例談初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)

黃平

摘要：數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行推理、判斷、證明的依據(jù)，是建立定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn)。因此，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的地位和作用。然而，在實(shí)際教學(xué)中，概念教學(xué)并沒(méi)有引起教師的足夠重視。當(dāng)然，更談不上對(duì)學(xué)生思維素質(zhì)的培養(yǎng)。教師應(yīng)針對(duì)不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容，巧妙地設(shè)計(jì)概念“生長(zhǎng)”的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生自然地構(gòu)建數(shù)學(xué)概念，掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。這樣，學(xué)生才能把握數(shù)學(xué)的知識(shí)性，才能正確、合理、迅速地進(jìn)行運(yùn)算、論證和空間想象。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；概念；教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）05-0100

無(wú)論采用什么方式進(jìn)行概念教學(xué)，高效的數(shù)學(xué)概念教學(xué)都應(yīng)該遵循“概念的引入——概念的生成——概念的表示——概念的辨析——概念的鞏固——概念的提升”這幾個(gè)基本環(huán)節(jié)，現(xiàn)結(jié)合教學(xué)案例進(jìn)行說(shuō)明。

一、概念的引入

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求：數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過(guò)程，幫助學(xué)生克服機(jī)械性記憶概念的學(xué)習(xí)方法。因此，概念的教學(xué)不是單純的記憶和模仿，而是在教師的引導(dǎo)下主動(dòng)，從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)概念由感性到理性的認(rèn)識(shí)過(guò)程。

案例1：對(duì)于“相交線”內(nèi)容

學(xué)生對(duì)相交線、平行線一定不陌生。大橋上的鋼梁和鋼索，棋盤上的橫線和豎線，筆直的高速公路……都給我們以相交線、平行線的形象。從這一章開(kāi)始我們正式開(kāi)始研究平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關(guān)系。

問(wèn)題1：同學(xué)們能想象出一把剪刀剪開(kāi)物體的示意圖嗎？你能說(shuō)清其中的道理嗎？

問(wèn)題2：仔細(xì)觀察你所畫的圖形（圖1），當(dāng)兩條直線相交時(shí)所形成的四個(gè)角中，∠1和∠2有怎樣的位置關(guān)系？

二、概念的生成

平行四邊形與各種特殊平行四邊形之間的區(qū)別與聯(lián)系是“四邊形”教學(xué)中的難點(diǎn)之一，解決這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵是搞好概念教學(xué)，幫助學(xué)生弄清這些概念之間的關(guān)系。下面是筆者在進(jìn)行“矩形”的教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)探究中生成概念的教學(xué)嘗試。

案例2：對(duì)于“矩形”的概念教學(xué)

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的學(xué)具（兩長(zhǎng)兩短的四根木條、小釘、橡皮筋等）制作一個(gè)四邊形，使等長(zhǎng)的木條成為對(duì)邊，用兩根橡皮筋分別套在相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)上，作為四邊形的對(duì)角線（如圖2）。

師：請(qǐng)大家觀察，這屬于哪種四邊形。

生1：這是平行四邊形，因?yàn)樗膬山M對(duì)邊分別相等

師：改變這個(gè)平行四邊形的形狀。在圖形變化的過(guò)程中，它一直是一個(gè)平行四邊形嗎？這些圖形具有哪些相同的性質(zhì)？（學(xué)生動(dòng)手操作改變平行四邊形的形狀，教師演示教具）

生2：無(wú)論怎么改變這個(gè)四邊形的形狀，它一直是一個(gè)平行四邊形。因?yàn)檫@個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊始終分別相等。（如圖3）

生3：由平行四邊形的性質(zhì)可以知道，這些平行四邊形的對(duì)邊平行、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分、鄰角互補(bǔ)，都是中心對(duì)稱圖形……

師：想一想，在改變圖形形狀的過(guò)程中，有哪些量發(fā)生了變化？

生4：平行四邊形內(nèi)角的大小、對(duì)角線的長(zhǎng)度都發(fā)生了變化。

生5：平行四邊形的面積也發(fā)生了變化。

師：很好！同學(xué)們觀察得很仔細(xì)，思考得很認(rèn)真。你們能具體說(shuō)一說(shuō)在改變平行四邊形形狀的過(guò)程中，它的四個(gè)內(nèi)角的變化嗎？

生6：在上面圖3中，在改變平行四邊形形狀的過(guò)程中∠A和∠C的度數(shù)逐漸增大，先由銳角變成了直角，再由直角變成了鈍角?！螧和∠D的度數(shù)逐漸減小，先由鈍角變成了直角，再由直角變成了銳角。

師：請(qǐng)大家繼續(xù)思考以下三個(gè)問(wèn)題：

1. 當(dāng)∠A是直角時(shí)，平行四邊形的其他三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是多少？

2. 當(dāng)∠A是直角時(shí)，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度關(guān)系如何？

3. 隨著∠A的變化，平行四邊形的面積發(fā)生了怎樣的變化？

生7：當(dāng)∠A是直角時(shí)，平行四邊形的其他三個(gè)內(nèi)角都是90°，也就是說(shuō)，平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角均為直角。

