探尋數(shù)字背后意蘊 發(fā)展整體結(jié)構(gòu)思維
——以“用數(shù)對確定位置”教學(xué)為例

江蘇海安縣南莫鎮(zhèn)中心小學(xué)（226681）

結(jié)構(gòu)化思維對幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識、完善學(xué)習(xí)認知結(jié)構(gòu)，將課程目標(biāo)細化、串聯(lián)、落實在具體的教學(xué)情境中，以及提高學(xué)生的分析、認知和表達等能力，形成核心思考能力有著重大影響?！坝脭?shù)對確定位置”的教學(xué)目的是，讓學(xué)生會用數(shù)對表示某個具體位置,探尋這“冰冷”規(guī)定背后的意蘊；讓學(xué)生構(gòu)建知識間的關(guān)聯(lián)，體會數(shù)學(xué)思想方法的曼妙，培養(yǎng)合情推理的能力，學(xué)會透過簡潔看結(jié)構(gòu)。如果數(shù)字背后沒有聯(lián)系，知識就是零散的；如果數(shù)字背后沒有思想，規(guī)定就是冰冷的；如果數(shù)字背后沒有方法，學(xué)習(xí)只能是一種沉重的負擔(dān)；如果簡潔背后沒有結(jié)構(gòu),簡潔只不過是一種形式。下面就以蘇教版教材四年級下冊“用數(shù)對確定位置”的教學(xué)為例，談?wù)勅绾胃鶕?jù)數(shù)字探尋規(guī)則背后的意蘊，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維。

一、數(shù)字背后有聯(lián)系，打通聯(lián)系成整體

數(shù)學(xué)知識體系是按照知識之間的內(nèi)部聯(lián)系組成的邏輯結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，教師在教學(xué)時應(yīng)從整體結(jié)構(gòu)入手,尋求內(nèi)容間的內(nèi)在聯(lián)系,把握這種聯(lián)系所構(gòu)成的知識體系,并把這種體系遷移到學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中，使知識系統(tǒng)化、條理化、結(jié)構(gòu)化，從而促進學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的發(fā)展。

例如，教學(xué)四年級下冊“用數(shù)對確定位置”時，教師串通了小學(xué)各年級間有關(guān)確定位置之間的聯(lián)系，引領(lǐng)學(xué)生回顧一、二年級學(xué)習(xí)過的“確定位置”，依托已有經(jīng)驗，提煉出數(shù)字背后的規(guī)則，明晰只要弄清前后左右和上下之間的先后順序，制定統(tǒng)一的規(guī)則，就能準確確定位置，激發(fā)學(xué)生猜想今天學(xué)習(xí)的“確定位置”又有怎樣的規(guī)則，提高學(xué)生探究規(guī)則的興趣，讓學(xué)生體會確定位置的學(xué)習(xí)方法的一致性和簡潔性。

【教學(xué)片段1】

師：我們在一年級就學(xué)過確定位置，在圖1中，你知道數(shù)字“2”是哪一位同學(xué)的位置嗎？

圖1

生1：不能確定，因為如果從前面數(shù)，穿粉色衣服的女孩排第2個；如果從后面數(shù)，穿橙色衣服的男孩排第2個。

生2：僅僅說是第幾個，沒有規(guī)定從哪邊數(shù)，無法確定。

師：真了不起，你們從這個簡單的數(shù)字背后讀出了“在一條線上確定位置時，必須先規(guī)定數(shù)的方向”。

師：瞧，這是我們二年級學(xué)過的確定位置（如圖2），和一年級的有什么不同?

