分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的滲透

☉江蘇省蘇州市吳江區(qū)平望中學(xué) 吳建琴

高中數(shù)學(xué)解題中往往會(huì)遇到問(wèn)題逐漸復(fù)雜并且無(wú)法采取統(tǒng)一方法求解的情況，對(duì)復(fù)雜情況進(jìn)行多種情形的分析并分別根據(jù)一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行解題即為我們通常所說(shuō)的分類(lèi)討論的解題方法，根據(jù)多種可能將解決的問(wèn)題由大化小、由整體化部分、由一般化特殊進(jìn)行分類(lèi)討論是很多復(fù)雜問(wèn)題的有效解決之道.不過(guò)，很多高中生在解題中運(yùn)用分類(lèi)討論思想的意識(shí)與能力都需要教師在具體的教學(xué)中進(jìn)行有意識(shí)的培養(yǎng).

一、分類(lèi)討論思想的概述

準(zhǔn)確攫取數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)并將研究對(duì)象進(jìn)行各種不同分類(lèi)的研究即是我們數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常提及的分類(lèi)討論思想.分類(lèi)與比較唇齒相依，不過(guò)，分類(lèi)往往會(huì)因?yàn)楹饬繕?biāo)準(zhǔn)的不一致而獲得更多不同的結(jié)果.教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地為學(xué)生多創(chuàng)造應(yīng)用分類(lèi)討論思想的機(jī)會(huì)并幫助學(xué)生提升應(yīng)用這一思想的能力，使學(xué)生能夠在分類(lèi)討論思想的具體應(yīng)用中做到有的放矢.

二、分類(lèi)討論思想的應(yīng)用原則

分類(lèi)討論思想需要根據(jù)具體問(wèn)題的條件或者性質(zhì)進(jìn)行清晰而準(zhǔn)確的分類(lèi)，不僅如此，解題時(shí)還應(yīng)做到層次分明且不重不漏，越級(jí)討論的現(xiàn)象在具體問(wèn)題的解決中是不應(yīng)該出現(xiàn)的.

例如，證明對(duì)于集合B成立的命題就可以把集合B分成若干個(gè)非空真子集Bi（i=1，2，3，…，n）（n≥2，n∈N），并使集合B的每個(gè)元素屬于且僅屬于其中的一個(gè)子集，即：（1）B1∪B2∪B3∪…∪Bn=B；（2）Bi∩Bj=?.

再如橢圓中的一個(gè)例子：

學(xué)生對(duì)于m＞0且m≠5以及m與5之間的大小對(duì)橢圓焦點(diǎn)產(chǎn)生的影響是比較容易理解的，因此，此題求解時(shí)可以根據(jù)m的取值范圍來(lái)討論，即分0＜m＜5與m＞5這兩種情況.

三、分類(lèi)討論思想在解題中的應(yīng)用

1.概率中的分類(lèi)討論思想

例1 設(shè)集合I={0，2，4，6，8}，選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，如果使B中最小的數(shù)大于A(yíng)中最大的數(shù)，則一共存在多少種不同的選擇方法呢？

分析：根據(jù)已知條件，（1）A和B是I的兩個(gè)非空子集，（2）B中最小的數(shù)大于A(yíng)中最大的數(shù)，這兩個(gè)條件又應(yīng)該怎樣實(shí)現(xiàn)呢？分類(lèi)討論是此時(shí)最為合理的方法.

①B中最小的數(shù)為2，此時(shí)A有1種選法，即A={0}，B有8種不同選法，即4、6、8這三個(gè)元素可以在B中也可以不在.

②B中最小的數(shù)為4，此時(shí)A有3種選法，即A為{0}，{2}，{0，2}，B有4種不同選法，即6、8這兩個(gè)元素可以在B中也可不在.

③B中最小的數(shù)為6，此時(shí)A有7種選法，即A為{0，2，4}的非空子集，而B(niǎo)有2種選法，即8這一元素可以在B中也可不在.

④B中最小的數(shù)為8，此時(shí)A有15種選法，即A為{0，2，4，6}的非空子集，而B(niǎo)只有1種選法，即B={8}.

綜上所述，共有1×8+3×4+7×2+15×1=49（種）選擇方法.

2.不等式中的分類(lèi)討論思想

例2 設(shè)k∈N，求滿(mǎn)足不等式|m|+|n|＜k的整數(shù)解組的（m，n）解集.

分析：若想直接給出此題的答案自然是比較困難的，因此，可以將k看成參數(shù)，與k相關(guān)的是整數(shù)解的組數(shù)，將其設(shè)為g（k），從特殊情況著手并探求其中的計(jì)算規(guī)律，作出猜想后證明其結(jié)論.

當(dāng)k=1時(shí)，有解（0，0），即g（1）=1；

當(dāng)k=2時(shí)，有解（0，0），（0，±1），（±1，0），即g（2）=1+4=5；

當(dāng)k=3時(shí)，有解（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±1，±1），（±2，0），即g（3）=1+4+4×2；

當(dāng)k=4時(shí)，有解（0，0），（0，±1），（0，±2），（0，±3），（±1，0），（±1，±1），（±2，0），（±3，0），（±1，±2），（±2，±1），

即g（4）=1+4+4×2+4×3.

猜想：g（k）=1+4×1+4×2+…+4（k-1）=1+2k（k-1）.

由此可得遞推式：g（k）=g（k-1）+4（k-1）.

