基于LED擴(kuò)展光源環(huán)形均勻光斑的自由曲面透鏡設(shè)計(jì)

梁文躍，李遠(yuǎn)興，凡利娟，王奇生，龍擁兵

（1.五邑大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東江門529020；2.五邑大學(xué)應(yīng)用物理與材料學(xué)院，廣東江門529020；3.華南農(nóng)業(yè)大學(xué)電子工程學(xué)院，廣東廣州510642）

發(fā)光二極管（LED）被稱為第四代照明光源或綠色光源，具有節(jié)能、環(huán)保、壽命長、體積小等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于各種指示、顯示、裝飾、背光源、普通照明和城市夜景等領(lǐng)域.但是，LED光源的光強(qiáng)分布通常為朗伯型或者近似朗伯型[1-3]，不能滿足實(shí)際場合的照明需求，因此不能直接應(yīng)用，必須利用光學(xué)設(shè)計(jì)來調(diào)控光線分布.

光學(xué)設(shè)計(jì)方面的研究主要集中在如何實(shí)現(xiàn)圓形光斑和矩形光斑等，針對環(huán)形光斑的研究并不多.R.M.Wu等[4]利用2LMonge-Kantorovich理論設(shè)計(jì)了基于點(diǎn)光源的自由曲面透鏡，實(shí)現(xiàn)了明暗多環(huán)的照度分布；D.Zeng等[5]利用光學(xué)擴(kuò)展量守恒理論設(shè)計(jì)了基于點(diǎn)光源的單個(gè)透鏡及透鏡陣列，實(shí)現(xiàn)了符合環(huán)島道路照明設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的環(huán)形光斑分布；S.C.Shen等[6]利用傅里葉級數(shù)和能量映射方法設(shè)計(jì)了基于點(diǎn)光源多環(huán)照度分布的透鏡，可應(yīng)用于LED釣魚燈.然而，在目前的環(huán)形光斑設(shè)計(jì)算法中，大多數(shù)算法都是基于點(diǎn)光源設(shè)計(jì)而非擴(kuò)展光源.

針對上述問題，本文提出了基于貝塞爾曲線多參數(shù)優(yōu)化自由曲面透鏡的方法：利用點(diǎn)光源算法設(shè)計(jì)了自由曲面透鏡輪廓線；在該輪廓線上等弧長選取51個(gè)點(diǎn)，將選取的控制點(diǎn)作為優(yōu)化變量，構(gòu)建貝塞爾曲線為優(yōu)化前的初始模型；針對具有一定尺寸的擴(kuò)展光源，利用優(yōu)化算法對控制點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化，得到最優(yōu)的自由曲面模型.利用光線追跡軟件模擬該透鏡的光學(xué)性能，判定本文方法的有效性.

1 基于點(diǎn)光源的自由曲面透鏡設(shè)計(jì)

根據(jù)環(huán)形均勻照度分布的設(shè)計(jì)要求，基于點(diǎn)光源的自由曲面透鏡的設(shè)計(jì)過程如下.

1.1 構(gòu)建光源、自由曲面和目標(biāo)平面的對應(yīng)關(guān)系

圖1 自由曲面透鏡設(shè)計(jì)圖

由于設(shè)計(jì)的環(huán)形均勻照度分布是軸對稱的，相應(yīng)的自由曲面透鏡也是軸對稱結(jié)構(gòu)，因此只需設(shè)計(jì)自由曲面透鏡的二維剖面輪廓線.設(shè)點(diǎn)S為光源位置，自由曲面剖面輪廓線上離散點(diǎn)為，其中點(diǎn)對應(yīng)的入射光的角度為θi，出射光的角度為ui；目標(biāo)平面上任一點(diǎn)為對應(yīng)的入射光線經(jīng)由點(diǎn)偏轉(zhuǎn)后出射的位置，其對應(yīng)的入射光線矢量為，入射光線單位矢量為，出射光線矢量為，出射光線單位矢量為.由Snell定律可得在點(diǎn)A處的單位i法線矢量為Ni且有：

式中，n為透鏡的折射率.

在點(diǎn)Ai處的單位切線矢量為

其中yi=xi·ctgθi，則

聯(lián)立式（2-3）可得

通過式（4）可以構(gòu)建光源、自由曲面和目標(biāo)平面之間的對應(yīng)關(guān)系.