圖2

生3：一年級學(xué)的只有1排，現(xiàn)在不只1排了，必須要說第幾排第幾個才能確定位置。

生4：剛才是在一條線上確定位置，現(xiàn)在是在一個平面上確定位置，要用2個數(shù)字。

師：是的，在一個平面上確定物體的位置，得用兩個數(shù)字來確定。第“2”和第“3”是按怎樣的規(guī)則數(shù)的？

生5：“2”表示排，“3”表示個。

生6：“排”是從前往后，或是從下往上數(shù)的；“個”是從左往右數(shù)的。

師：是的，無論在一條線上，還是一個平面上，確定物體位置時都得先確定規(guī)則，否則大家表述位置的結(jié)果都不相同。這節(jié)課我們繼續(xù)探尋確定位置中數(shù)字背后的規(guī)定。

這樣的教學(xué)，將教學(xué)起點前移，讓知識間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系不僅植根在教師心中，同時也建構(gòu)在學(xué)生的知識體系中，讓學(xué)生建構(gòu)新知有了基架。

【教學(xué)片段2】

師：通過今天的學(xué)習(xí)，你覺得確定一個物體的位置需要幾個數(shù)？這其中的規(guī)定是什么？

生1：我覺得確定一個物體的位置可能需要1個數(shù)，也可能需要2個數(shù)。當(dāng)只有1行或只有1列時，就是在一條線上，只需要1個數(shù)；如果在一個面上就需要2個數(shù)，可以用數(shù)對表示，前一個數(shù)表示列，后一個數(shù)表示行。

生2：如果只有1行時，也可以看成在一個平面上用數(shù)對表示出來，只是這個數(shù)對的后一個數(shù)總是1。

師：真了不起，你打通了線和平面之間的關(guān)系。如果只有1行或1列時，簡單的確定位置的方法只要1個數(shù)?？磥泶_定一個位置，有時需要1個數(shù)，有時需要2個數(shù)，那么有時可能需要……數(shù)對的世界很奇妙，歡迎大家去探秘。

這課前、課中和課后的靈活“打通”，讓一節(jié)課往前走一步，向后拉一步，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性，起到既見樹木又見林的功效。

二、數(shù)字背后有思想，領(lǐng)悟思想促發(fā)展

1.數(shù)點對應(yīng)是本質(zhì)

無論是一維空間還是二維空間,數(shù)與點之間的一一對應(yīng)性(即一個數(shù)或數(shù)對對應(yīng)著空間中的一個點，反之，空間中的每個點也只能用唯一的數(shù)或數(shù)對表示）是用數(shù)對確定位置的本質(zhì)。例如,數(shù)對與座位也是一一對應(yīng)關(guān)系，在用數(shù)對表示自己的座位時，如果某個人的位置是固定的,則描述這個人位置的方法應(yīng)該是一樣的。這個“一一對應(yīng)性”讓學(xué)生體會到“數(shù)學(xué)規(guī)定”雖然是人為規(guī)定,但有它的必要性和合理性,大家都必須認可并遵守這個合理的數(shù)學(xué)規(guī)定,否則一切就混亂了。

【教學(xué)片段3】

師:剛才大家用數(shù)對表示了自己的座位，也讓小伙伴們根據(jù)數(shù)對猜到了自己的朋友。想一想，我們班級中會有兩個人的座位是用同樣的數(shù)對表示的嗎?

生1:不會。如果是同樣的數(shù)對，那這樣一個座位上得坐兩個人了。

生2：每個數(shù)對只能對應(yīng)著一個人，每個人也只能有一個座位，這樣才很有秩序，不會亂。

在教學(xué)由一個象限向其余三個方向延展時，教師引導(dǎo)學(xué)生通過想象“在二維方向標(biāo)（也就是直角坐標(biāo)系）中，每個點都可以用數(shù)對表示嗎？”歸納數(shù)對的“數(shù)學(xué)規(guī)定”，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究知識的欲望。

【教學(xué)片段4】

師：按這個思路繼續(xù)思考，這是學(xué)校的東北角（圖略），還有東南角，如果往下畫，還有西南角，能不能用數(shù)對表示這些點的位置？往左呢?你想說什么？

生1:這個好像我們二年級學(xué)過的方向標(biāo)，分為東、南、西、北四個區(qū)域，那每個區(qū)域中的點的位置應(yīng)該都可以用數(shù)對表示。