3.函數(shù)中的分類(lèi)討論思想

學(xué)生在具體的解題過(guò)程中往往因?yàn)榉诸?lèi)討論意識(shí)薄弱而無(wú)法清晰明確哪些問(wèn)題需要分類(lèi)討論，有的學(xué)生即使能夠明白哪些問(wèn)題需要分類(lèi)討論，但在具體分類(lèi)中卻無(wú)法做到科學(xué)合理.因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)結(jié)合教材內(nèi)容啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)行思考，使得分類(lèi)討論思想的本質(zhì)以及具體問(wèn)題的本質(zhì)清晰地展現(xiàn)出來(lái)，并因此使學(xué)生能夠在解題中不斷強(qiáng)化分類(lèi)意識(shí).比如，在函數(shù)概念、性質(zhì)等研究中會(huì)用到分類(lèi)討論等等.

例3 對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax中底數(shù)a不一樣時(shí)會(huì)導(dǎo)致函數(shù)圖像的不同，因此，教師在對(duì)數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)的具體教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類(lèi)討論以獲得更加清晰的思維和理解.

（1）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)镽，函數(shù)非奇非偶，且其在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)0＜a＜1，函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)镽，函數(shù)非奇非偶，且其在定義域內(nèi)單調(diào)遞減.

教師根據(jù)底數(shù)a＞1和0＜a＜1這兩種情況進(jìn)行了分類(lèi)討論并得出了對(duì)數(shù)函數(shù)的不同性質(zhì)，學(xué)生了解不同分類(lèi)對(duì)整個(gè)函數(shù)性質(zhì)影響的同時(shí)還能在具體解題中進(jìn)行完整的分類(lèi)解題.

例4 已知函數(shù)f（x）=cos2x+asinx-a2+2a+5有最大值2，則實(shí)數(shù)a的取值如何？

4.幾何中的分類(lèi)討論思想

例5 如圖1，在△ABC中，AB=AC，△ABC內(nèi)有任意一點(diǎn)O，且∠AOB＞∠AOC.

求證：OB＜OC.

圖1

證明：設(shè)∠AOB=α1，∠AOC=α2，∠ABO=β，∠ACO=γ，則由正弦定理得

又因?yàn)椤螦OB＞∠AOC，即α1＞α2，且α1+α2＞180°，得90°＜α1＜180°，0°＜α2＜180°.

在此區(qū)間sinα2為非單調(diào)函數(shù)，因此，需要分類(lèi)討論：

①當(dāng)α2≥90°時(shí)，因?yàn)棣?＞90°，且α1＞α2，則sinα1＜sinα2，所以sinβ＜sinγ，且β、γ＜90°，則β＜γ.

②當(dāng)α2＜90°時(shí)，因?yàn)棣?＞90°，則180°-α1＜90°，又α1+α2＞180°，得α2＞180°-α1，則sinα1=sin（180°-α1）＜sinα2，所以sinβ＜sinγ，且β、γ＜90°，則β＜γ.

綜上，∠ABC=∠ACB，∠OBC＞∠OCB，所以O(shè)B＜OC.

四、應(yīng)用分類(lèi)討論思想時(shí)的注意點(diǎn)

1.明確分類(lèi)討論的原因

問(wèn)題為什么需要分類(lèi)、又應(yīng)該根據(jù)什么來(lái)分類(lèi)是學(xué)生解題時(shí)首先要弄清楚的，只有這樣，學(xué)生才能準(zhǔn)確定位分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)并做到不重復(fù)、不遺漏.數(shù)學(xué)學(xué)科中的某些概念、定義、定理、性質(zhì)、法則、公式等都是分類(lèi)給出并呈現(xiàn)一定系統(tǒng)性的，故而使得這些問(wèn)題的解決需要運(yùn)用分類(lèi)討論的思想.

2.掌握分類(lèi)討論的方法

學(xué)生在解決具體問(wèn)題時(shí)應(yīng)特別注意分類(lèi)的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)并因此進(jìn)行準(zhǔn)確、合理的分類(lèi)，只有這樣才能在解題中做到不重不漏，因此，教師在分類(lèi)討論運(yùn)用于解題的教學(xué)中應(yīng)教會(huì)學(xué)生以下原則：（1）分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確清晰；（2）分類(lèi)討論對(duì)象不能重復(fù)且遺漏；（3）當(dāng)多個(gè)分類(lèi)討論的對(duì)象存在時(shí)應(yīng)采取分層次的分類(lèi)討論，每個(gè)層次中又必須都有統(tǒng)一的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).

3.應(yīng)對(duì)結(jié)論進(jìn)行整合

學(xué)生必須具備一定的分析、邏輯推理與分類(lèi)技巧等多方面的能力才能圓滿(mǎn)地運(yùn)用分類(lèi)討論思想進(jìn)行解題，不過(guò)，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在面對(duì)參數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)有選擇性地運(yùn)用分類(lèi)討論思想，很多能夠從整體上處理的數(shù)學(xué)問(wèn)題并不需要分類(lèi)討論，教師在具體教學(xué)中應(yīng)教會(huì)學(xué)生進(jìn)行有的放矢地運(yùn)用分類(lèi)討論思想.

近年來(lái)很多高考試題的解決都需要運(yùn)用分類(lèi)討論的思想，因此，教師應(yīng)善于分析近年來(lái)全國(guó)各地的高考試題并注重多種有效解題方法的總結(jié)，只有這樣才能在實(shí)際教學(xué)中幫助學(xué)生更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)與應(yīng)用.F