基于最大特征向量的改進(jìn)TOPS算法*

（西安郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，西安710121）

1 引言

隨著雷達(dá)、聲納技術(shù)的發(fā)展，信號(hào)測(cè)向受到廣大科技人員的極大關(guān)注[1-3]。相比于窄帶信號(hào)，寬帶信號(hào)含有更多的有用信息，因此有關(guān)寬帶信號(hào)的檢測(cè)是信號(hào)測(cè)向的一個(gè)主流[4]。

最常用且比較經(jīng)典的DOA估計(jì)算法是基于子空間分解的MUSIC法及ESPRIT算法[5]，由于ESPRIT算法特別依賴于實(shí)際陣列的各項(xiàng)參數(shù)，而MUSIC算法對(duì)少量參數(shù)的誤差不靈敏，因此MUSIC算法的工程應(yīng)用前景更好。MUSIC算法基于陣列協(xié)方差矩陣（Array Covariance Matrix,ACM）特征分解(Eigen Decomposition,ED)理論，通過對(duì)接收的陣列數(shù)據(jù)矢量分解為兩個(gè)相互正交的子空間，分別為信號(hào)子空間(Signal Subspace)和噪聲子空間(Noise Subspace)，利用它們之間的正交性可構(gòu)造空間角度譜，通過一維或二維角度遍歷即可獲得信號(hào)的空間角。由于寬帶信號(hào)攜帶的信息比窄帶信號(hào)更多，因此對(duì)于寬帶信號(hào)的研究更能引起學(xué)者的興趣。最早的寬帶DOA估計(jì)算法屬于非相干信號(hào)子空間法（Incoherent Signal Subspace Method,ISSM）[6]。ISSM 算法和窄帶MUSIC方法在性質(zhì)上類似，但是ISSM算法對(duì)信噪比（signal to noise ratio,SNR）有一定的要求，低SNR的條件下，ISSM算法的角度估計(jì)性能就會(huì)急劇惡化。相干信號(hào)子空間法（Coherent Signal Subspace Method,CSSM）則是一種聚焦類的寬帶DOA估計(jì)算法[7]，該算法通過累加的效果可以比擬空間平滑的作用，所以CSSM可以處理相干源。文獻(xiàn)[8]提出的投影子空間正交性測(cè)試法（Test of Orthogonality of Projected Subspace,TOPS），是一種無需聚焦的算法。從實(shí)質(zhì)上來說，TOPS和ISSM算法是一樣的，它對(duì)寬帶相干源的DOA估計(jì)也是失效的，其DOA估計(jì)性能介于ISSM與CSSM之間。由于TOPS算法不需要聚焦，在中等SNR下性能較好，且比較穩(wěn)健，因此受到了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注。TOPS算法的缺點(diǎn)是微弱信號(hào)環(huán)境下算法的誤差較大，且需要選擇一個(gè)頻點(diǎn)作為參照點(diǎn)，參考點(diǎn)選取不當(dāng)會(huì)引來額外的估計(jì)誤差，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)虛報(bào)譜峰的現(xiàn)象。故此提出一種改進(jìn)的TOPS算法。

改進(jìn)算法是先利用約化協(xié)方差矩陣(Reduced Covariance Matrix,RCM)法消除噪聲[9]，通過對(duì)各頻點(diǎn)去噪后的陣列協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，選擇最大特征值對(duì)應(yīng)的向量矩陣作為估計(jì)的信號(hào)子空間，無需信源數(shù)目的先驗(yàn)信息就可實(shí)現(xiàn)寬帶信號(hào)的DOA估計(jì)。

2 陣列及信號(hào)模型

陣列是M個(gè)陣元的均勻線列陣（Uniform Linear Array,ULA），陣元間距為d，P個(gè)寬帶信號(hào)從遠(yuǎn)場(chǎng)入射，入射角度分別為 θ1,θ2,...,θP，陣列的輸出為

對(duì)X(t)進(jìn)行離散傅里葉變換，寫成矩陣形式為

其中

對(duì)X(fj)進(jìn)行協(xié)方差運(yùn)算，則頻率fj處的ACM為

其中

3 TOPS算法

TOPS算法不需要進(jìn)行角度預(yù)估，算法的精確度也介于ISSM與CSSM之間，填補(bǔ)了這兩種算法之間的空白。該算法的主要思想為將噪聲子空間投影到參考頻點(diǎn)的信號(hào)子空間上，用這些投影構(gòu)造一個(gè)新的矩陣，然后用這個(gè)新的構(gòu)造矩陣進(jìn)行角度搜索，矩陣缺秩時(shí)搜索的角度就是DOA估計(jì)值。TOPS算法利用了帶寬范圍內(nèi)所有頻點(diǎn)的信息。

為更好闡述TOPS法，有必要先介紹兩個(gè)定理。

定理 1：對(duì)于 ULA，在方向矢量 a(fP,θP)和 M×M維對(duì)角變換矩陣Φ(fq，θq)給定的情況下，將兩者相乘可得到一個(gè)新的方向矢量

