探析命題特點(diǎn) 引領(lǐng)課改方向*——2018年高考全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題評(píng)述

☉重慶市教育科學(xué)研究院 張曉斌

☉重慶市復(fù)旦中學(xué) 李 波

☉重慶市育才中學(xué) 范美卿

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》）頒布之后，社會(huì)對(duì)2019年開(kāi)始在全國(guó)推行新一輪課程改革方案如何更好的實(shí)施，考試如何評(píng)價(jià)等熱點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)行了很多的討論，這就注定了2018年高考命題是不一樣的，它會(huì)向外界釋放著更多的信息，有待我們?nèi)ネ诰?它是一個(gè)風(fēng)向標(biāo)，引領(lǐng)課程改革、考試評(píng)價(jià)的方向.因此，我們必須研究全國(guó)卷的命題特點(diǎn)，摸清命題規(guī)律，明晰命題趨勢(shì)，探尋試題中蘊(yùn)含的新課改數(shù)學(xué)高考變化信息.

一、命題思路分析

新一輪課改在以浙江、上海為代表的省市先行先試的情況下促進(jìn)了學(xué)生升學(xué)通道日趨多元化，如參加國(guó)外高考、保送生、各高校自主招生、各省市春季招生等情況，高考承擔(dān)著優(yōu)生選拔的功能性被不斷分流稀釋?zhuān)瑓⒓?月份高考考生人數(shù)、優(yōu)生比例同期相比逐年下降.特別是數(shù)學(xué)學(xué)科今后新高考文理科學(xué)生同卷，也不再有文理分科之說(shuō).在這樣的背景下，2018年全國(guó)Ⅱ卷文、理科數(shù)學(xué)試題命制，嚴(yán)格遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下稱(chēng)《實(shí)驗(yàn)課標(biāo)》）的要求，緊扣《2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱（數(shù)學(xué)）》與《2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說(shuō)明（數(shù)學(xué)）》，難度系數(shù)與往年相比有所降低，特別重視對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查.

二、試卷結(jié)構(gòu)分析

在未進(jìn)入新高考的這幾年，全國(guó)Ⅱ卷試卷結(jié)構(gòu)、分值分布等會(huì)保持穩(wěn)定不變.2018年全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)試卷有12道選擇題，4道填空題，6道解答題.解答題分必考內(nèi)容和選考內(nèi)容，必考內(nèi)容有5道題，為必做題；選考內(nèi)容有2道題，考生只需從2道題中任選1道題作答即可，也即“2選1”模式，兩道選考題分別考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程、不等式選講內(nèi)容.全卷單選題60分，填空題20分，解答題70分（其中含選考內(nèi)容10分）.

2018年全國(guó)Ⅱ卷文、理考點(diǎn)分析

1 6 圓錐（線面角、側(cè)面積） 圓錐（線面角、體積）1 7 等差數(shù)列（求通項(xiàng)、求和、最值）1 8 回歸分析（線性模型、模型分析、統(tǒng)計(jì)推斷）1 9 拋物線與圓（焦點(diǎn)弦的性質(zhì)和圓的性質(zhì)）三棱錐（線面垂直、點(diǎn)面距離）2 0 三棱錐（線面垂直、二面角及線面角） 與理科第1 9題相同2 1 導(dǎo)函數(shù)（超越函數(shù)、最值、零點(diǎn)個(gè)數(shù)與求參問(wèn)題）導(dǎo)函數(shù)（多項(xiàng)式函數(shù)、單調(diào)性、零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題）2 2 坐標(biāo)系與參數(shù)方程（化為普通方程、直線參數(shù)方程應(yīng)用）2 3 不等式選講（含絕對(duì)值不等式的解法）

從以上表格中可以看出，集合、復(fù)數(shù)、函數(shù)、向量、算法、概率、三角函數(shù)、解三角形、線性規(guī)劃、雙曲線等內(nèi)容在考查方式上繼承了往年的考查方式，數(shù)列、立體幾何、導(dǎo)數(shù)等高中數(shù)學(xué)主干內(nèi)容出題也比較穩(wěn)定，充分體現(xiàn)了試卷對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)考查的基礎(chǔ)性、全面性和綜合性，同時(shí)也非常注重對(duì)通性通法的考查，堅(jiān)持以素養(yǎng)導(dǎo)向、能力立意，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、人文價(jià)值、核心素養(yǎng)、創(chuàng)新意識(shí)的考查.