生8：當(dāng)∠A是直角時(shí)，平行四邊形的兩條對(duì)角線不僅互相平分，而且相等。

生9：在圖3中，隨著∠A的變化，平行四邊形的面積先由小變大，再由大變小。當(dāng)平行四邊形的兩鄰邊互相垂直時(shí)，其面積最大。因?yàn)楫?dāng)平行四邊形的底邊固定時(shí)，面積的大小取決于高的大小……

師：在改變平行四邊形的形狀的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角為直角時(shí)，除了原有的性質(zhì)，它還具有其他一些特殊的性質(zhì)。這是一種特殊的平行四邊形，也就是小學(xué)時(shí)所認(rèn)識(shí)的長(zhǎng)方形。今天給它取一個(gè)新的名字——矩形。

三、概念的表示

概念的表示即為給概念下定義的過(guò)程。學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)屬性理解透徹后，就需要進(jìn)行整理，一般用文字語(yǔ)言來(lái)闡述，但為了記憶與使用方便，數(shù)學(xué)概念還要用符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行表示，文字語(yǔ)言重在對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行語(yǔ)言方面的闡述，可盡量讓學(xué)生用自己的話小結(jié)，而符號(hào)語(yǔ)言則體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美，一般是約定俗成的，由教師給出。

案例3：對(duì)于“銳角三角函數(shù)”內(nèi)容

問(wèn)題：如圖4，當(dāng)銳角A的度數(shù)確定時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比值■確定嗎（AB=c，BC=a）

追問(wèn)1：當(dāng)銳角A的度數(shù)變化時(shí)■變化嗎？

追問(wèn)2：銳角A與■在變化中的對(duì)應(yīng)關(guān)系屬于我們所學(xué)過(guò)的什么關(guān)系？

生1：函數(shù)關(guān)系。

追問(wèn)3：這種函數(shù)關(guān)系如何說(shuō)明？

生2：比值■是∠A的函數(shù)。

師：（小結(jié)）這種函數(shù)關(guān)系是銳角三角函數(shù)中的一個(gè)，我們稱之為正弦函數(shù)，記作sinA.即sinA=■.（通過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生用自己的話小結(jié)為比值■是∠A的函數(shù)，教師再給出符號(hào)語(yǔ)言，直觀地說(shuō)明了sinA是∠A的正弦函數(shù)）。

四、概念的辨析

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)對(duì)概念內(nèi)涵的分析、比較、綜合理解，對(duì)概念的特點(diǎn)已初步理解，教師歸納后，學(xué)生也能準(zhǔn)確地描述概念，但要達(dá)到準(zhǔn)確地掌握概念的本質(zhì)屬性，教師還要從不同的角度輔助學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行辨析。

案例4：已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+x+a2-2a=0有一根為0，則a=____。

錯(cuò)解為：0或2

原因分析：從表面上看，學(xué)生在解此類問(wèn)題時(shí)，易犯錯(cuò)誤的原因是對(duì)一元二次方程概念認(rèn)識(shí)的模糊，忘記一元二次方程存在的基本條件是“二次項(xiàng)系數(shù)不能為0”，而實(shí)際上是學(xué)生對(duì)這一類問(wèn)題的概念認(rèn)識(shí)不清。之前在學(xué)習(xí)一元一次方程ax+b=0和一次函數(shù)y=kx+b時(shí)，學(xué)生就容易忘記“a≠0”和“k≠0”的限制條件；在學(xué)習(xí)分式時(shí)，也容易忘記“分母不為0”的限制條件。學(xué)生在此題出現(xiàn)錯(cuò)解是這類錯(cuò)誤的延續(xù)。如果糾錯(cuò)不到位，那么在以后學(xué)習(xí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）和反比例函數(shù)y=■（k≠0）時(shí)，學(xué)生還會(huì)出現(xiàn)同樣的錯(cuò)誤。因此，必須重視這類錯(cuò)誤的糾正。

五、概念的提升

概念教學(xué)的育人功能在于對(duì)核心概念的教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生探索并總結(jié)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律，歸納發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想。概念教學(xué)是很好的數(shù)學(xué)思想方法的承載體。

案例5：?jiǎn)栴}：怎樣在數(shù)軸上表示■和-■？

（1）如果在圖上畫一條數(shù)軸以小正方形的邊長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)（如圖5），那么這一正方形的對(duì)角線為■個(gè)單位長(zhǎng)，能否將■個(gè)單位長(zhǎng)表示在數(shù)軸上呢？

（2）用尺測(cè)量可以，但總有誤差。還有其他方法嗎？

（3）很好，我們以原點(diǎn)為圓心，■為半徑畫圓，與數(shù)軸相交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)表示為多少呢？（這兩點(diǎn)表示■和-■）。

通過(guò)探索無(wú)理數(shù)在數(shù)軸上的表示，從而推理得到實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的過(guò)程是無(wú)理數(shù)概念的深化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)的進(jìn)一步理解。

教無(wú)定法，但貴在得法。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)也沒(méi)有固定的方法，但基本上遵循以上流程。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是一切數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)、能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)，教師一定要站在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的高度上重視概念教學(xué)，優(yōu)化概念教學(xué)設(shè)計(jì)，確保概念教學(xué)的有效性，讓學(xué)生在經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過(guò)程中，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、掌握數(shù)學(xué)方法。

（作者單位：浙江省諸暨市陶朱初中 311800）