數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的理論與教學(xué)設(shè)計(jì)研究

廣東省華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 張佳淳

1 數(shù)學(xué)教育新興方式：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)

1.1 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)

數(shù)學(xué)不僅是寫(xiě)與算,而是具有經(jīng)驗(yàn)與演繹二重性的科學(xué).由于數(shù)學(xué)的高度抽象性,學(xué)生難以在現(xiàn)實(shí)中找到數(shù)學(xué)知識(shí)的原型,缺乏經(jīng)驗(yàn)積累,更難要求他們能深入到對(duì)數(shù)學(xué)概念原理的本質(zhì)認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)操、自主探究、合作交流學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),體驗(yàn)“做中學(xué)”的樂(lè)趣.

參考波利亞對(duì)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的解釋,“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)”是指：在一定的數(shù)學(xué)(學(xué)習(xí)、研究、發(fā)現(xiàn))目標(biāo)的指導(dǎo)下,讓學(xué)生借助一定的工具、儀器和技術(shù)手段,對(duì)具有一定數(shù)學(xué)意義的實(shí)物、模型、事物,以及數(shù)字、圖形等,進(jìn)行觀察、測(cè)試、度量、計(jì)算等數(shù)學(xué)化操作,經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”過(guò)程,以獲取感性認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)信息．[1]

這種界定是從實(shí)驗(yàn)對(duì)象、實(shí)驗(yàn)條件、實(shí)驗(yàn)手段、實(shí)驗(yàn)?zāi)康牡茸髁嗣鞔_說(shuō)明.參考曹一鳴先生提出的高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式,將其概括為五個(gè)環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)情境-實(shí)驗(yàn)與活動(dòng)-歸納與猜想-思考與驗(yàn)證-應(yīng)用與拓展.[2]

1.2 支持?jǐn)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的判據(jù)

1.2.1 基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)在科學(xué)探究中的作用

高斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò),他研究數(shù)學(xué)的方法是通過(guò)實(shí)驗(yàn).[3]實(shí)驗(yàn)活動(dòng)為科學(xué)探究提供了腳手架,學(xué)生難以像真正的數(shù)學(xué)家一樣,自主發(fā)現(xiàn)和經(jīng)歷科學(xué)探究的過(guò)程,而數(shù)學(xué)活動(dòng)為科學(xué)探究創(chuàng)設(shè)了機(jī)會(huì),學(xué)生在教師預(yù)先設(shè)計(jì)好的實(shí)驗(yàn)情境和目標(biāo)下,循序漸進(jìn)地模仿數(shù)學(xué)家經(jīng)歷科學(xué)探究的一系列過(guò)程,在其中體驗(yàn)失敗與成功.

1.2.2 基于教育學(xué)的說(shuō)明

弗賴登塔爾認(rèn)為,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)核心是實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”,學(xué)生本人把要學(xué)的東西去發(fā)現(xiàn)或再創(chuàng)造出來(lái),教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造,而不是把現(xiàn)成知識(shí)灌輸給學(xué)生.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,學(xué)生是一系列工作的主體,教師只是提供了問(wèn)題情境,剩下的經(jīng)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn),學(xué)生沒(méi)有被約束在知識(shí)體系內(nèi),可以大膽地進(jìn)行實(shí)驗(yàn)猜想,可以用自己知識(shí)體系和基礎(chǔ)技能去分析,在過(guò)程中由于不受限制,可以充分發(fā)揮創(chuàng)造力.

杜威提出“從做中學(xué)”的基本原則,兒童天生就有一種要做事和要工作的愿望,對(duì)活動(dòng)具有強(qiáng)烈興趣.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)能調(diào)動(dòng)學(xué)生興趣,提供學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)、展示自我的機(jī)會(huì).在做中學(xué)能加深對(duì)新知的印象,通過(guò)實(shí)踐操作抽象出數(shù)學(xué)概念,從而掌握概念本質(zhì).