師：看來，對于方格圖，我們想畫多大就能畫多大。請大家閉眼想象一下，這個方格圖上任何一點的位置是不是都可以用數(shù)對來表示？反過來，任何一個數(shù)對是不是都可以在這個方格圖上找到一個點和它對應(yīng)？這很像將來咱們要學(xué)習(xí)到的直角坐標(biāo)系。

學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗，猜想這個平面中的每個點應(yīng)該都可以用一個數(shù)對表示，雖不明白具體用什么數(shù)對表示，但一一對應(yīng)的思想已經(jīng)初步形成。

2.數(shù)形結(jié)合巧滲透

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門學(xué)科，而數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其實“數(shù)對”就是中學(xué)所說的坐標(biāo)，而“列”和“行”就是直角坐標(biāo)系的雛形，它們架起了數(shù)與形的橋梁，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)函數(shù)知識進行了有機的鋪墊。教學(xué)中，教師將人物圖抽象為點子圖,再將點子圖抽象為方格圖,滲透“數(shù)形結(jié)合”思想,孕伏“坐標(biāo)”知識，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程,發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

【教學(xué)片段5】

師：如果我們把每個同學(xué)都看成一個點，閉上眼睛想象一下，這幅圖（圖略）變成什么樣了？

師（出示圖3）：睜開眼睛看看，這樣的一個平面圖和你想的一樣嗎？你還能在點子圖中找到數(shù)對（4,2）所表示的點嗎？

圖3

圖4

師（出示圖4）:數(shù)對（2,4）和（4,2）都用的是數(shù)字2和4，它們所表示的點相同嗎？為什么？

……

師：斜著看，數(shù)對（2,2）和（4,4）,有什么特點？在這幅圖中你還能找到這樣的數(shù)對嗎？把這些點連起來會得到什么圖形，你有什么新發(fā)現(xiàn)?

……

師（出示圖5）:橫著看這些數(shù)對，你發(fā)現(xiàn)了什么，豎著看呢？

……

師：沒想到這簡單的數(shù)對背后居然還有這么多門道。

圖5

三、數(shù)字背后有推理，合情推理提能力

數(shù)學(xué)，無論是它自身的產(chǎn)生與發(fā)展,還是對于它的認知與應(yīng)用,推理無不伴隨始終。因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育的一種核心價值取向。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準特別指出:應(yīng)將推理能力的發(fā)展貫穿于學(xué)生整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,猜想和推理是一對孿生兄弟,隨時都會同時出現(xiàn)在一個問題中?！坝脭?shù)對確定位置”這節(jié)課中，數(shù)對確定位置的方法是一種規(guī)則，如果采用“告訴”的方式教學(xué)，就會使學(xué)生的學(xué)習(xí)處于“接受”狀態(tài)。如果讓學(xué)生經(jīng)歷用“符號”來表示第幾行和第幾列，并討論不同方法的優(yōu)劣這一再創(chuàng)造的過程，對于熟悉了“先行后列”數(shù)法的學(xué)生來說是有一定困難的。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生從猜想規(guī)律開始，逐步根據(jù)提示進行推理，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)和研究的熱情，促進學(xué)生推理能力的提升。

【教學(xué)片段6】

師：為了更好地學(xué)習(xí)這節(jié)課，老師請來了很多孩子,這里有老師的女兒(如圖6)，猜猜看，是哪一個?

圖6

生1:從遺傳學(xué)的角度看，我覺得是第4排第2個，因為很漂亮。

生2：聽說成績很棒，我覺得是從上往下數(shù)的第1行的第5個。

生3：只要是女孩都有可能，這樣的猜測好像“大海撈針”，得有點提示。

師：行。在數(shù)學(xué)上，她在這幅圖中的位置表示為（4，2），把數(shù)字4和2用逗號隔開，外面加括號表示一個整體，可以讀作數(shù)對4、2，也可以直接讀成4、2。現(xiàn)在，你能找到她的位置嗎?

