常微分方程初值問題的一種改進(jìn)Runge-Kutta方法

曾 光，陳朝敏，雷 莉，許 曦

(東華理工大學(xué) 理學(xué)院，江西 南昌 330013)

眾所周知，許多科學(xué)與工程計算問題最終可歸結(jié)為求解帶初值問題的常微分方程，而Runge-Kutta方法是求解這類方程的重要方法之一。1895年，德國數(shù)學(xué)家C.D.T Runge發(fā)表了關(guān)于微分方程數(shù)值解法的經(jīng)典論文，成為常微分方程初值問題Runge-Kutta方法的開山之作。最早的求解帶初值問題的常微分方程的隱式Runge-Kutta方法是1824年由Chuchy給出的隱式Euler方法，1964年Butcher和Kuntzmann給出了對所有的正整數(shù)s都存在2s階的隱式Runge-Kutta方法。此后有很多學(xué)者加入到這類問題的研究，在精度、計算效率、穩(wěn)定性等方面Runge-Kutta方法都不斷被改進(jìn)(Ramos et a., 2007)，Goeken 等(1999)考慮了自治方程，在計算級值時加入導(dǎo)數(shù)信息，在不增加函數(shù)計算次數(shù)的前提下提高了計算精度，得到了一類級階Runge-Kutta方法。

在Kutta提出Runge-Kutta方法的一般格式中，系數(shù)的求解是通過Taylor展開式求得，其思想簡單，易理解，不過其不足點是計算復(fù)雜度較高。在本文中，先通過第二類切比雪夫正交多項式構(gòu)造了未知函數(shù)的級數(shù)展開式，然后運(yùn)用高斯-洛巴托數(shù)值積分公式得到一種滿足上述階條件的改進(jìn)Runge-Kutta法，并通過數(shù)值算例驗證了改進(jìn)Runge-Kutta方法是有效的算法,具有4階精度。

1 改進(jìn)Runge-Kutta算法構(gòu)造

1.1 Runge-Kutta方法的階條件

首先對階條件進(jìn)行討論，為得到一般格式的Runge-Kutta方法的階條件，奚梅成(2003)利用Taylor展開式比較同階系數(shù)的方法，其思想易理解，不過計算比較繁瑣。在本文中根據(jù)Butcher (2003)中給出的Butcher有根樹理論，導(dǎo)出了Runge-Kutta方法的階條件。

定義1 樹t的階ρ(t)和稠密度r(t)滿足：

(1)ρ(τ)=γ(τ)=1；

n2ρ(t2)+…+nsρ(ts)；

定義2 在Runge-Kutta的一般格式中，樹集T上的函數(shù)Φi(x)定義如下：

式中，i=1,…,s,向量Φ(t)=(Φ1(t)，Φ2(t),…,Φs(t))T稱為樹t的基本權(quán)。

下面給出一般Runge-Kutta階條件：

定理1 一個Runge-Kutta方法是ρ階的當(dāng)且僅當(dāng)下式

對于階ρ(t)≤p的所有樹t成立。

式中，b=(b1,…,bs)T,Φ(t)=(Φ1(t),Φ2(t),…,Φs(t))T.

(1)

則通過

可知，第二類Chebyshev多項式滿足正交性，同時可得遞推格式如下

U0(x)=1,U1(x)=2x,

Un+1(x)=2xUn(x)-Un-1(x).

第二類Chebyshev正交多項式還具有：奇偶性、有界性、完備性。

定理2若f(x)滿足

(1)f(x)在區(qū)間(-1,1)為分段光滑的實值函數(shù)，

則函數(shù)f(x)在連續(xù)點x處可展成正交多項式的級數(shù)，即

=a0U0(x)+a1U1(x)+…,

(2)

1.2 算法構(gòu)造

考慮常微分初值問題

(3)

k=1,2,…,n.

則可把區(qū)間轉(zhuǎn)移至[-1,1]中討論，同時y(x)可用g(t)表示，將g(t)展成第二類Chebyshev多項式的級數(shù)形式，即

a2U2(t)+a3U3(t)+a4U4(t).

