)速恒定為優(yōu)化目標(biāo)，進行控制器求解。本文選擇如下的二次型性能指標(biāo)

式中：p、q、r為各目標(biāo)權(quán)值。

該二次型指標(biāo)函數(shù)可以保證動力渦輪轉(zhuǎn)速恒定的同時，盡量減少燃油消耗和降低轉(zhuǎn)速波動。通過滾動優(yōu)化求解約束下的最優(yōu)問題，即可計算出使得二次型性能指標(biāo)最小的燃油流量序列{Wf（k+1），Wf（k+2），…，Wf（k+NP）}，而后將Wf（k+1）與當(dāng)前時刻實際燃油流量Wf（k）的差值作為燃油補償輸入。除此之外，引入補償燃油限制，克服因模型失配造成的不穩(wěn)現(xiàn)象，從而在滿足發(fā)動機對操縱量變化快速響應(yīng)需求的同時抑制系統(tǒng)的波動。

由于NMPC是通過模型預(yù)測系統(tǒng)未來輸出進行控制的，模型輸出與實際發(fā)動機輸出之間的誤差就必然存在。為了保證控制精度，本文通過上一時刻發(fā)動機輸出與預(yù)測模型輸出的誤差對控制指令進行修正，從而減小控制誤差。

圖5 H=3 km、VX=20 m/s前飛加減速控制效果

3 仿真驗證與分析

基于某型直升機/渦軸發(fā)動機綜合仿真平臺，在主頻3.30 GHz/內(nèi)存4 GB的仿真環(huán)境下，分別對直升機前飛和垂飛加減速機動飛行進行仿真，仿真步長為20 ms，數(shù)據(jù)作歸一化處理，驗證本文提出的基于OSS-KELM的NMPC控制方案，并與傳統(tǒng)串級PID控制進行對比分析。經(jīng)數(shù)值仿真驗證在每個20 ms的仿真周期內(nèi)，NMPC控制器計算花費時間小于5 ms，滿足實時性要求。

直升機在高度H=1 km，前飛速度VX=0 m/s的狀態(tài)下平飛加減速的響應(yīng)如圖5所示。

從圖5（b）可見，NMPC動態(tài)控制效果顯著優(yōu)于串級PID控制，NMPC控制器對應(yīng)的動力渦輪轉(zhuǎn)速最大超調(diào)量為0.56%，而串級控制器為2.21%，NMPC控制器對應(yīng)的最大下垂量為0.68%，而串級控制為2.65%，這是由于在直升機機動飛行過程中，NMPC相對于串級控制，采用預(yù)測手段，有效地根據(jù)歷史信息預(yù)測系統(tǒng)未來輸出，預(yù)測旋翼需用扭矩以及發(fā)動機轉(zhuǎn)速等參數(shù)的變化，通過求解帶約束的以減小動力渦輪轉(zhuǎn)速波動以及降低燃油消耗的性能指標(biāo)，保證每一時刻的燃油輸入為最優(yōu)值，所以NMPC控制對應(yīng)燃油波動量小于串級控制，而且可以快速地調(diào)節(jié)燃氣渦輪轉(zhuǎn)速和降低動力渦輪轉(zhuǎn)速波動量，使得動力渦輪轉(zhuǎn)速下垂/超調(diào)量很小。

圖6 H=3 km、VX=20 m/s垂飛加減速控制效果

為進一步驗證NMPC的控制效果，針對直升機垂飛加減速過程進行仿真驗證。直升機在高度H=1 km、垂飛速度VZ=0 m/s狀態(tài)下垂飛加減速機動飛行的仿真結(jié)果如圖6所示。

從圖6（b）可見，NMPC控制器的動態(tài)效果明顯優(yōu)于串級控制，NMPC控制器對應(yīng)的動力渦輪轉(zhuǎn)速最大超調(diào)量為0.27%，而串級控制器為1.98%，NMPC控制器對應(yīng)的最大下垂量為0.16%，而串級控制器為1.53%，說明了采用NMPC方案能夠通過預(yù)測旋翼扭矩、渦輪轉(zhuǎn)速等未來時刻輸出數(shù)據(jù)，在線滾動優(yōu)化求解輸出最優(yōu)的輸入，使得發(fā)動機快速滿足旋翼功率的需求，動力渦輪轉(zhuǎn)速能夠快速響應(yīng)并調(diào)節(jié)至穩(wěn)定，從而有效地抑制動力渦輪轉(zhuǎn)速超調(diào)/下垂，提升控制系統(tǒng)控制品質(zhì)。

4 結(jié)束語

本文針對渦軸發(fā)動機控制系統(tǒng)設(shè)計，基于直升機/發(fā)動機綜合仿真模型，提出了1種非線性模型預(yù)測控制方法。采用多輸出在線滾動序列核極限學(xué)習(xí)機訓(xùn)練預(yù)測模型，利用在線滾動優(yōu)化手段和反饋校正機制實現(xiàn)帶約束的模型預(yù)測控制。最終運用于直升機機動飛行過程中，仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)串級控制相比，NMPC控制器能夠有效地抑制動力渦輪轉(zhuǎn)速超調(diào)/下垂量，具有更好的控制性能。