看穿數(shù)學(xué)現(xiàn)象，直達問題本質(zhì)

☉江蘇省張家港市樂余高級中學(xué) 高 遠

能在短時間內(nèi)就將高考試題看出結(jié)果自然是對試題本質(zhì)與核心攫取、掌握尤為精準(zhǔn)的呈現(xiàn)，這說明學(xué)生對基本概念、公式、定理等數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)涵與外延及其使用方法已經(jīng)達到尤其熟練的程度，學(xué)生能夠在一眼看穿數(shù)學(xué)現(xiàn)象的基礎(chǔ)上直達問題核心并獲得高效的思維呈現(xiàn)是高三數(shù)學(xué)教師復(fù)習(xí)教學(xué)中一直追求的最高目標(biāo).

一、數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)的著眼點

當(dāng)今高考一直立意于“多一點思考、少一點計算”的理念進行試題的編制，這是對學(xué)生數(shù)學(xué)理解、問題解決、思維品質(zhì)優(yōu)化等諸多數(shù)學(xué)能力的考查，高三數(shù)學(xué)教師應(yīng)明確清晰命題這一理念并圍繞這一中心進行數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué).

1.準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)理解

教師在高三數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)科的角度對數(shù)學(xué)進行整體的認識，學(xué)生在數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的結(jié)構(gòu)上一旦形成準(zhǔn)確的分析，便能對知識內(nèi)部的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)問題的內(nèi)核形成準(zhǔn)確的理解，透過數(shù)學(xué)現(xiàn)象直達問題本質(zhì)并看出題目的結(jié)果也才有可能實現(xiàn).因此，教師應(yīng)著眼于數(shù)學(xué)的理解進行具體的復(fù)習(xí)教學(xué).

2.簡約的解題思路

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)雖然表面看似紛繁復(fù)雜，但其根源卻往往都是精簡而樸實的，解題思路與過程實際上也具備簡約的特點，教師關(guān)鍵要引導(dǎo)學(xué)生排除干擾環(huán)節(jié)并打開解題的快速通道.不過，值得注意的是，解題思路與過程的簡約并不代表解題步驟的省略，而是問題的精準(zhǔn)理解以及思維品質(zhì)的優(yōu)化.

3.優(yōu)秀的思維品質(zhì)

近年來的高考命題在知識的考查上更加注重其理解與應(yīng)用，尤其是知識遷移中的綜合靈活應(yīng)用得到了更加廣泛的覆蓋，這所有的考查實質(zhì)上都是側(cè)重對學(xué)生個體理性思維廣度、深度與潛能的考查.事實上，學(xué)生能看穿數(shù)學(xué)現(xiàn)象并直達問題本質(zhì)必須具備對數(shù)學(xué)內(nèi)涵與思想方法的直觀、直覺、迅速的理解，這一借助直覺思維與邏輯推理達成的認知實質(zhì)上正是思維品質(zhì)優(yōu)化的結(jié)果.

二、看透問題本質(zhì)的教學(xué)之法

1.著眼于題目主干進行題根的探尋

學(xué)生在試題的審視中如果能夠抓住題族的根祖與根基，就等于抓住了知識的主干，因此，教師在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生對考點與題根進行網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)并組織舉一反三的練習(xí)，使學(xué)生能夠在一道題中學(xué)會一類題的解法并取得事半功倍的復(fù)習(xí)效果.

例1 已知數(shù)列{an}中，a1=1數(shù)列{bn}的通項公式.

此題的常規(guī)解法是先求得{an}的通項公式，繼而再求得{bn}的通項公式.但此題為何沒有提出求{an}通項公式的要求呢？降低難度？

故等比數(shù)列cn+1=4cn為線性數(shù)列bn+1=4bn+2的題根（{cn}本題的一級題根）.

由此可見，弄清本題的題根就可以看出此題的解題思路以及最后的結(jié)果.

2.著眼于學(xué)科并進行整體審視

很多數(shù)學(xué)問題置于某一模塊或知識點時往往難以理清其脈絡(luò)，但如果站在學(xué)科的高度并對其信息進行類比、聯(lián)想、知識遷移與應(yīng)用便往往能使其迎刃而解.因此，教師在具體的復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生對知識間的聯(lián)系進行體會，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的整體性并因此看出問題的結(jié)果.

例2 如圖1，一小球自M處落下并經(jīng)過管道落至A或B或C處.該小球在各岔口進入左右管道的機會是相等的.某商場利用這一設(shè)備進行了促銷活動，假如將小球落到A、B、C處分別設(shè)為1、2、3等獎.