定理2：令Δfj=fj-fP，則下面兩個(gè)值域空間是等價(jià)的，即

其中，φ是假設(shè)的方位角，表示新的方位角矢量。

通過Φ(fj,θj)可以把對(duì)應(yīng)于某個(gè)頻率和空間某個(gè)角度處的a(fi,θi)轉(zhuǎn)換為另一個(gè)頻率和另一角度處的 a(fk,θk)。當(dāng) θi=θj時(shí)，則 θk=θi，此時(shí)有

當(dāng)φ為空間真實(shí)角度時(shí)，矩陣D(φ)會(huì)出現(xiàn)缺秩現(xiàn)象。判斷D(φ)的缺秩情況，通過一維角度遍歷搜索即可估計(jì)出寬帶信號(hào)的空間角。

4 改進(jìn)的TOPS算法

TOPS算法的好壞與選定的參考點(diǎn)處的信號(hào)子空間F0密切相關(guān)，不恰當(dāng)?shù)膮⒖键c(diǎn)會(huì)造成算法性能急劇惡化，有時(shí)會(huì)帶來偽峰現(xiàn)象。

為消除噪聲的影響，利用RCM法去噪：

其中，D{Rx(fj)}表示返回Rx(fj)的對(duì)角矩陣，通過矩陣對(duì)消，噪聲協(xié)方差矩陣被消除了，且對(duì)進(jìn)行特征分解

TOPS算法中的Ui指的是所有的信號(hào)特征向量，現(xiàn)實(shí)中由于信源數(shù)目事先未知，準(zhǔn)確獲得全部信號(hào)特征向量很難實(shí)現(xiàn)。進(jìn)一步探索得知，最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量屬于信號(hào)子空間，且其攜帶了大部分信號(hào)子空間的信息，尤其是在微弱信號(hào)的環(huán)境下。因此考慮只利用最大特征值對(duì)應(yīng)的噪聲特征向量作為估計(jì)的信號(hào)子空間，這就是改進(jìn)算法(ITOPS)的思想，即ITOPS只利用最大特征信號(hào)特征向量來取代真實(shí)的信號(hào)子空間，這樣無需預(yù)先估計(jì)寬帶信源的數(shù)目就可以實(shí)現(xiàn)寬帶源的角度估計(jì)。

5 仿真結(jié)果及分析

仿真采用8陣元的ULA，令2個(gè)不相關(guān)的寬帶信號(hào)入射到ULA上，2個(gè)寬帶信號(hào)的空間角度分別是-12°、-18°。ULA的附加噪聲是零均值的空間平穩(wěn)噪聲。將寬帶信號(hào)在帶寬內(nèi)分為21個(gè)窄子帶,每個(gè)子帶的快拍數(shù)均為128，兩個(gè)寬帶信號(hào)與噪聲的功率相同，均為10dB。為客觀起見，在相同條件下對(duì)TOPS、ITOPS算法進(jìn)行仿真比較。仿真對(duì)比結(jié)果如圖1、圖2所示。

圖1 TOPS算法的角度譜

圖2 ITOPS算法的角度譜

圖1的仿真結(jié)果表明，TOPS算法可實(shí)現(xiàn)對(duì)寬帶信號(hào)的DOA估計(jì)，譜峰也較為尖銳。但TOPS算法對(duì)選定的參考頻點(diǎn)敏感，當(dāng)頻點(diǎn)選擇不太合適時(shí)，該頻點(diǎn)的誤差會(huì)擴(kuò)散到其它頻點(diǎn)處，累加的誤差就比較大，因此會(huì)出現(xiàn)偽峰現(xiàn)象；圖2的仿真結(jié)果表明，ITOPS算法首先通過RCM法消除平穩(wěn)噪聲對(duì)角度估計(jì)的影響，利用最大特征向量來構(gòu)成信號(hào)子空間，繞開了信源數(shù)目的預(yù)估問題。結(jié)果表明，ITOPS也可以對(duì)寬帶信號(hào)進(jìn)行準(zhǔn)確的角度估計(jì)，譜峰也比較尖銳，且由于消除了噪聲的影響，幾乎沒有偽峰。

6 結(jié)束語

針對(duì)TOPS算法需要信源先驗(yàn)數(shù)目的問題，提出了一種改進(jìn)算法，首先利用RCM法消除了噪聲對(duì)方位估計(jì)的影響，其次對(duì)各頻點(diǎn)的陣列協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，選擇最大特征值對(duì)應(yīng)的向量矩陣作為估計(jì)的信號(hào)子空間，從而無需信源數(shù)目的先驗(yàn)信息就可實(shí)現(xiàn)寬帶信號(hào)的DOA估計(jì)。改進(jìn)算法同時(shí)也克服了TOPS算法只適合中等信噪比的缺點(diǎn)，算法穩(wěn)健性高，通用性好，具有良好的工程應(yīng)用前景。