立足函數(shù)知識，提升核心能力——以“指數(shù)函數(shù)”的教學(xué)為例

☉廣東省廣州市花都區(qū)圓玄中學(xué) 羅莉萍

指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點知識，雖然它是高中階段較為初等的函數(shù)，但其知識內(nèi)容和探究方法對于之后的函數(shù)學(xué)習(xí)有著借鑒作用，并且直接影響到學(xué)生后續(xù)知識的學(xué)習(xí).因此，對于該部分知識的教學(xué)需要進(jìn)行針對性的編排，力求使學(xué)生獲得知識和能力的雙重提升.

一、揭示函數(shù)內(nèi)涵，關(guān)注函數(shù)表達(dá)式

理解指數(shù)函數(shù)的概念是學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)相關(guān)知識的基礎(chǔ).因此，在課堂教學(xué)中應(yīng)注重對指數(shù)函數(shù)概念的講解，以揭示函數(shù)的內(nèi)涵作為教學(xué)的重點內(nèi)容，力求幫助學(xué)生深刻理解函數(shù)概念，而對于函數(shù)概念的揭示可以從表達(dá)式的表征以及底數(shù)取值兩方面來進(jìn)行.

指數(shù)函數(shù)的概念是對生活問題的抽象，其本質(zhì)是對生活問題中兩變量關(guān)系的反映，而表達(dá)式是對變量的賦值與關(guān)系構(gòu)建.需要注意的是，雖然生活中有眾多的問題與指數(shù)函數(shù)相關(guān)，但其變量關(guān)系并不完全能用指數(shù)函數(shù)來表征，教學(xué)中需要向?qū)W生闡明.最為典型的例子是銀行本利與期數(shù)關(guān)系，雖然因變量（本利）隨自變量（期數(shù)）成倍增長，其變化規(guī)律可以用指數(shù)型函數(shù)y=kax來呈現(xiàn)，但是只有當(dāng)k=1時，其形式上才可以被認(rèn)定為指數(shù)函數(shù)，這也是數(shù)學(xué)上關(guān)于指數(shù)函數(shù)的定義.另外，對于指數(shù)函數(shù)的底，教材中將指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）中的字母a認(rèn)定為底，學(xué)生很容易形成記憶的格式化，需要點出對于y=a2x（a＞0，a≠1）型函數(shù)，其底數(shù)為a2，讓學(xué)生不僅從形式上認(rèn)識函數(shù)表達(dá)式，還能理解其深層含義.

學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念，不僅需要認(rèn)識其表達(dá)式的形式，還需要進(jìn)一步探究底數(shù)a的取值范圍，可以結(jié)合之前所學(xué)的關(guān)于指數(shù)冪的知識，將指數(shù)的范圍取值同樣擴展到實數(shù)集上，為后續(xù)定義域的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).在實際教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生從a＜0、a=0和a=1三種情形來討論，讓學(xué)生充分理解上述取值的無意義性，從而深刻理解指數(shù)函數(shù)底的取值限制.

二、體驗探究過程，發(fā)展邏輯思維

指數(shù)函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)較為重要的內(nèi)容，其重要性不僅體現(xiàn)在高考對其考查要求上，還體現(xiàn)在內(nèi)容的探究性上，其探究性是后續(xù)相關(guān)函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的關(guān)鍵.因此，對于指數(shù)函數(shù)教學(xué)需要創(chuàng)設(shè)多樣的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體驗知識的探究過程.

指數(shù)函數(shù)教學(xué)需要學(xué)生掌握函數(shù)探究的方式，教學(xué)中可以設(shè)計“情景解讀—概念抽象—圖像構(gòu)建—性質(zhì)探析—結(jié)論歸納”的探究環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生親身體驗知識從抽象到結(jié)論形成的探究過程.在情景解讀階段，需要教師基于指數(shù)函數(shù)創(chuàng)設(shè)具有現(xiàn)實意義的生活問題，可以引入故事，也可以引入名言，如《莊子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，讓學(xué)生寫出木棰的剩余量y關(guān)于取的次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系，感受概念的初始形成.而在概念的抽象階段，除了要讓學(xué)生充分理解概念內(nèi)容外，還需要設(shè)置相關(guān)問題，讓學(xué)生辨析概念，從內(nèi)容形式、規(guī)定條件、適用范圍等多方面理解概念.而在概念定義學(xué)習(xí)之后，可以讓學(xué)生思考函數(shù)圖像的繪制方式，然后結(jié)合具體函數(shù)圖像來進(jìn)一步思考函數(shù)的性質(zhì)，如展示y=4x、y=3x的函數(shù)圖像，類比之前學(xué)習(xí)二次函數(shù)、反比例函數(shù)的方法來分析函數(shù)性質(zhì)，學(xué)生很容易就可以考慮到應(yīng)從函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性等方面來學(xué)習(xí)，讓學(xué)生充分觀察、合理聯(lián)想，引導(dǎo)過程需要注意采用數(shù)形結(jié)合的方式.最后的結(jié)論歸納階段，讓學(xué)生思考如何驗證歸納的性質(zhì)，如指數(shù)函數(shù)圖像必過定點（0，1），可以讓學(xué)生從反證、圖像分析的角度來思考，通過這樣的環(huán)節(jié)來培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)思維，獲得知識探究的一般方法.

合理設(shè)計探究環(huán)節(jié)，讓學(xué)生充分體驗知識探究的過程，不僅可以讓學(xué)生深刻理解函數(shù)的重點知識，在這個過程中，由于學(xué)生需要思考的內(nèi)容很多，如問題中抽象概念、繪制函數(shù)圖像、觀察圖像、歸納性質(zhì)、結(jié)合數(shù)學(xué)方法驗證猜想等，這是一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S過程，因此還可以充分發(fā)展學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)的推理能力，使學(xué)生逐步掌握科學(xué)的研究方法.

