尋找最初的模樣——幾何意義的運(yùn)用

☉江蘇省蘇州市蘇苑高級(jí)中學(xué) 劉寒冰

眾所周知，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決往往具備多樣性，既可以從代數(shù)視角出發(fā)，也可以從幾何角度入手.從中學(xué)數(shù)學(xué)本身來(lái)說(shuō)，我們不難發(fā)現(xiàn)這些知識(shí)往往是難點(diǎn)考查所在：函數(shù)、向量、幾何、不等式，其中涉及圖形的往往是幾何視角，涉及變形的往往是代數(shù)視角，因此掌握合適的思考方向是第一準(zhǔn)則.本文以函數(shù)最值為例，來(lái)探討從“思考—選擇—解決—反思”這一方法選擇的過(guò)程，并從中理解某些函數(shù)在最值解決的過(guò)程中如何回到最初的“模樣”.

問(wèn)題1 |2x-1|+|x+2|＞a2+a 2+2對(duì)x∈R恒成立，求a的取值范圍.

分析：本題是重慶高考真題，對(duì)于恒成立問(wèn)題的求解，學(xué)生自然清楚主要求解函數(shù)y=|2x-1|+|x+2|的最小值.筆者請(qǐng)學(xué)生做了一次嘗試，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)40位學(xué)生都是采用分類討論求解函數(shù)最值，即：令y=|2x-1|+|x+2|=利用函數(shù)圖像（此略）可得，當(dāng)x=時(shí)，|2x-1|+|x+2|有最小值可以這么說(shuō)，采用分類討論解決本題無(wú)可厚非，但是思路的單一性使其在遇到更難的問(wèn)題時(shí)勢(shì)必陷入困惑.比如：

變式：求y=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|10x-1|的最小值.

分析：此時(shí)我們不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生陷入了沉思，其發(fā)現(xiàn)采用問(wèn)題1分類討論的方式花費(fèi)時(shí)間較多，這一方法已經(jīng)不是解決本題的主要方式，因此需要思考更合適的解決方法.

優(yōu)化：讓我們回到絕對(duì)值最值函數(shù)最初的模樣來(lái)思考.初中對(duì)于絕對(duì)值這一概念的定義是什么樣的？何為絕對(duì)值？|a-b|或|b-a|表示數(shù)軸上表示a的點(diǎn)與b的點(diǎn)的距離——這是絕對(duì)值幾何意義的體現(xiàn).不妨從最基本的幾個(gè)絕對(duì)值函數(shù)最值思考，如：求y=|x-1|的最小值；求y=|x-1|+|x-2|的最小值；求y=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值等等.顯然，上述函數(shù)的最值從絕對(duì)值幾何意義的視角考慮，既簡(jiǎn)單又清晰，無(wú)需分類討論即能找到最值，此處不再贅述.那么對(duì)于多個(gè)絕對(duì)值函數(shù)的最值，可以從這一原理思考，進(jìn)而利用幾何意義獲得優(yōu)解.

原理：（1）偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)：y=|x-a|+|x-b|的最小值（a≤b），當(dāng)且僅當(dāng)x∈［a，b］時(shí)取到；函數(shù)y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|（n為偶數(shù)且a1≤a2≤…≤an）的最小值，當(dāng)且僅當(dāng)

（2）奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)：y=|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值（a≤b≤c），當(dāng)且僅當(dāng)x=b時(shí)取到；函數(shù)y=|x-a1|+|x-a2|+…+|xan（|n為奇數(shù)且a1≤a2≤…≤an）的最小值，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取到.

圖1

圖1

本質(zhì)求解：利用絕對(duì)值幾何意義，我們不妨再回首問(wèn)題1.考慮到|2x-1|的幾何意義不便直接表示，因此將其拆成兩部分，利用絕對(duì)值的幾何意義，即|x+2|，如圖1，分析一維數(shù)軸中距離的含義可知：當(dāng)

反思：我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題的常用解決手段是分類討論，但是借助分類討論往往是費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且不易正確求解.學(xué)生偏愛(ài)分類討論說(shuō)明我們關(guān)于絕對(duì)值問(wèn)題的解法教學(xué)是單一的，更多地關(guān)注了模式化的操作，而忽視了對(duì)概念本質(zhì)的思考——絕對(duì)值最初的模樣，即對(duì)絕對(duì)值幾何意義的思考.