1.2 構(gòu)建光源與目標(biāo)環(huán)形光分布的能量映射關(guān)系

假設(shè)理想點(diǎn)光源為朗伯型分布，根據(jù)能量守恒定律可得光源與目標(biāo)平面環(huán)形均勻照度分布之間的映射關(guān)系：

其中，E(r)為目標(biāo)平面環(huán)形照度分布，Rout和Rin分別為目標(biāo)平面上環(huán)形光斑分布的外半徑和內(nèi)半徑，I0為光源光軸方向的發(fā)光強(qiáng)度.

因此，目標(biāo)平面上任一點(diǎn)Ri與入射光角度θi的關(guān)系為：

出射光角度ui與入射光角度θi的關(guān)系為：

1.3 求解離散點(diǎn)構(gòu)建自由曲面

聯(lián)立式（4）、（6）、（7）構(gòu)建微分方程，并利用差分法、歐拉法或者龍格庫塔法等方法，可以求解出入射角度θi和自由曲面上的離散點(diǎn).根據(jù)自由曲面輪廓線上所有離散點(diǎn)的位置數(shù)據(jù)集合即可構(gòu)建基于點(diǎn)光源的自由曲面透鏡模型.

2 貝塞爾曲線構(gòu)建與自由曲面優(yōu)化

為解決擴(kuò)展光源帶來的光能利用率降低以及目標(biāo)光分布劣化等問題，提出了貝塞爾曲線控制點(diǎn)多參數(shù)優(yōu)化點(diǎn)光源自由曲面透鏡模型的方法，設(shè)計(jì)基于擴(kuò)展光源的環(huán)形均勻照度分布，優(yōu)化后的貝塞爾曲線即為自由曲面透鏡的輪廓線.

圖2 控制點(diǎn)構(gòu)建貝塞爾曲線

貝塞爾曲線的函數(shù)表達(dá)式為[8]：

其中，點(diǎn)Pi稱作貝塞爾曲線的控制點(diǎn)，n階的伯恩斯坦基底多項(xiàng)式為：

如圖2所示，在利用控制點(diǎn)約束貝塞爾曲線構(gòu)建自由曲面輪廓線的過程中，0P控制自由曲面頂點(diǎn)的高度，Pn控制自由曲面底部的寬度，其他控制點(diǎn)決定自由曲面輪廓線的形狀.

以貝塞爾曲線的控制點(diǎn)作為優(yōu)化變量，采用下山-單純形算法或模式搜索法等優(yōu)化算法進(jìn)行計(jì)算.為了評價(jià)優(yōu)化計(jì)算的最終結(jié)果，以目標(biāo)照度分布和實(shí)際照度分布之間的離差平方和構(gòu)建優(yōu)化的評價(jià)函數(shù)為：

其中，Wi為每一個(gè)評價(jià)點(diǎn)的權(quán)重值，Vi和Ti為每一個(gè)評價(jià)點(diǎn)以當(dāng)前光通量歸一化后的當(dāng)前數(shù)值和目標(biāo)數(shù)值.

隨著優(yōu)化計(jì)算過程的進(jìn)行，評價(jià)函數(shù)MF趨向于一個(gè)穩(wěn)定的最小值，目標(biāo)照度分布與預(yù)期分布偏差最小，這時(shí)由優(yōu)化后的控制點(diǎn)構(gòu)建的貝塞爾曲線即為最優(yōu)的自由曲面透鏡輪廓線.

為了評價(jià)目標(biāo)照明區(qū)域內(nèi)的照度均勻度，設(shè)Eavg和Emax分別為目標(biāo)區(qū)域內(nèi)的平均照度和最大照度，則照度均勻度為可定義：

3 環(huán)形光斑自由曲面透鏡設(shè)計(jì)實(shí)例

利用上節(jié)方法，針對LED擴(kuò)展光源設(shè)計(jì)了一款自由曲面透鏡：在距離光源1000 mm處的目標(biāo)平面內(nèi)實(shí)現(xiàn)外半徑Rout=2000 mm 、內(nèi)半徑Rin=1000 mm的環(huán)形均勻照度分布.LED擴(kuò)展光源使用朗伯型面光源，發(fā)光面直徑為6 mm，光通量為100 lm.透鏡中心高度為28.79 mm，發(fā)光面直徑與透鏡中心高度的比例為 1 : 4.8，因此該 LED光源不能當(dāng)作理想的點(diǎn)光源，而是當(dāng)作面光源處理.透鏡材料為PMMA光學(xué)塑料，折射率為1.49.

