對(duì)一道立體幾何模擬試題的多解探究

☉江蘇省海門中學(xué) 曹 鋒

立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題是指在某一個(gè)平面內(nèi)，或某一條線段上探究滿足一定條件的動(dòng)點(diǎn)位置，或者探究與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)量的變化情況等.作為一種動(dòng)態(tài)的探究問(wèn)題，這類問(wèn)題具有一定綜合性與拓展性，常見(jiàn)的有三種類型：一是探求滿足一定條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡；二是探求滿足一定條件的動(dòng)點(diǎn)的準(zhǔn)確位置；三是探求與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)量的最值或范圍.此類問(wèn)題在解題中要善于從多角度分析問(wèn)題，抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，是一些選拔性考試中經(jīng)常出現(xiàn)的一類題型，可以非常好地考查能力，體現(xiàn)區(qū)分度.

【問(wèn)題】（2018屆北京市海淀區(qū)高三二模試卷·14）如圖1，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面ABB1A1內(nèi)，若D1P⊥CM，則△PBC的面積的最小值為_(kāi)_____.

圖1

分析：本題以考生常見(jiàn)的正方體為載體，通過(guò)設(shè)置幾何對(duì)象之間的關(guān)系——線線垂直，結(jié)合立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題來(lái)確定相關(guān)三角形的面積的最值，有利于考生主動(dòng)探索與發(fā)揮想象.本題解法靈活多樣，達(dá)到了區(qū)分不同層次考生的目的，突出了試題的選拔功能.

思路1：根據(jù)條件分析確定當(dāng)線段PB最短時(shí)，S△PBC取得最小值，通過(guò)平面幾何法思維，通過(guò)輔助線與輔助面的確定得到E為AB的中點(diǎn)，并加以確定點(diǎn)P在線段EB1上，利用點(diǎn)與線的關(guān)系確定當(dāng)PB⊥EB1時(shí)，線段PB最短，利用等積法思維的轉(zhuǎn)化來(lái)求解線段PB的最短距離即可求解相應(yīng)的最小值問(wèn)題.

解法1：由于點(diǎn)P在側(cè)面ABB1A1內(nèi)，根據(jù)正方體的性質(zhì)有BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥BP，

圖2

如圖2，因?yàn)锽1D1⊥平面ACC1A1，CM?平面ACC1A1，所以B1D1⊥CM.

在矩形ACC1A1中，O，O1分別是邊AC，C1A1的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AO的中點(diǎn)，

所以Rt△MAC∽R(shí)t△NOO1，可得CM⊥NO1，

過(guò)點(diǎn)N作EF∥BD交AB，AD分別于點(diǎn)E，F(xiàn)（E，F(xiàn)分別為AB、AD的中點(diǎn)），所以CM⊥平面EB1D1F.

因?yàn)镈1P⊥CM，點(diǎn)P在側(cè)面ABB1A1內(nèi)，

所以點(diǎn)P在線段EB1上，

所以當(dāng)PB⊥EB1時(shí)線段PB最短，

思路2：根據(jù)條件分析確定當(dāng)線段PB最短時(shí)，S△PBC取得最小值，設(shè)出E—→B=λA—→B，通過(guò)向量法思維確定參數(shù)λ的值，得以確定E為AB的中點(diǎn)，并確定點(diǎn)P在線段EB1上，利用點(diǎn)與線的關(guān)系確定當(dāng)PB⊥EB1時(shí)，線段PB最短，利用等積法思維的轉(zhuǎn)化來(lái)求解線段PB的最短距離即可得以求解相應(yīng)的最小值問(wèn)題.

解法2：由于點(diǎn)P在側(cè)面ABB1A1內(nèi)，根據(jù)正方體的性質(zhì)有BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥BP，

圖3

如圖3，點(diǎn)E在AB上，EB1為平面EB1D1與側(cè)面ABB1A1的交線.

因?yàn)锽1D1⊥CM，當(dāng)CM⊥EB1時(shí)，有CM⊥平面EB1D1.

因?yàn)镈1P⊥CM，點(diǎn)P在側(cè)面ABB1A1內(nèi)，所以點(diǎn)P在線段EB1上.

所以當(dāng)PB⊥EB1時(shí)，線段PB最短，

思路3：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，b，c），根據(jù)條件D1P⊥CM確定其對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為0，得到關(guān)系式c=2b-2，結(jié)合BC⊥BP來(lái)確定三角形的面積，利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)確定其最小值即可.

圖4

解法3：如圖4，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，

則D1（0，0，2），B（2，2，0），M（2，0，1），C（0，2，0），=（-2，2，-1）.

由于點(diǎn)P在側(cè)面ABB1A1內(nèi)，設(shè)P的坐標(biāo)為（2，b，c），其中b，c∈［0，2］，則（2，b，c-2），

而點(diǎn)P在側(cè)面ABB1A1內(nèi)，根據(jù)正方體的性質(zhì)有BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥BP，

思路4：根據(jù)條件分析確定當(dāng)線段PB最短時(shí)，S△PBC取得最小值，通過(guò)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，b，c），根據(jù)條件D1P⊥CM確定其對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為0，得到關(guān)系式c=2b-2，進(jìn)而在平面ABB1A1內(nèi)確定其關(guān)系式所對(duì)應(yīng)的軌跡：點(diǎn)P在線段EB1上移動(dòng)（E為AB的中點(diǎn)），利用點(diǎn)與線的關(guān)系確定當(dāng)PB⊥EB1時(shí)，線段PB最短，利用等積法思維來(lái)求解線段PB的最短距離即可得以求解相應(yīng)的最小值問(wèn)題.

解法4：由于點(diǎn)P在側(cè)面ABB1A1內(nèi)，根據(jù)正方體的性質(zhì)有BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥BP，

△PBCPB最短時(shí)，S△PBC取得最小值，

圖5

如圖5，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，

則D（10，0，2），B（2，2，0），M（2，0，1），C（0，2，0），—M→C=（-2，2，-1）.

由于點(diǎn)P在側(cè)面ABB1A1內(nèi)，設(shè)P的坐標(biāo)為（2，b，c），b，c∈［0，2］，則（2，b，c-2），

由D1P⊥CM，可得=（2，b，c-2）·（-2，2，-1）=-4+2b-c+2=0，

解得c=2b-2，b∈［0，2］，所以點(diǎn)P在線段EB1上移動(dòng)（E為AB的中點(diǎn)），

所以當(dāng)PB⊥EB1時(shí)，線段PB最短，

其實(shí)，立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，軌跡的長(zhǎng)度及動(dòng)角的范圍，以及與之相關(guān)的其他問(wèn)題等.此類問(wèn)題主要在于探究空間動(dòng)點(diǎn)的軌跡的形成過(guò)程，同時(shí)注意動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)以及點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系.立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題既有“動(dòng)”的行為，又能“靜”的表述，可以很好考查綜合能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).H