三、命題特點(diǎn)分析

1.文理試卷有較高的趨同性

從上面的表格中可以看出今年高考數(shù)學(xué)文理科相同題有11道，分值高達(dá)79分，姊妹題有7道，分值達(dá)到42分，文理科真正不同的題就只有集合題、概率題、三角填空題和函數(shù)導(dǎo)數(shù)題等，這種文理科高考數(shù)學(xué)試題出現(xiàn)較高的趨同性，是近幾年不多見(jiàn)的，且逐年趨同性呈加大的趨勢(shì)，這也為今后順利過(guò)渡到不分文理科的新高考數(shù)學(xué)試卷作了很好的鋪墊.

2.體現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的有效銜接

雖然極限的概念中學(xué)階段沒(méi)有給出準(zhǔn)確的定義，課標(biāo)教材中從多方位、多角度滲透了極限思想.在導(dǎo)數(shù)概念中運(yùn)用了極限符號(hào)，在研究雙曲線漸近線、求的近似值、二分法求方程近似解、統(tǒng)計(jì)中研究密度曲線等等都滲透了極限思想.以相關(guān)知識(shí)為載體，考查極限思想是全國(guó)卷的一個(gè)變化趨勢(shì).

圖1

此題立足課標(biāo)，注重考查教材中蘊(yùn)含的高等數(shù)學(xué)思想，尤其是對(duì)極限思想的考查，恰當(dāng)?shù)卦谥袑W(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯處設(shè)計(jì)試題.

3.注重“立德樹(shù)人”與人文精神的培養(yǎng)

高考數(shù)學(xué)考試大綱及考試說(shuō)明中明確指出，增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考試內(nèi)容，積極培養(yǎng)和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用.同時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科性質(zhì)決定了數(shù)學(xué)重要的理論總是在原有理論的基礎(chǔ)上繼承、發(fā)展、建立起來(lái)的，它們不會(huì)推翻原有的結(jié)論，而往往是包含原有的理論.因此，數(shù)學(xué)史對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)起著重要的作用.以數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重大事件、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)名著、數(shù)學(xué)家的故事為背景，以此提高學(xué)生文化素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

例2（2018年全國(guó)Ⅱ卷理科第8題）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（ ）.

此題以我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)證明哥德巴赫猜想，作為命題背景，考查古典概型.充分體現(xiàn)了“一點(diǎn)四面”：堅(jiān)持以立德樹(shù)人為核心，持續(xù)深化對(duì)“一點(diǎn)四面”的考查.“一點(diǎn)”就是立德樹(shù)人；“四面”就是核心價(jià)值觀、傳統(tǒng)文化、以法治國(guó)、創(chuàng)新精神.中國(guó)傳統(tǒng)文化博大精深，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，其中一些文化中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)也十分豐富，將立德樹(shù)人與人文精神綜合考查，將是今后高考的趨勢(shì)，必須加以深入挖掘與探究.

4.突出對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷思想與數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的考查

云計(jì)算、大數(shù)據(jù)、人工智能等手段的出現(xiàn)，為數(shù)學(xué)應(yīng)用發(fā)展提供了廣闊的舞臺(tái).《實(shí)驗(yàn)課標(biāo)》提出了應(yīng)該提供一些基本內(nèi)容的實(shí)際背景，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.開(kāi)展數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)活動(dòng)，設(shè)立數(shù)學(xué)應(yīng)用的專(zhuān)題課程，力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用文化價(jià)值，提高學(xué)生的實(shí)踐能力.

例3（2018年全國(guó)Ⅱ卷文理科第18題）圖2是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖.

圖2

為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，17）建立模型①?=-30.4+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，7）建立模型②：y?=99+17.5t.

（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；

（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由.

此題充分考查了數(shù)學(xué)建模和統(tǒng)計(jì)推斷的思想，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，能夠讓學(xué)生養(yǎng)成基于數(shù)據(jù)思考問(wèn)題和作圖統(tǒng)計(jì)推斷的習(xí)慣，提升基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力，積累在錯(cuò)綜復(fù)雜的情景中探索事物的本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的經(jīng)驗(yàn).特別是第二問(wèn)的考查模式與往年高考不同，其答案是多樣化和開(kāi)放式的，只要具有合理理由即可，因此，文理科考生會(huì)有不同的切入點(diǎn).文科生熟悉回歸分析，對(duì)模型擬合效果僅通過(guò)R2來(lái)判斷，也更傾向于通過(guò)預(yù)測(cè)值結(jié)合圖表特征，“感覺(jué)”那個(gè)模型更“合理”；理科考生會(huì)從回歸分析的角度判斷，可通過(guò)殘差表、殘差圖、相關(guān)性系數(shù)R2情況等來(lái)判斷模型的擬合效果，充分運(yùn)用“數(shù)據(jù)”來(lái)說(shuō)話，但試卷未給出R2公式，或因殘差計(jì)算太復(fù)雜，對(duì)回答此題考生會(huì)有較多困擾.設(shè)置這樣一個(gè)具有發(fā)散性的問(wèn)題，改變了我們對(duì)于傳統(tǒng)的概率與統(tǒng)計(jì)解答題考查方式的認(rèn)知.

