偏心拉伸鉚孔雙耳裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算分析

姚冠兵，萬(wàn)兵，方向，周志祥，吳修波

（1.重慶交通大學(xué)，土木工程學(xué)院，重慶400074；2.青海省公路科研勘測(cè)設(shè)計(jì)院，青海西寧810001）

在機(jī)械、橋梁及水工工程中，相同材料及不同材料間需要相互連接共同受力，不可避免的要對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行開(kāi)孔、挖槽等，另外由于材料的不均勻性、以及制作過(guò)程中的誤差等原因造成結(jié)構(gòu)本身、連接構(gòu)件及附屬構(gòu)件帶裂紋工作往往是不可避免的.特別是在鋼結(jié)構(gòu)、鋼混組合結(jié)構(gòu)、復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中鉚釘連接是最常見(jiàn)的一種連接方式，帶槽孔鋼板的斷裂損傷問(wèn)題原理及控制裂紋擴(kuò)展方法成為亟待解決的問(wèn)題[1-2].復(fù)雜結(jié)構(gòu)在力的作用下破壞以及斷裂形式，總是可以看做若干簡(jiǎn)單破壞或斷裂形式的組合，斷裂破壞存在3種基本的斷裂模式.這3種模式即為張開(kāi)型—I型斷裂、滑移型—II型斷裂、撕裂型—III型斷裂[3].應(yīng)力強(qiáng)度因子是斷裂力學(xué)在研究應(yīng)力作用下考慮應(yīng)力和裂紋尺寸這兩個(gè)因素對(duì)裂紋擴(kuò)展影響而引入的新參數(shù)，反映了裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)的強(qiáng)弱.如何簡(jiǎn)化計(jì)算得到適合于工程結(jié)構(gòu)計(jì)算的應(yīng)力強(qiáng)度因子解析式，各國(guó)學(xué)者做了大量的工作[4-6].彈塑性力學(xué)的發(fā)展進(jìn)程與復(fù)變函數(shù)的發(fā)展密不可分，工程結(jié)構(gòu)以材料和邊界條件為基礎(chǔ)結(jié)合實(shí)際的工程經(jīng)驗(yàn)做出判斷，解析函數(shù)意味著連續(xù)結(jié)構(gòu)或者區(qū)域內(nèi)部的值可以通過(guò)邊界上的邊界條件表示，而得到解析函數(shù)又是復(fù)變函數(shù)論的主要目的，這就為復(fù)變函數(shù)論在工程力學(xué)中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).其中俄國(guó)數(shù)學(xué)力學(xué)家首先應(yīng)用復(fù)變函數(shù)論方法解決了平面線彈性靜力學(xué)問(wèn)題[7].本文在前人研究的基礎(chǔ)上，采用復(fù)應(yīng)力函數(shù)及疊加原理計(jì)算得到無(wú)限寬板上偏心拉伸鉚釘雙耳裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子表達(dá)式.

1 方法的提出

1.1 線彈性力學(xué)在求解應(yīng)力強(qiáng)度因子中的應(yīng)用

線彈性理論是彈塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、固體力學(xué)中最基礎(chǔ)的力學(xué)理論之一，研究對(duì)象為理想單元或結(jié)構(gòu)，服從廣義胡克定律.本節(jié)從線彈性力學(xué)的基本理論入手，對(duì)無(wú)限板上的微孔結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析.

圖1 平面應(yīng)力狀態(tài)下帶中心穿透裂紋

如圖1所示的無(wú)限平板，為I型斷裂；長(zhǎng)度L=2a的穿透性裂紋，當(dāng)無(wú)限平板受到均勻的拉應(yīng)力σ時(shí)，其裂紋端部區(qū)域的應(yīng)力分量可以應(yīng)用彈性理論解得到[8-9]，為便于求解，建立以尖端B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的復(fù)數(shù)坐標(biāo)系（如圖1），得到復(fù)變量z1為：

應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式：

由于裂紋的擴(kuò)展只取決于裂紋端部區(qū)域的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)，對(duì)于端部區(qū)域有r＜＜a，因此：

將式（4）代入Ⅰ型經(jīng)典裂紋問(wèn)題的Westergaard應(yīng)力函數(shù)得到I型應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式如式（5），同理得到Ⅱ型斷裂的應(yīng)力表達(dá)式如式（6）：

1.2 偏心拉伸鉚釘?shù)撵o力學(xué)解

為了得到偏心拉伸鉚釘雙耳裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，我們從鉚釘?shù)木€彈性力學(xué)彈性階段靜力學(xué)受力分析入手，應(yīng)用疊加原理對(duì)鉚釘結(jié)構(gòu)進(jìn)行受力分解.將鉚桿對(duì)鉚孔邊緣的偏心集中力分解為垂直于雙耳裂紋方向上的張開(kāi)型力P，平行于裂紋方向上的滑移型力Q，以及鉚釘鋼板產(chǎn)生的反作用正應(yīng)力σ、切應(yīng)力τ.鉚釘受力圖如圖2所示.