1.2.3 基于心理學(xué)的說(shuō)明

建構(gòu)主義認(rèn)為,知識(shí)不是通過(guò)教師傳授得到,而是學(xué)習(xí)者在一定的情境下,借助其他人(包括教師和學(xué)習(xí)伙伴)的幫助和必要的學(xué)習(xí)資料,通過(guò)意義建構(gòu)的方式獲得.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,教師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,要求學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)過(guò)程中主動(dòng)參與觀察、討論、思考,自主構(gòu)建關(guān)于新知的知識(shí)體系.因此,在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,教師運(yùn)用發(fā)現(xiàn)法、探究法等教學(xué)方法,學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)形成數(shù)學(xué)表征,用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行問(wèn)題解決,在活動(dòng)中進(jìn)行數(shù)學(xué)構(gòu)建.[3]

皮亞杰認(rèn)為,形成主體認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)是“動(dòng)作”.作為認(rèn)識(shí)主體的兒童自身的思維結(jié)構(gòu),是在與客體相互作用的過(guò)程中逐步建立和完善,所以他的理論被稱作是一個(gè)動(dòng)態(tài)的“建構(gòu)”理論.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,學(xué)生基于自己的實(shí)驗(yàn)操作,產(chǎn)生自己經(jīng)歷過(guò)的“動(dòng)作”,發(fā)生順應(yīng),即改變已有圖式來(lái)理解新知識(shí),用順應(yīng)后的圖示去同化操作,及利用已有圖式解釋新經(jīng)驗(yàn),從而進(jìn)行動(dòng)態(tài)的認(rèn)知建構(gòu).

情境認(rèn)知強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)、知識(shí)和智慧的情境性,知識(shí)不能脫離活動(dòng)情境而抽象地存在,學(xué)習(xí)應(yīng)與情境化的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)結(jié)合起來(lái).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)著重情境認(rèn)知的過(guò)程,使學(xué)生在特定情境中引入學(xué)習(xí)主題,沖著特定目標(biāo)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)活動(dòng),在特定環(huán)境中進(jìn)行有效率的學(xué)習(xí).

1.2.4 基于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展

數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展,不僅表現(xiàn)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域和高層次中,還大量地表現(xiàn)為用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、方法、工具,來(lái)研究原來(lái)數(shù)學(xué)領(lǐng)域和層次中的理論,和解決現(xiàn)實(shí)世界中復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題.[4]數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)正是讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)發(fā)現(xiàn)、思考、解決實(shí)際問(wèn)題,在實(shí)際情境中提煉出問(wèn)題的本質(zhì),能在誤差允許范圍內(nèi)得到符合實(shí)際的結(jié)果,并嘗試將結(jié)論進(jìn)行拓展延伸.

1.3 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的基本特征

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年,簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”)中也體現(xiàn)了對(duì)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重視.課程目標(biāo)中提出的“四基”就包含基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也包含了對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)及情境認(rèn)知的要求：

結(jié)合新課標(biāo)中的種種描述,歸納數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的基本特征：

(1)活動(dòng)過(guò)程的情境性和探究性

將學(xué)生置于他熟悉的生活情境中,會(huì)感到親切而樂(lè)于接受,打破其對(duì)于數(shù)學(xué)“難”的心理防線.情境的創(chuàng)設(shè)忌生搬硬套,需大部分學(xué)生可能親身經(jīng)歷過(guò),否則弄巧成拙.例如,關(guān)于相交弦定理的教學(xué),有些教師利用環(huán)城公路的交叉設(shè)計(jì)使得每段公路被交點(diǎn)所截后的兩部分乘積相等創(chuàng)設(shè)情境,不僅不貼近學(xué)生實(shí)際生活,還顯得不真實(shí).

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的教學(xué)常常是教師通過(guò)問(wèn)題鏈的方式,引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成或小組合作,問(wèn)題形式多樣,期間可以包含多個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題,具有很強(qiáng)的探究性.

(2)學(xué)生主體的參與性和創(chuàng)新性

不同于傳統(tǒng)教學(xué),在活動(dòng)過(guò)程中學(xué)生充分發(fā)揮其主體作用.學(xué)生的參與性決定了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)課的效率,積極配合的小組會(huì)自主地按照要求進(jìn)行探究,而學(xué)生的創(chuàng)新性決定了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的深度,當(dāng)學(xué)生程度達(dá)到較高的水平,才能有更多意外的收獲并進(jìn)行進(jìn)一步研究.

(3)實(shí)驗(yàn)結(jié)論的抽象性和應(yīng)用性

區(qū)別于物化生的實(shí)驗(yàn),更重視實(shí)驗(yàn)真實(shí)結(jié)果,一般會(huì)得到物質(zhì)成果,而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)注重從數(shù)學(xué)活動(dòng)中抽象出數(shù)學(xué)模型,更注重在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中涉及的數(shù)學(xué)思想方法,將其上升為可以“以一敵百”的數(shù)學(xué)思維.

每一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)結(jié)束后,學(xué)生利用積累的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)模型,可以應(yīng)用到更多地方,用于解決實(shí)際問(wèn)題,所以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的結(jié)論具有較強(qiáng)的應(yīng)用性.