5.導(dǎo)向?qū)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查

數(shù)學(xué)學(xué)科的考試，按照“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力”的原則，確立以能力立意、導(dǎo)向素養(yǎng)的命題指導(dǎo)思想，將知識(shí)、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測(cè)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).修訂后的高中數(shù)學(xué)《課標(biāo)》提出了六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.它們與數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想與方法并不矛盾，今后將在高考中會(huì)有越來(lái)越大的體現(xiàn).

例4（2018年全國(guó)Ⅱ卷文理科第17題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1=-7，S3=-15.

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值.

解析：數(shù)列是定義在N*上特殊的函數(shù)，此題充分考查了等差數(shù)列的概念與性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式以及用函數(shù)求最值的思想方法等.易得an=2n-9，n∈N*?Sn=n2-8n，由二次函數(shù)可得Sn有最小值為S4=-16；也可由數(shù)列的定義，a1=-7＜0，d=2＞0知，Sn有最小值，即數(shù)列前n項(xiàng)的值均為非正數(shù)時(shí)，只需找到臨界項(xiàng)an=2n-9≤0?n≤，即前4項(xiàng)的和最小.

本題在考查“四基”的基礎(chǔ)上，注意函數(shù)思想的融合與運(yùn)用，讓考生站在“函數(shù)”的高度來(lái)深刻認(rèn)識(shí)“數(shù)列”問(wèn)題，這對(duì)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了一定要求.

例5（2018年全國(guó)Ⅱ卷理科第21題）已知函數(shù)f（x）=ex-ax2.

（1）若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.

函數(shù)導(dǎo)數(shù)題目與函數(shù)零點(diǎn)相結(jié)合考查，可利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問(wèn)題求解，轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖像的上下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.結(jié)合化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，考查學(xué)生對(duì)合理構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式方法的掌握程度，特別是對(duì)零點(diǎn)存在必要性和充分性要完善證明，會(huì)利用泰勒公式的展開(kāi)與放縮，也可以構(gòu)造一個(gè)與原函數(shù)滿足條件的等價(jià)函數(shù)問(wèn)題，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，充分利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間和最小值，進(jìn)而刻畫(huà)出零點(diǎn)分布情況獲得答案.此題不論何種解法，都對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)提出了很高的要求，充分考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

四、復(fù)習(xí)建議

1.素養(yǎng)導(dǎo)向，學(xué)科育人

高考基于數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析這六大核心素 養(yǎng)，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí).在課堂教學(xué)中要融入核心素養(yǎng)的培育，重視學(xué)生的閱讀能力，讓學(xué)生充分思考，在思考中獲取知識(shí)，提高抽象推理能力，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展.在這樣的新課改理念下，我們要認(rèn)真鉆研，將培育學(xué)生的“核心素養(yǎng)”作為最終的教學(xué)目標(biāo).

2.能力立意，情境創(chuàng)新

高考注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的角度考慮問(wèn)題，在知識(shí)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，使對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的考查達(dá)到必要的深度，對(duì)學(xué)生素質(zhì)進(jìn)行全面、綜合的衡量，讓不同層次的考生充分展示自己的真實(shí)實(shí)力，從而有效地區(qū)分學(xué)生的審題、思維等水平，甄別學(xué)生的創(chuàng)新力與發(fā)展?jié)摿?由于思維能力是學(xué)生學(xué)習(xí)和獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的主要關(guān)鍵能力，因此，我們?cè)趥淇紡?fù)習(xí)中要教會(huì)學(xué)生思考，正如“思則明，明則通，通則變”.同時(shí)我們也要關(guān)注高考創(chuàng)新情境題型，特別是將知識(shí)遷移到不同情境中的創(chuàng)新，這樣可以充分檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度、理性思維的深度與廣度以及抉擇解題方案優(yōu)化解題的能力.

3.回歸教材，落實(shí)雙基

今年全國(guó)Ⅱ卷高考數(shù)學(xué)試題與去年比較，全卷難度有較大下調(diào)，回歸數(shù)學(xué)本源問(wèn)題，全面落實(shí)“四基”.教材是支撐學(xué)科知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，教材中的習(xí)題大多蘊(yùn)含豐富、深刻的背景.高考試題源于教材而高于教材，回歸教材是高效備考的重要途徑.我們要吃透教材，用活教材，發(fā)揮教材的“根基”作用，這就需要學(xué)生能站在思想與方法、區(qū)別與聯(lián)系、延伸與拓展的高度去審視教材的概念、定義、定理、公式、結(jié)論、例題和習(xí)題，積累基本學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，深化理解，提高復(fù)習(xí)效率.