三、強調(diào)基礎(chǔ)運算，學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)分析

函數(shù)知識的學(xué)習(xí)離不開最為基礎(chǔ)的運算和對數(shù)值的分析，具體體現(xiàn)在對函數(shù)圖像分析和性質(zhì)探究上.上述的探究過程需要結(jié)合數(shù)值計算來繪制函數(shù)圖像，并結(jié)合具體數(shù)據(jù)變化來分析函數(shù)的變化趨勢，因此可以說基礎(chǔ)運算對于研究函數(shù)的概念和性質(zhì)起到了推動作用.

例如在對函數(shù)的性質(zhì)探究時，可以結(jié)合具體函數(shù)來推導(dǎo)變化趨勢，要求學(xué)生根據(jù)指數(shù)函數(shù)來計算變量數(shù)值，并填寫下表：

表1 指數(shù)函數(shù)y=2x和y= （ ）x

表1 指數(shù)函數(shù)y=2x和y= （ ）x

x …-3-2-10123…y=2x … …y= 1 2（）x

依據(jù)表格的變量數(shù)值，引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)的增減性，以及兩函數(shù)在數(shù)值上的對稱性.該過程中需要給予學(xué)生充足的時間，從函數(shù)簡單的運算入手，逐步依托研究函數(shù)的方法來進(jìn)行數(shù)值的運算推理，從而發(fā)現(xiàn)其中潛含的規(guī)律，基礎(chǔ)運算與數(shù)值分析的充分結(jié)合是探究函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵方法，基于數(shù)值的推理能充分培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和推理能力，這對于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展是十分有利的.教學(xué)階段同樣需要滲透一般化思想，尤其是對于性質(zhì)的探究過程，需要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)幾個具體函數(shù)來繪制圖像，結(jié)合具體圖像來觀察共同特征，從而總結(jié)指數(shù)函數(shù)性質(zhì).探究過程可以設(shè)置具有引導(dǎo)性的問題，如：觀察函數(shù)的圖像，從變化趨勢、定義域和值域范圍、所過定點來總結(jié)這類函數(shù)的共同特征，在“具體函數(shù)式—對應(yīng)函數(shù)圖像—共同特征”的探究模式中滲透數(shù)學(xué)的特殊到一般的思想.

另外，函數(shù)是具有“數(shù)”與“形”兩方面內(nèi)容的知識，兩者相輔相成，共同完成了對函數(shù)的數(shù)量關(guān)系和圖形特征的表征.對于指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)需要從符號、數(shù)量、圖像三方面來進(jìn)行，在教學(xué)中需要借助數(shù)形結(jié)合的研究方法來開展，尤其是對于指數(shù)函數(shù)底數(shù)a的討論需要依托數(shù)形結(jié)合思想.可以讓學(xué)生結(jié)合具體問題，繪制函數(shù)，直觀的圖像來分析a的取值對于圖像變化的影響，如圖1，數(shù)形結(jié)合的方式幫助學(xué)生突破教學(xué)內(nèi)容的重難點.而在習(xí)題課教學(xué)中也應(yīng)該設(shè)置數(shù)形結(jié)合的習(xí)題，讓學(xué)生結(jié)合直觀的函數(shù)圖像來解題，深刻感受數(shù)形結(jié)合解題的便利性.

圖1

四、滲透思想方法，提升數(shù)學(xué)思想

對于指數(shù)函數(shù)的講解，除了需要重點講授核心知識，還需要充分滲透數(shù)學(xué)的思想方法.教學(xué)中需要以函數(shù)知識為載體，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實踐中深入認(rèn)識知識本質(zhì)，理解知識研究的思想方法，將其內(nèi)化為自身的認(rèn)知.對于指數(shù)函數(shù)的教學(xué)，需要在課堂中滲透模型思想、特殊到一般、數(shù)形結(jié)合思想.

在概念的生成階段，需要學(xué)生從問題中抽象數(shù)學(xué)模型，這其中必然涉及到數(shù)學(xué)的建模方式，在講解過程中就可以滲透模型思想，可以從問題的自變量和因變量入手，構(gòu)建變量關(guān)系，形成數(shù)學(xué)表達(dá)式，自主構(gòu)建的過程就是對模型思想的充分體現(xiàn).

數(shù)學(xué)上的“特殊到一般”是一種具體問題過渡到大范圍，使其成為普遍適用結(jié)論的過程.指數(shù)函數(shù)的教學(xué)中該思想應(yīng)該在兩個階段來滲透：一是函數(shù)概念構(gòu)建時，需要教師依托實際問題，如以GDP增長為背景的指數(shù)函數(shù)y=1.089x、以碳14科學(xué)研究為背景的指數(shù)函數(shù)讓學(xué)生思考函數(shù)在結(jié)構(gòu)上的共同特征，從中獲得指數(shù)函數(shù)的一般形式，并對其底數(shù)的取值范圍展開分析，獲得具有一般性的限制.該過程中需要滲透“由特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，這樣的教學(xué)方式不僅符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，同時也是對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo).而在函數(shù)性質(zhì)的

五、結(jié)束語

在指數(shù)函數(shù)教學(xué)中要充分揭示內(nèi)涵，使學(xué)生掌握函數(shù)表達(dá)式的核心內(nèi)容；讓學(xué)生體驗函數(shù)知識的探究過程，逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維；重視探究過程的基礎(chǔ)運算，提升學(xué)生的推理能力；在知識的講解中合理滲透思想方法，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想為最終目的.每一次數(shù)學(xué)的探究過程，都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要機會，要在教學(xué)中優(yōu)化設(shè)計，使學(xué)生的能力獲得長遠(yuǎn)發(fā)展.