2 二面角的平面角教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 選題背景

“二面角及其平面角”選自高中數(shù)學(xué)人教A版必修二2.3.2節(jié),是立體幾何的三類空間角中最重要、最難理解的概念.二面角的平面角概念的形成過(guò)程比較抽象,學(xué)生沒(méi)有這方面的思維知識(shí).

在新課標(biāo)關(guān)于立體幾何初步的教學(xué)提示中,有以下描述：幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能;教師可以指導(dǎo)和幫助學(xué)生選擇一些立體幾何問(wèn)題作為數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的課題.

2.2 原教學(xué)過(guò)程

教材中直接給二面角的平面角的概念,指出二面角的大小可以用它的平面角度量,但沒(méi)解釋為什么二面角的平面角是這樣刻畫(huà),也沒(méi)解釋為什么就能用二面角的平面角度量二面角大小.所以教師在教學(xué)過(guò)程中,沒(méi)解釋二面角的平面角形成過(guò)程的來(lái)龍去脈,學(xué)生只需記住二面角平面角的刻畫(huà)方式以解決習(xí)題中的問(wèn)題.

這導(dǎo)致學(xué)生對(duì)二面角、二面角的平面角兩個(gè)概念模糊不清,2011年上海松江區(qū)特級(jí)教師阮曉明老師等對(duì)松江區(qū)內(nèi)的全體高中數(shù)學(xué)教師及四所高中的部分高三學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查.對(duì)教師的調(diào)查結(jié)果顯示,在高中數(shù)學(xué)十大難點(diǎn)概念中,二面角排名第七,理由是如下：(1)缺乏空間想象力,做不出二面角;(2)將“兩個(gè)半平面”誤讀為“兩個(gè)平面”;(3)不理解二面角的大小為什么要用其平面角的大小來(lái)度量;(4)缺乏作二面角的方法(教學(xué)課時(shí)刪減有關(guān)).對(duì)學(xué)生的調(diào)查結(jié)果顯示,二面角在十大難點(diǎn)概念的學(xué)習(xí)中排名第一,理由是空間想象能力差、難以直觀地看出;不會(huì)做二面角的平面角、二面角找不到;分不清何時(shí)為銳角和鈍角.[8]

2.3 基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的新教學(xué)設(shè)計(jì)

2.3.1 實(shí)驗(yàn)工具

鏡子、手電筒、筆記本、筆、卡紙;

2.3.2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程及設(shè)計(jì)意圖

根據(jù)曹一鳴先生的五個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)如下.

(1)創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)情境(3min)

利用鏡子,感受二面角“大小”變化.思考：二面角也有大小的連續(xù)變化,如何度量其大小呢?

圖1

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境引入二面角的度量.

(2)實(shí)驗(yàn)與活動(dòng)(17min)

[1]聯(lián)系之前所學(xué)兩種空間角：異面直線所成角和線面角的度量方式.異面直線通過(guò)平移而線面角通過(guò)投影得到平面角.那二面角能否通過(guò)某種方式轉(zhuǎn)化得到平面角呢?

設(shè)計(jì)意圖 聯(lián)系其他空間角的度量,想到將二面角轉(zhuǎn)化為平面角是度量的關(guān)鍵,滲透轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

[2]用卡紙制作二面角模型,操作你手中的二面角模型,從不同角度觀察模型,思考從什么角度觀察時(shí)眼睛可以看到一個(gè)“平面角”?

圖2

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生通過(guò)實(shí)際眼睛看到平面角,感受數(shù)學(xué)活動(dòng)的魅力,提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.而當(dāng)眼睛與棱重合時(shí)才能看到平面角,這需要教師試情況進(jìn)行提示.

[3]我們?cè)?.2.1“中心投影與平行投影”已學(xué)過(guò)視覺(jué)成像屬于中心投影,如何把眼睛看到的這個(gè)“平面角”顯現(xiàn)出來(lái)呢?需要什么工具?什么可以代替視線形成中心投影?

設(shè)計(jì)意圖根據(jù)原理思考,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題,積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn).而投影操作是學(xué)生在之前三視圖、線面角測(cè)量時(shí)都接觸過(guò),利用最近發(fā)展區(qū)理論,學(xué)生將已學(xué)過(guò)的經(jīng)驗(yàn)用于新的實(shí)踐.

[4]利用手電筒、二面角模型和成像的屏幕(投影面),找到三個(gè)工具合適的相對(duì)位置,使得到的投影和眼睛看到的平面角一致：

投影面與地面___;二面角模型的棱與投影面___;手電筒光線與投影面____;手電筒光線與二面角模型的棱____.