為計算級數(shù)展開式中的系數(shù)ai(x)，結(jié)合高斯-洛巴托數(shù)值積分公式并化簡可得

(5)

(6)

式中，F(xiàn)=(f(xk-1+c1h,g1),f(xk-1+c2h,g2),f(xk-1+c3h,g3),f(xk-1+c4h,g4))T,

則有

hF=Qg0+DG

(7)

由于|D|≠0，則

G=hD-1F-D-1Qy(xk-1)

(8)

則由式(8)可構(gòu)造出改進(jìn)Runge-Kutta方法，它是四級隱式格式。即

(9)

最后給出改進(jìn)Runge-Kutta算法步驟(寧德圣等，2016)：

Step 1. 利用第二類Chebyshev多項式將未知函數(shù)展成正交多項式級數(shù)形式，得到式(2)；

Step 2. 作區(qū)間變量代換，同時結(jié)合高斯-洛巴托數(shù)值積分公式可對展開式中系數(shù)進(jìn)行數(shù)值求積，化簡得到式(5)；

Step 3. 由前兩步可將原問題進(jìn)行數(shù)值求解，整理可得到式(6)。由于初值g0=y(xk-1)已知，可將求解公式轉(zhuǎn)化為式(8)；

Step 4. 由此得到改進(jìn)Runge-Kutta方法，具體格式為式(9)。

2 改進(jìn)Runge-Kutta方法理論分析

這一部分主要對改進(jìn)Runge-Kutta算法進(jìn)行相容性、收斂性及精度分析，從理論上推導(dǎo)所構(gòu)造的改進(jìn)Runge-Kutta算法是可行、有效的算法。

2.1 相容性分析

定理3 改進(jìn)的Runge-Kutta方法是相容算法。

證明 根據(jù)改進(jìn)Runge-Kutta算法可制出對應(yīng)的Butcher(圖1)。

cAb0.268 60.324 9-0.190 70.150 8-0.016 40.50.436 70.022 20.061 1-0.020 00.806 30.417 00.207 60.212 9-0.031 210.444 50.111 00.444 500.444 50.111 00.444 50

則根據(jù)圖1可知ci滿足

則本文建立的改進(jìn)Runge-Kutta方法滿足相容性。

2.2 收斂性分析

由式(9)得到差分格式：

gk=gk-1+hφ(h,xk-1,gk-1),k=1,2,3,4

(10)

根據(jù)已得出的相容性分析，可以給出式(10)收斂性的充分性結(jié)論。

定理4 改進(jìn)Runge-Kutta方法產(chǎn)生的差分格式(10)中，gk為常微分方程數(shù)值解，若φ(h,x,g)在Ω={(h,x,g)|a≤x≤b,g∈R}上關(guān)于g滿足Lipschitz條件

|φ(h,x,g1)-φ(h,x,g2)|≤L|g1-g2|,

其中L>0為Lipschitz常數(shù)，則改進(jìn)Runge-Kutta方法的數(shù)值解是收斂的(王澤文，2016)。

2.3 精度分析

改進(jìn)Runge-Kutta方法的隱式方法，由于各級格式的復(fù)雜性，無法利用Taylor展開。結(jié)合有根樹理論及Runge-Kutta方法的階條件來判定方法的精度階。

定理5 改進(jìn)的Runge-Kutta方法的精度是4階。

證明 由定義1可知，對于四階樹，可計算出各階樹的稠密度γ(t)及相對應(yīng)的基本權(quán)Φ(t)：

對于一階樹，若γ(t)=1，Φ(t)=b1+b2+b3+b4=1；

結(jié)合定理1，即對于的ρ(t)≤4的所有樹滿足

所以改進(jìn)的Runge-Kutta方法精度為4階。

3 數(shù)值算例

考慮如下初值問題：

圖2 精確解與改進(jìn)Runge-Kutta方法的數(shù)值解Fig.2 Exact solution and numerical solution of improved Runge-Kutta method

通過圖2可以看出，利用本文改進(jìn)的方法在常微分?jǐn)?shù)值解的精度方面可達(dá)到不錯的效果，計算得到的數(shù)值解與精確解逼近效果很好。且與理論分析相一致，說明本文提供的改進(jìn)算法應(yīng)用于求解常微分初值問題的正確性和可行性。

4 結(jié)束語

研究了帶初值問題的常微分方程數(shù)值解法，首先通過Butcher有根樹理論得到一般Runge-Kutta方法的階條件，利用廣義傅里葉級數(shù)理論、第二類切比雪夫正交多項式及高斯-洛巴托求積公式構(gòu)造了一種改進(jìn)的Runge-Kutta方法，通過理論分析證明了所得方法滿足相容性和收斂性，通過數(shù)值算例進(jìn)一步驗證了改進(jìn)Runge-Kutta方法是有效的算法。