（1）已知獲得1、2、3等獎的折扣率分別為50%、70%、90%，記隨機變量ξ為獲得k（k=1，2，3）等獎的折扣率，則隨機變量ξ的分布列及期望Eξ分別是多少？

圖1

（2）假如有3人參加此次活動，將獲得1等獎或2等獎的人次記作隨機變量η，求P（η=2）.

考生在此題上的得分并不高，這說明大多數(shù)考生對于此題的問題本質(zhì)并沒有吃透，但如果學(xué)生能夠從學(xué)科的角度來整體審視此題，學(xué)生很快就能發(fā)現(xiàn)此題本質(zhì)上只是一個分類計數(shù)與分步計數(shù)的問題.

圖2

圖3

圖1中的背景與內(nèi)涵在增加了圖2、圖3這兩個過渡之后很快變得一目了然，圖2這樣的圖形在分類計數(shù)加法原理與分步計數(shù)乘法原理的講解中都有所涉及，類似杭州到北京有哪些路徑之類的問題也大多在教學(xué)中請學(xué)生數(shù)過，諸如圖3中增加岔路口的問題雖然變得相對復(fù)雜一些，但其本質(zhì)并沒有改變，經(jīng)歷一個岔路口即會經(jīng)歷一次選擇這一本質(zhì)步驟是解決此類問題時應(yīng)該牢牢把握的.

經(jīng)歷不同岔路口這一事件類似分步計算且都屬于“積事件”，A、B、C通道的設(shè)計與分類加法計數(shù)類似且都屬于“和事件”.因此，站在數(shù)學(xué)學(xué)科整體的高度對此問題進行理解就能很快把握問題的本質(zhì)并順利求解了.

三、看出問題結(jié)果的應(yīng)考之術(shù)

解題做到“快、準(zhǔn)、靈”必須建立在準(zhǔn)確把握題目特點的基礎(chǔ)上并進行靈活、巧妙解法的選擇，這對于看出問題結(jié)果來說是一個外在的表現(xiàn).高三數(shù)學(xué)教師在具體的復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生進行解題經(jīng)驗與策略的積累并以此促進學(xué)生考試時從容應(yīng)對，一般來說，教師在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)對高考時需要關(guān)注數(shù)形結(jié)合、歸納類比思想以及一些特殊的解題策略.

1.強調(diào)數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)量關(guān)系與空間形式簡單說來即為數(shù)與形，由此可見，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的基本方法必然是數(shù)形結(jié)合這一最為重要的思想方法.圖形或圖像在具體問題中的應(yīng)用往往能使問題中的信息更加直觀地呈現(xiàn)出來并因此降低學(xué)生的思維難度，因此，教師在具體教學(xué)中應(yīng)加強數(shù)形結(jié)合思想方法的提煉并因此促進學(xué)生對問題結(jié)果的把握.

例3已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+15-2a的兩個零點分別為x1，x2，且在區(qū)間（x1，x2）上恰好有兩個正整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

解：顯然f（-1）=16≠0，所以x1，x2也是方程的兩個零點.

畫出函數(shù)圖像，如圖4所示：

圖4

此題就應(yīng)用了參數(shù)分離與數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生打開了思維的斷點，對接問題和圖像的特點，以此輕松應(yīng)對相應(yīng)的問題.

2.強調(diào)歸納類比思想

歸納類比這一推理方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也是一種常見的思維方法，很多數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)以及數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解往往都會依賴歸納類比這一思想方法，因此，教師在具體教學(xué)中應(yīng)強調(diào)歸納類比思想在具體問題中的運用并以此幫助學(xué)生迅速尋得解題的方向與大致結(jié)果.

3.重視特殊策略的提煉

很多特殊值、特殊點、特殊關(guān)系的運用在一些一般性數(shù)學(xué)問題的解決有困難時往往能夠起到特殊的作用，一般來說，很多選擇題、填空題的解答以及這類題目的思路探尋或結(jié)果驗證都可以運用這一特殊技術(shù)策略.

4.強化正難則反的策略

很多問題從其正面進行解決時往往會令人感覺棘手，此時聯(lián)想其逆向或反面內(nèi)容往往會令題目迎刃而解，從條件出發(fā)進行解題無法得出結(jié)論時，聯(lián)想正難則反的策略往往能夠在改變思維方向時獲得反面的思考并順利解題.因此，教師在具體教學(xué)中應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生在一些選擇題或填空題中運用此法并獲得解題奇效.

考試的結(jié)果往往會受知識的多寡、能力的高下、心態(tài)的好壞等多方面的影響，高考復(fù)習(xí)得越是充分越能幫助學(xué)生在高考中獲得理想的成績，因此，教師在具體的數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)中一定要幫助學(xué)生掌握應(yīng)對高考的知識、技術(shù)、策略以幫助學(xué)生抵達數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的最高境界.