如何找準(zhǔn)解題思路切入點(diǎn)——以一道解幾模擬題的多解剖析為例

☉江蘇省常熟市中學(xué) 吳曉鵬

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的生命，數(shù)學(xué)解題思路則是生命運(yùn)行的軌跡.如何運(yùn)用不同的思維方法，找準(zhǔn)問(wèn)題適合的切入角度，呈現(xiàn)出豐富多彩的解題思路，讓學(xué)生體會(huì)到因不同的切入點(diǎn)而帶來(lái)的策略、技巧、效果、效率的變化，提升學(xué)生對(duì)知識(shí)體系的認(rèn)識(shí)程度和關(guān)聯(lián)能力，是我們?cè)诮虒W(xué)中亟待解決的問(wèn)題，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求之一.本文就以2018屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)一模第13題為例，來(lái)談一談如何找準(zhǔn)解題思路的切入點(diǎn).

【問(wèn)題】（2018屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)一?！?3）已知直線l：x-y+2=0與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P在直線l上，圓C：（x-2）2+y2=2上有且僅有一個(gè)點(diǎn)B滿足AB⊥BP，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值集合為_(kāi)_____.

圖1

分析：本題巧妙借助直線與圓之間的特殊關(guān)系，綜合直線的方程、圓的方程、垂直關(guān)系等相關(guān)的知識(shí)，以靜觀動(dòng)、以動(dòng)求靜，來(lái)確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題.而采用不同的切入點(diǎn)，對(duì)應(yīng)著不同的解題方法.根據(jù)對(duì)應(yīng)的圖像可知，滿足條件的P有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，其所確定的以AP為直徑的圓與圓C的關(guān)系分別是外切與內(nèi)切.

切入點(diǎn)1（緊扣定義）：理解、掌握定義，并能靈活使用定義，是解題必備的技能，也是迅速找到切入點(diǎn)的重要手段.

思路分析1（圓與圓的位置關(guān)系法1）：先由A，P兩定點(diǎn)及AB⊥BP可知B點(diǎn)軌跡是圓作為切入點(diǎn)，從而確定B為兩圓唯一的公共點(diǎn)，利用兩圓相切來(lái)解題.

解法1：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（t，t+2）.

因?yàn)閳AC上有且僅有一個(gè)點(diǎn)B滿足AB⊥BP，所以以AP為直徑的圓和圓C相切，

而以AP為直徑的圓的方程為

思路分析2（圓與圓的位置關(guān)系法2）：在設(shè)點(diǎn)運(yùn)算這一環(huán)節(jié)，采用P（t，t+2）運(yùn)算較為復(fù)雜，考慮到圓的定義中M（M為AP中點(diǎn)）為圓心，那么設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)對(duì)于圓方程的表示更為簡(jiǎn)潔，運(yùn)算也更為方便.因此，在解題時(shí)，運(yùn)算的切入點(diǎn)選擇也很值得關(guān)注.

解法2：設(shè)AP的中點(diǎn)為M，因?yàn)閳AC上有且僅有一個(gè)點(diǎn)B滿足AB⊥BP，所以以AP為直徑的圓M和圓C相切.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（t，t+2），則P（2t+2，2t+4），

切入點(diǎn)2（合理轉(zhuǎn)化）：轉(zhuǎn)化思想是將未知化為已知，復(fù)雜化為簡(jiǎn)單，非常規(guī)化為常規(guī)的思想方法.注意抓住問(wèn)題的特征，合理轉(zhuǎn)化，找到解題切入點(diǎn)，使問(wèn)題簡(jiǎn)潔易解.

思路分析3（圓與圓的位置關(guān)系法3）：兩圓相切是使用圓心距與半徑之間的關(guān)系，不可避免用到根號(hào)與絕對(duì)值，運(yùn)算量大且易錯(cuò).抓住兩圓對(duì)應(yīng)方程作差確定點(diǎn)B所在的直線方程這一結(jié)論作為切入點(diǎn)，我們可以將兩圓相切的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓相切，即點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，從而快速解題.

解法3：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（t，t+2）.