思考：為什么當(dāng)三種工具位置滿足以上條件時(shí),二面角的投影就是需要轉(zhuǎn)化出的平面角.

圖3

設(shè)計(jì)意圖在實(shí)驗(yàn)中觀察分析,感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)間的聯(lián)系.學(xué)生需要得到手電筒光線與投影面垂直,而二面角模型的棱與投影面垂直,所以線段的正投影是點(diǎn),而半平面的投影則是線,因此能投影得到平面角.

[5]但每次都通過(guò)投影度量二面角難免麻煩,想象投影面可以移動(dòng)直至切到二面角模型上,這時(shí)就將平面角放到了模型上,即平面角能存在于二面角模型上.那么平面角頂點(diǎn)和兩邊如何確定呢?

思考：角的頂點(diǎn)落在什么位置?角的射線落在什么位置?角的兩邊與棱有什么關(guān)系?角的頂點(diǎn)是固定的嗎?

圖4

設(shè)計(jì)意圖從操作情境中進(jìn)行抽象概括,得到背后的數(shù)學(xué)關(guān)系.這里學(xué)生需概括得到角的頂點(diǎn)落在棱上,兩射線分別落在兩個(gè)半平面上且垂直于棱.角的頂點(diǎn)不是固定的.

(3)歸納與猜想(2min)

二面角的大小可用以下角刻畫(huà)：在二面角α-l-β的棱上____一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作___于棱l的射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做___.其大小范圍是____.

設(shè)計(jì)意圖培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),使學(xué)生從實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中抽象出數(shù)學(xué)概念,并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征,由此獲得概念完成新知構(gòu)建.

(4)思考與驗(yàn)證(10min)

[1]將翻開(kāi)的筆記本兩個(gè)面看作兩個(gè)半平面,兩支筆看作角的兩邊,找到頂點(diǎn)在棱上,兩邊在兩個(gè)面內(nèi)的角,滿足這個(gè)條件的角大小是否唯一?

圖5

通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),滿足條件的角存在且有無(wú)窮多個(gè),但大小____.因此角不能僅滿足“頂點(diǎn)在棱上,兩邊在兩個(gè)面內(nèi)”,否則二面角的大小將無(wú)法說(shuō)清.

[2]在無(wú)窮多個(gè)角的情形中,作圖方便明確的是如圖6(a)的情形,即___,和使兩射線與棱夾角相等的情形,如圖6(b)所示.

圖6 (a)

圖6 (b)

[3]用筆和尺子在二面角模型上作圖,過(guò)棱上一點(diǎn)O作兩條射線OB和OA,都與棱l成某一個(gè)固定的θ角(0°＜θ＜90°)(OB和OA都向同一個(gè)方向傾斜).

用皮筋將兩支筆一端固定住,將固定住的一端放到O上,將兩支筆分別放到OA、OB上,位置確定后,將兩支筆抽出,和二面角模型的張開(kāi)大小進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)兩支筆所成角比二面角模型的角度____.

圖7

設(shè)計(jì)意圖驗(yàn)證二面角的平面角的定義合理性,如果不做垂直于棱的射線,也能得到平面角,但角的大小隨射線位置的變化會(huì)發(fā)生變化,這樣得到的角大小不具有唯一性,而二面角的大小是唯一的,垂直或當(dāng)兩條射線與棱夾角都成θ時(shí)得到的角度都具有唯一性.但成θ時(shí)角度不符合二面角大小,不能用來(lái)度量.驗(yàn)證垂直的必須.

(5)應(yīng)用與拓展(8min)

通過(guò)做題使學(xué)生用定義法找出二面角的平面角,加深對(duì)概念的理解.再拋出問(wèn)題：能否想到二面角平角面的其他定義方式?小組查閱資料進(jìn)行學(xué)習(xí).

3 關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的思考

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)融入教學(xué)仍在嘗試階段,這種教學(xué)形式的開(kāi)展需要根據(jù)學(xué)生層次及能力進(jìn)行調(diào)整,教師應(yīng)積極嘗試,給學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì),讓他們走過(guò)數(shù)學(xué)家經(jīng)歷的路跌過(guò)的坑,才能真正懂得數(shù)學(xué)怎么來(lái).另一方面,活動(dòng)的設(shè)計(jì)應(yīng)淡化形式注重內(nèi)容本身,形式只是載體,一堂熱熱鬧鬧的課不意味著好課,讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)教學(xué)內(nèi)容的實(shí)質(zhì)才是活動(dòng)設(shè)計(jì)的終點(diǎn).

最后,感謝華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院姚靜老師對(duì)設(shè)計(jì)和論文寫(xiě)作的指導(dǎo).