問(wèn)題2 設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2=1，求2x+y的最大值.

分析：此題為二元最值問(wèn)題，也是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的最值模型.學(xué)生對(duì)這樣的模型主要是利用代數(shù)方式中的判別式法或者三角換元求解，也可以從幾何意義的角度——直線的截距z=2x+y上思考，從而獲得求解.這一問(wèn)題的幾何意義還是比較明顯的，過(guò)程不再贅述.

變式1：設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值.

變式3：若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值為______.

思考：變式1和問(wèn)題2類似，但是其x和y具備了交叉混合項(xiàng).此時(shí)直接的代數(shù)法三角換元顯然失效，該如何思考？如果從幾何意義的視角思考，方程4x2+y2+xy=1顯然代表的是封閉曲線，而且顯然不是圓的方程，那么對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，封閉的曲線只能從橢圓上去思考，因此利用換元可以將該曲線旋轉(zhuǎn)回到標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)，即令

1，表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓里對(duì)曲線的思考體現(xiàn)了對(duì)知識(shí)理解的正確性，其截距的幾何意義也是水到渠成.

將問(wèn)題條件和結(jié)論換位思考，我們得到了變式2，對(duì)這一結(jié)論的代數(shù)化方向思考顯然不太容易，問(wèn)題的解決回到了最初的模樣，即幾何意義的思考.將 x2+y2+y看成兩部分，第一部分幾何意義顯然是曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，第二部分是曲線上的點(diǎn)到x軸的距離，因此兩段距離和的最小值是本題的幾何本質(zhì).給出簡(jiǎn)析：（1）當(dāng)y≥0時(shí)，設(shè)P（x，y），PP0⊥x，所以P（0x，0），|PO|=，所以原式=（|PO|+|PP0|）min，作O關(guān)于x+2y=2的對(duì)稱點(diǎn)當(dāng)Q，P，P三點(diǎn)共線垂直于x軸時(shí)，有最小值；（2）當(dāng)y=0

0時(shí)，+y=2；（3）當(dāng)y＜0時(shí)，+y=|PO|-|PP0|＞|P0O|-|P0P|＞|P0O|-|MP0|=2.綜上所述，（

對(duì)于變式3，我們?nèi)绾螐膸缀我饬x的視角思考最值？顯然二元變量x，y滿足關(guān)系式x2+y2≤1，其幾何意義非常的明顯，即點(diǎn)（x，y）在以x2+y2=1為邊界的圓及其內(nèi)部，而可看成是點(diǎn)（x，y）到直線l1：2x+y-2=0，l2：x+3y-6=0的距離.因此從解析幾何的角度我們可以得到如下的解法.如圖2，直線l1、l2的斜率分別為-2、-，兩直線間的夾角記為.令點(diǎn)P（x，y）是x2+y2≤1所表示區(qū)域上的一點(diǎn)，PN⊥l1，PM⊥l2，則F=|2x+y-2|+|6-x-，當(dāng)P在l1與單位圓的交點(diǎn)處時(shí)有最小值3.

圖2

反思：從幾何意義的角度，讓原本復(fù)雜的分類代數(shù)討論變得簡(jiǎn)捷，因此對(duì)不少類型的函數(shù)最值，教師要引導(dǎo)學(xué)生從幾何意義的視角去思考，特別是非解答題，這樣的方式是有意義和高效的.

總之，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決是雙重性的，既要關(guān)注萬(wàn)能的代數(shù)方式（其解決方式較為全面、系統(tǒng)，但是稍顯煩瑣），也要注重具備直觀感受的幾何方式（快捷、方便，注重思維）.在函數(shù)最值領(lǐng)域，若能靈活地思考所求目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，對(duì)于問(wèn)題的解決顯然是比較高效的.通過(guò)對(duì)幾何意義的學(xué)習(xí)，我們回到了數(shù)學(xué)概念最真的本質(zhì)，在茫茫題海訓(xùn)練中，我們回到了問(wèn)題解決最初的模樣——數(shù)學(xué)知識(shí)的幾何意義，這不正是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)嗎？