生4：還是不能確定究竟是哪一個，但范圍比剛才縮小了。

生5：我們已經(jīng)鎖定了4個目標(biāo)了（如圖7）。

圖7

師：老師只有一個孩子，而且她的位置在數(shù)學(xué)上的確可以用數(shù)對(4,2)來表示，為什么你們找出了四個孩子呢?在小組里交流你的想法。

小組1:這里的4和2，哪一個是指豎排，哪一個是指橫排，沒說清楚。豎排時，究竟是從左往右數(shù)，還是從右往左數(shù)，也沒說清。橫排時，究竟是從上往下數(shù)，還是從下往上數(shù)，也沒說。

小組2：這數(shù)字背后的規(guī)則不清楚。

師：看來，僅僅知道數(shù)對還不夠，我們還得了解這個數(shù)對背后隱藏的一系列規(guī)則。

師：老師的孩子的好朋友，在圖中可用數(shù)對(2,1)表示?，F(xiàn)在你能確定哪一個才是老師的孩子嗎?同桌兩人交流自己思考的過程。

（學(xué)生在交流中明晰列和行的確定以及數(shù)對(4,2)背后的規(guī)則）

學(xué)生在經(jīng)歷了兩次猜想后，逐步縮小答案的范圍，教師再根據(jù)給定孩子的位置和數(shù)對，引導(dǎo)學(xué)生通過推理，自主探究，得出數(shù)字背后的規(guī)則。在這樣的過程中，學(xué)生的推理能力得到了進一步的培養(yǎng)，而這種“以假設(shè)為導(dǎo)向——如果她朋友的位置是（2,1），以事實為依據(jù)，以邏輯為紐帶”，學(xué)生根據(jù)給定數(shù)進行遷移、思考、推理的思考問題的方式，正是結(jié)構(gòu)化思考問題的重要方式。

四、數(shù)字背后有簡潔，透過簡潔見結(jié)構(gòu)

教學(xué)“用數(shù)對確定位置”后，很多教師都引導(dǎo)學(xué)生體會用數(shù)對表示位置的簡潔性，感受數(shù)學(xué)的簡潔美。但這里有比“簡潔”更重要的是這種表示方法的統(tǒng)一性和結(jié)構(gòu)性:所有人都這樣表示，有了這種表示的統(tǒng)一性,就不會產(chǎn)生分歧,便于溝通和交流。如果這里的簡潔只是書寫上的簡單，而從學(xué)生思維的角度思考,特別是對初學(xué)者來說，這其實并不簡潔，反而是更復(fù)雜，因為學(xué)生已有的思維習(xí)慣是先行后列，而數(shù)對表示的數(shù)的第一個是列而不是行。

因此,筆者在引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)用數(shù)對確定位置優(yōu)越性時，讓學(xué)生不僅能體會到簡潔性，更懂得這種表示的統(tǒng)一性和結(jié)構(gòu)性價值要遠遠大于簡潔性,因為這種表示(小學(xué)階段用在一維、二維、三維空間)還可以進一步遷移到球面空間……

綜上，探尋隱藏在數(shù)字背后規(guī)定的數(shù)學(xué)意蘊和價值，不能局限于表面規(guī)定的接受，而要讓學(xué)生知道數(shù)字背后有聯(lián)系，明白數(shù)字背后有思想（重視思想促發(fā)展），經(jīng)歷數(shù)字背后有推理（合情推理提能力），理解數(shù)字背后有簡潔（透過簡潔見結(jié)構(gòu)），真正讓學(xué)生觸摸數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的魅力，讓學(xué)生在有意義的學(xué)習(xí)中發(fā)展結(jié)構(gòu)化思維，并讓其成為一種思考的自覺。然而，結(jié)構(gòu)化思維的培養(yǎng)不是一蹴而就的，和吹拉彈唱相似，也是需要每天練習(xí)的，既然如此，教師就應(yīng)該根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，科學(xué)地引導(dǎo)學(xué)生每天練習(xí)，做學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的引路人，讓他們在每天的練習(xí)中習(xí)得方法，學(xué)會有條理地分析和利用結(jié)構(gòu)化思維解決問題。