“再導(dǎo)一遍”破解不等式恒成立求參數(shù)取值難點(diǎn)問題*

廣東省廣州市廣東廣雅中學(xué)(510160) 徐廣華

在近幾年全國(guó)各地的高考試題和模擬試題中,函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合問題一直倍受命題者的青睞,經(jīng)常扮演壓軸題的角色.其中,不等式恒成立問題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容.不等式恒成立問題,主要有兩種類型:一是已知不等式恒成立,求參數(shù)的取值范圍;二是證明不等式恒成立.本文重點(diǎn)研究第一種類型中的難點(diǎn)問題.

已知不等式恒成立,求參數(shù)的取值范圍,一般有兩種基本方法:一是“參數(shù)分離法”,即將參數(shù)分離到不等式的一邊,化為形如k＞g(x)(或k＜g(x))對(duì)任意x∈D恒成立,若g(x)在區(qū)間D內(nèi)存在最大值(或最小值),則問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為k＞g(x)max(或k＜g(x)min)(口訣:“大于大的,小于小的”);二是“移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)法”,即f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))對(duì)任意x∈D恒成立?F(x)=f(x)?g(x)＞0(或F(x)＜0)對(duì)任意x∈D恒成立,若F(x)在區(qū)間D內(nèi)存在最小值(或最大值),則問題等價(jià)轉(zhuǎn)化F(x)min＞0(或F(x)max＜0).

一般而言,以上兩種基本方法中,“移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)法”是通法,具有普遍性,但在求F(x)的最值時(shí)由于含有參數(shù),因此往往要分類討論,比較麻煩;而“參數(shù)分離法”往往比較簡(jiǎn)單,原因是g(x)不含參數(shù),因此在解題時(shí)一般優(yōu)先考慮這種方法.但在實(shí)際操作中,我們也常常碰到這種情況:分離參數(shù)后,求g(x)的最值時(shí),對(duì)g(x)求導(dǎo)后,發(fā)現(xiàn)方程g′(x)=0的根沒法具體地求出來,往往就此陷入困境,這說明“參數(shù)分離法”并非萬能,也有其局限性!全國(guó)卷高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)的壓軸題,大多屬于這種類型.

筆者經(jīng)過研究,發(fā)現(xiàn)解決這類難點(diǎn)問題有其“秘笈”,本文舉例分析說明破解不等式恒成立求參數(shù)取值難點(diǎn)問題的“絕招”:移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)后“再導(dǎo)一遍”,放縮尋找分類討論的分界點(diǎn).

例1(2007全國(guó)I卷理20)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?e?x.

(I)證明:f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)≥ 2;

(II)若對(duì)所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范圍.

分析(I)略.(II)移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù):F(x)=f(x)?ax=(利用基本不等式,放縮找到討論的分界點(diǎn)),當(dāng)x≥0時(shí),F′′(x)=ex?e?x≥ 0?F′(x) 遞增.(“再導(dǎo)一遍”,研究F′(x)的單調(diào)性)

分類討論:[1]當(dāng)a≤2時(shí),F′(x)≥2?a≥0?F(x)遞增?x≥0時(shí),F(x)≥F(0)=0恒成立.(肯定)

[2]當(dāng)a＞2時(shí),令,解得方程的根為:時(shí),F′(x)＜F′(x0)=0?F(x)遞減?F(x)＜F(0)=0,這說明:當(dāng)a＞2時(shí),F(x)≥0對(duì)x≥0不恒成立.(否定)

綜上,a的取值范圍是(?∞,2].(下結(jié)論)

另法:分離參數(shù)后,用高等數(shù)學(xué)中的“羅比塔法則”(又叫“洛必達(dá)法則”).當(dāng)x=0時(shí),f(x)=ax=0;當(dāng)x＞0時(shí),分離參數(shù)得:故a≤2.(不夠嚴(yán)謹(jǐn),未必能得滿分!)

例2(2010全國(guó)課標(biāo)卷理21)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?1?x?ax2.

(I)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0,求a的取值范圍.

分析(I)略.(II)f′(x)=ex?1?2ax,當(dāng)x≥ 0時(shí),f′′(x)=ex?2a≥ 1?2a(“再導(dǎo)一遍”,放縮找到討論的分界點(diǎn)),且f′′(x)遞增.

綜上,a的取值范圍是.(下結(jié)論)

另法:分離參數(shù)后,用高等數(shù)學(xué)中的“羅比塔法則”(又叫“洛必達(dá)法則”).當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0;當(dāng)x＞0時(shí),分離參數(shù)得:.(不夠嚴(yán)謹(jǐn),未必能得滿分!)

最后,筆者提煉總結(jié)一下,這類問題的適用類型與破解方法、步驟,與廣大同行分享探討:

1.適用類型:已知不等式對(duì)任意x∈D恒成立,求參數(shù)a的取值范圍.但用“參數(shù)分離法”分離參數(shù)后,對(duì)另一邊的具體函數(shù)g(x)求導(dǎo),方程g′(x)=0的根求不出,函數(shù)g(x)的最值也無法求出來.

2.破解方法:移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)F(x),求導(dǎo)后“再導(dǎo)一遍”,通過簡(jiǎn)單的放縮,尋找分類討論的分界點(diǎn).

3.討論步驟:由分界點(diǎn)確定討論參數(shù)a的取值范圍:

[1]當(dāng)a∈M時(shí),求導(dǎo)、單調(diào)性法證明不等式對(duì)任意x∈D恒成立,滿足題意(肯定);

[2]當(dāng)a/∈M時(shí),由零點(diǎn)存在性定理,證明方程F′(x)=0或F′′(x)=0有實(shí)根x0,找到與x0相關(guān)的反例區(qū)間E且E?D,由單調(diào)性法證明當(dāng)x∈E時(shí)不等式不成立,從而說明不等式對(duì)任意x∈D不恒成立(否定);

綜上,a的取值范圍是a∈M(下結(jié)論).