因?yàn)閳AC上有且僅有一個(gè)點(diǎn)B滿足AB⊥BP，

所以以AP為直徑的圓和圓C相切，

而以AP為直徑的圓的方程（直徑式）為（x+2）（x-t）+y（y-t-2）=0.

又圓C：（x-2）2+y2=2，兩方程對(duì)應(yīng)相減，

整理可得（t-6）x+（t+2）y+2t+2=0，

整理可得3t2-16t+5=0，解得t=或5.

切入點(diǎn)3（展開(kāi)聯(lián)想）：拿到問(wèn)題時(shí)，注意對(duì)題目中條件的結(jié)構(gòu)，數(shù)據(jù)特征等展開(kāi)聯(lián)想，找到隱藏著的信息，常常能得到啟發(fā)，找到解題的切入點(diǎn).

思路分析4（雙曲線法）：根據(jù)A（-2，0），C（2，0）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，兩圓相切又會(huì)得到圓心距等于半徑和或差，展開(kāi)聯(lián)想，AP的中點(diǎn)M的軌跡與圓錐曲線有關(guān)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)解題的切入點(diǎn).

解法4：設(shè)AP的中點(diǎn)為M，因?yàn)閳AC上有且僅有一個(gè)點(diǎn)B滿足AB⊥BP，所以以AP為直徑的圓M和圓C相切，可得||MA|-|MC||=＜4=|AC|，

切入點(diǎn)4（知識(shí)遷移）：數(shù)學(xué)的各部分內(nèi)容不是孤立存在，而是互相滲透的.揭示和建立新舊知識(shí)聯(lián)系，可以幫助我們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的另一種表述，為高效率的解題找到切入點(diǎn).

思路分析5（余弦定理法）：上述4種解法均沒(méi)有跳出解析幾何的框架，而題目中兩圓相切得到圓心連線過(guò)B，從而將解析幾何中的解點(diǎn)問(wèn)題遷移到解△AMC的邊AM，利用解三角形知識(shí)，順利找到解題的切入點(diǎn).

解法5：設(shè)AP的中點(diǎn)為M，因?yàn)閳AC上有且僅有一個(gè)點(diǎn)B滿足AB⊥BP，所以以AP為直徑的圓M和圓C相切，設(shè)圓M的半徑為r.

（1）當(dāng)圓M和圓C外切時(shí)，在△AMC中，由余弦定理得MC2=AC2+AM2-2AC·AM·cos45°，

（2）當(dāng)圓M和圓C內(nèi)切時(shí)，在△AMC中，由余弦定理得MC2=AC2+AM2-2AC·AM·cos45°，

總結(jié)：根據(jù)圓C上有且僅有一個(gè)點(diǎn)B滿足AB⊥BP來(lái)確定以AP為直徑的圓和圓C相切，那么常見(jiàn)的思維方式就是利用兩圓的位置關(guān)系來(lái)處理，可以通過(guò)不同的切入點(diǎn)來(lái)分析，解法1到解法3均從“兩圓的位置關(guān)系的不同”這個(gè)角度來(lái)切入并處理；而根據(jù)以AP為直徑的圓M和圓C相切可得||MA|-|MC||=＜4=|AC|，進(jìn)而利用雙曲線的定義來(lái)轉(zhuǎn)化，結(jié)合直線與雙曲線的位置關(guān)系來(lái)解決，解法4的思維巧妙，方法特別；由于涉及的是解析幾何與三角形問(wèn)題，當(dāng)然離不開(kāi)解三角形的方法，采取兩圓外切與內(nèi)切時(shí)的不同情況，利用余弦定理也可以達(dá)到非常有效的解答，解法5給出了解三角形的奇特應(yīng)用.

總之，我們應(yīng)當(dāng)在仔細(xì)審題的基礎(chǔ)上，分析問(wèn)題與條件之間的關(guān)系，通過(guò)轉(zhuǎn)化、聯(lián)想、知識(shí)遷移等方法，找出解題的切入點(diǎn).并在解題反思中注意對(duì)條件的充分挖掘，多角度出發(fā)，多方面求解，真正體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，充分展現(xiàn)知識(shí)的交匯與綜合，達(dá)到提升能力，拓展應(yīng)用的目的.進(jìn)而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生說(shuō)過(guò)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”H