首先，利用點(diǎn)光源算法設(shè)計(jì)了自由曲面透鏡的模型，并對其進(jìn)行了光線追跡，在距離光源1000 mm處目標(biāo)平面的照度分布如圖3所示，即在目標(biāo)平面內(nèi)形成了一個(gè)環(huán)形外半徑Rout=2000 mm 、內(nèi)半徑Rin=1000 mm的均勻照度.當(dāng)把 LED面光源作為光源，而仍然使用基于點(diǎn)光源設(shè)計(jì)的自由曲面透鏡進(jìn)行光線追跡時(shí)，目標(biāo)平面上原本均勻的環(huán)形區(qū)域照度分布發(fā)生劣化，形成如圖4所示的不均勻環(huán)形照度分布，且目標(biāo)環(huán)形區(qū)域內(nèi)照度均勻度UE=0.73，光能利用率為0.83.

圖3 點(diǎn)光源照度分布圖

圖4 面光源照度分布圖

圖5給出了點(diǎn)光源和面光源在目標(biāo)平面Y=0mm的照度切片對比圖，由圖5可知，利用點(diǎn)光源算法設(shè)計(jì)的自由曲面透鏡不適用于面光源.

圖5 照度分布切片對比圖

為了實(shí)現(xiàn)面光源在目標(biāo)平面內(nèi)環(huán)形均勻照度分布，使用貝塞爾曲線控制點(diǎn)多參數(shù)優(yōu)化算法對上述自由曲面透鏡模型進(jìn)行優(yōu)化.

在基于點(diǎn)光源設(shè)計(jì)的自由曲面透鏡輪廓線上，用等弧長的方法選取 51個(gè)點(diǎn)作為控制點(diǎn)來構(gòu)建貝塞爾曲線初始模型，該初始模型的模擬仿真效果如圖6所示.在設(shè)定的目標(biāo)環(huán)形區(qū)域內(nèi)，照度均勻度UE=0.76，光能利用率為 0.77，評價(jià)函數(shù)MF=1348.31.將貝塞爾曲線初始模型的控制點(diǎn)作為優(yōu)化變量，對控制點(diǎn)優(yōu)化后的仿真效果如圖7所示.在設(shè)定的目標(biāo)環(huán)形區(qū)域內(nèi)，照度均勻度UE=0.91，利用率為 0.80，評價(jià)函數(shù)MF=80.61；并在內(nèi)半徑為1150 mm、外半徑為1900 mm環(huán)形區(qū)域內(nèi)，照度均勻度UE=0.99.以目標(biāo)平面Y=0mm 處的照度切片為對比，圖8給出了優(yōu)化前后照度對比圖，圖9給出了優(yōu)化前后模型輪廓線的對比圖.

綜上，利用基于貝塞爾曲線控制點(diǎn)多參數(shù)優(yōu)化方法優(yōu)化自由曲面透鏡，可使目標(biāo)環(huán)形區(qū)域內(nèi)照度從0.77提升到0.91，光能利用率從0.77提升到0.80，評價(jià)函數(shù)MF從1348.31降到80.61，取得了較好的環(huán)形均勻照度分布.

圖6 面光源初始模型照度分布圖

圖7 面光源優(yōu)化模型照度分布圖

圖8 優(yōu)化前后照度對比圖

圖9 初始模型與優(yōu)化模型輪廓線對比圖

4 結(jié)論

本論文提出了基于貝塞爾曲線控制點(diǎn)參數(shù)優(yōu)化自由曲面透鏡的方法，針對具有一定尺寸的LED擴(kuò)展光源設(shè)計(jì)了一款自由曲面透鏡，在距離光源1000 mm處的目標(biāo)平面內(nèi)實(shí)現(xiàn)了環(huán)形外半徑Rout=2000 mm 、內(nèi)半徑 Rin=1000 mm的均勻照度分布.實(shí)例研究結(jié)果表明，在設(shè)定的目標(biāo)環(huán)形區(qū)域內(nèi)照度均勻度能夠達(dá)到0.91，光能利用率達(dá)到0.80；并在內(nèi)半徑為1150 mm、外半徑為1900 mm環(huán)形區(qū)域內(nèi)，照度均勻度能夠達(dá)到0.99，即在實(shí)現(xiàn)高均勻照度光分布的同時(shí)仍能保持較高的光能利用率.因此，本論文提供的算法能應(yīng)用于設(shè)計(jì)基于LED擴(kuò)展光源的環(huán)形照度分布的自由曲面透鏡，為環(huán)島道路照明、捕魚燈等特殊場合的照明光學(xué)設(shè)計(jì)提供了新的思路.