圖2 帶雙耳裂紋偏心拉伸鉚釘受力圖示

在平面應(yīng)力狀態(tài)下，雙耳裂紋的破壞形態(tài)既可能沿坐標(biāo)軸y方向張開(kāi)破壞，也可能沿坐標(biāo)軸x方向剪切破壞，特別的集中力P作用在近A端裂紋，因此雙耳裂紋A端與B端應(yīng)力強(qiáng)度因子存在差異，需要另行計(jì)算.如前所述雙耳裂紋偏心拉伸鉚釘裂紋擴(kuò)展破壞屬于張開(kāi)型—Ⅰ型斷裂、滑移型—Ⅱ型斷裂的復(fù)合破壞，為了方便計(jì)算我們利用疊加原理對(duì)圖2受力進(jìn)行分解，如圖3所示.

圖3 鉚孔偏心受力分解示意圖

疊加原理得到aK表達(dá)式：

對(duì)于圖3-b進(jìn)一步分析可知，裂紋尖端受到了均布應(yīng)力σ、偏心集中力P的共同作用，可利用疊加原理繼續(xù)對(duì)圖3-b受力圖示進(jìn)行分解，如圖4所示.分析易知圖4-b與圖4-f所示鉚釘為對(duì)稱(chēng)受力，受力特性及變形特性一致，故可以進(jìn)行合并.

圖4 鉚孔偏心受拉分解示意圖

應(yīng)用疊加原理得到KbI表達(dá)式：

綜合得到：

2 應(yīng)用復(fù)變函數(shù)求解鉚孔雙耳裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子

2.1 應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析解

由式（5）及式（6）綜合得到：

偏心作用下帶雙耳裂紋鉚孔鋼板，很難得到裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的精確求解.為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，將鉚釘孔看做裂紋的一部分對(duì)裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行分析，將含裂紋的符合廣義胡克定律的鋼板歸結(jié)為彈性力學(xué)平面問(wèn)題進(jìn)行分析，尋找一個(gè)應(yīng)力函數(shù)，使其滿(mǎn)足邊界條件要求的復(fù)變應(yīng)力函數(shù)，即雙調(diào)和方程.由文獻(xiàn)[3]得到I/II復(fù)合型斷裂破壞其應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)為：

其中φ′(z)為滿(mǎn)足邊界條件的應(yīng)力函數(shù).對(duì)于純I型斷裂破壞構(gòu)建應(yīng)力函數(shù)：

得到：

得到：

得到：

參考文獻(xiàn)[3]算例得到中心受力雙耳裂紋的K表達(dá)式：

2.2 算例分析

以鋼鉚板鉚孔直徑20 mm、裂紋長(zhǎng)度5 mm、受到集中力10 kN的板厚、板寬為無(wú)量綱單位1的鋼板為例，以不同的偏心長(zhǎng)度1l為變量，對(duì)比分析偏心作用下的鉚孔雙耳裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化特征.

表1 偏心與中心受力強(qiáng)度因子比值的變化特征

由表1可知，與中心受載情況下相比（90θ=°即中心受載），偏心作用時(shí)隨著偏心距變?。é茸兇螅┙亩耍ˋ端）在45θ=°時(shí)應(yīng)力強(qiáng)度因子最大，對(duì)控制鉚孔雙耳尖端裂紋擴(kuò)展越不利，應(yīng)盡量避免；對(duì)于遠(yuǎn)離偏心端（B端），鉚孔雙耳尖端控制裂紋擴(kuò)展隨偏心距變?。é茸兇螅U(kuò)展越不利，但整體不超過(guò)對(duì)稱(chēng)受載，可以忽略.

3 結(jié)論

通過(guò)利用線彈性力學(xué)方法獲得I/II型斷裂破壞裂縫尖端的應(yīng)力強(qiáng)度影子，應(yīng)用疊加原理對(duì)偏心拉伸鉚釘雙耳進(jìn)行靜力學(xué)分析，并將其受力分解為簡(jiǎn)單的3部分，運(yùn)用復(fù)應(yīng)力函數(shù)得到各部分的解析解，最后分別得到雙耳裂紋尖端/AB兩側(cè)解，通過(guò)與中心受載比較分析得到了偏心受力對(duì)控制近偏心端裂紋擴(kuò)展不利，且偏心轉(zhuǎn)角45θ=°時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到最大；遠(yuǎn)離偏心端裂紋擴(kuò)展可以忽略.實(shí)際工程中結(jié)構(gòu)受力復(fù)雜，對(duì)于可能帶裂紋工作的構(gòu)件，設(shè)計(jì)過(guò)程中應(yīng)適當(dāng)增加安全系數(shù)，保證結(jié)構(gòu)物使用安全；本文僅探討了平面受力狀態(tài)下偏心受力作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，對(duì)于空間結(jié)構(gòu)受力對(duì)平面結(jié)構(gòu)的影響將是下一步研究的方向之一.