例談對章序言課中滲透數(shù)學(xué)文化的思考

徐剛

摘要： 本文以利用斐波那契數(shù)列進(jìn)行數(shù)列這一章的序言課教學(xué)為例，說明數(shù)學(xué)文化可以為新知識的學(xué)習(xí)找到情感的認(rèn)同點——為什么要學(xué)，知識的框架——學(xué)什么和方法的總結(jié)——怎么學(xué)，而這三點又與每章序言課的功能不謀而合。因此，可以將章序言課的教學(xué)與數(shù)學(xué)文化的滲透相結(jié)合，為章序言課的教學(xué)找到豐富的內(nèi)涵與外延，為數(shù)學(xué)文化的滲透找到新的陣地。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)文化? 序言課教學(xué)? 核心素養(yǎng)? 斐波那契數(shù)列

引言

數(shù)學(xué)是以一種文化體系的形式存在于人類文化之中的。它影響著人類的生活與生產(chǎn)活動，被人們不斷認(rèn)識、追求與傳承著。數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教育中的價值越來越明顯，而數(shù)學(xué)課堂教學(xué)正是實現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價值的主渠道。如何在具體的課堂教學(xué)中恰當(dāng)?shù)貪B透數(shù)學(xué)文化，成為很多教師思考的問題。本文以利用斐波那契數(shù)列進(jìn)行數(shù)列這一章的序言課教學(xué)為例，談?wù)勅绾螌⒄滦蜓哉n的教學(xué)與數(shù)學(xué)文化的滲透相結(jié)合，并提出一些思考與建議，希望為在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化提供新的視角。

一、問題提出

（一）高中數(shù)學(xué)教學(xué)新要求

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將“認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值”作為課程目標(biāo)之一，數(shù)學(xué)文化全面融入數(shù)學(xué)課程的時代已然來臨。數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)陷在單純的邏輯演繹推理里不能自拔，而應(yīng)該分析數(shù)學(xué)文明史，充分揭示數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，肯定數(shù)學(xué)作為文化存在的價值。但事實上，有的教師在高考的壓力下，過分關(guān)注解題技能的訓(xùn)練，導(dǎo)致學(xué)生感受不到數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，體會不到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，發(fā)現(xiàn)不了數(shù)學(xué)對于個人成長以及社會發(fā)展的作用;有的教師雖然注重數(shù)學(xué)文化的滲透，但是形式單一，流于表面，僅僅看看史料，認(rèn)識幾個數(shù)學(xué)家的生平，沒有在教學(xué)中真正地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值。

（二）章序言課的要義與現(xiàn)狀分析

所謂章序言課是每一章的開場白教學(xué)，是在進(jìn)行本章第一小節(jié)內(nèi)容的教學(xué)之前，所實施的以啟發(fā)學(xué)生思考、建構(gòu)章節(jié)整體結(jié)構(gòu)、滲透數(shù)學(xué)思想方法為主要目的的課型。章序言課具有承前啟后、開山引路的作用，具有綱領(lǐng)性的特點。它主要解決三個問題：一是為什么學(xué)習(xí)本章內(nèi)容;二是本章內(nèi)容學(xué)習(xí)什么;三是本章內(nèi)容怎么學(xué)習(xí)。合理進(jìn)行章序言課教學(xué)，可以幫助學(xué)生全面建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，掌握數(shù)學(xué)思想方法，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，對于提高數(shù)學(xué)教學(xué)有效性有重要作用。

然而，由于課時緊張等原因，在日常教學(xué)中專門設(shè)計一節(jié)課來進(jìn)行章序言課的教學(xué)的情況并不多見，不少教師常會忽略教材中的引言和章頭圖，或者一帶而過，致使頗具教學(xué)價值的素材在無形中被浪費(fèi)。學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時出現(xiàn)盲目性和缺少積極性，甚至對后續(xù)概念的學(xué)習(xí)也一知半解，糊里糊涂。因此筆者思考，如果將數(shù)學(xué)文化的滲透和章序言課的教學(xué)相結(jié)合，是否可以讓數(shù)學(xué)文化的滲透找到一個契機(jī)，同時也將章序言課的作用發(fā)揮出來。

二、教學(xué)思考

下面以“數(shù)列”這一章的序言課為例，談一談筆者的一些思考。

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，有著豐富的文化內(nèi)涵，是滲透數(shù)學(xué)文化的良好載體。近年來，在高考題里也反復(fù)出現(xiàn)以數(shù)列為背景的考題。斐波那契數(shù)列就是典型的例子。在人教A版教材里，章頭圖里有斐波那契樹，有花瓣的數(shù)量，植物種子的排布。課后的閱讀與思考里有對它進(jìn)一步的介紹，教學(xué)參考書里也有補(bǔ)充的史料。但是，常規(guī)的教學(xué)中我們可能僅僅把它作為一個特殊數(shù)列，在引入的時候提到它，但是對于它背后的文化卻較少提及或一帶而過，然后匆匆開始數(shù)列的概念與簡單表示法的教學(xué)。學(xué)生也錯過了那些讓他們愛上數(shù)列，愛上數(shù)學(xué)的風(fēng)景。因此，筆者以斐波那契數(shù)列的發(fā)生與發(fā)展的故事為背景，進(jìn)行了一堂序言課的教學(xué)，效果出乎意料，整理出了以下的思考。

（一）在數(shù)學(xué)文化中認(rèn)識核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包括六個要素：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。

在幾百年的斐波那契數(shù)列的研究史中，我們可以清楚地看到核心素養(yǎng)：它的最早提出和發(fā)展是數(shù)學(xué)抽象的“從無到有”，它的性質(zhì)的逐步挖掘是“邏輯推理”的“從少到多”，它的理論與應(yīng)用的產(chǎn)生與發(fā)展的過程正是數(shù)學(xué)建模。而得到解決的任何問題和進(jìn)展都離不開三個工具——“直觀想象”“數(shù)學(xué)運(yùn)算”和“數(shù)據(jù)分析”。正如李尚志教授所言：“核心素養(yǎng)就是兩件事：（1）學(xué)習(xí)和掌握現(xiàn)成的知識作為工具;（2）利用這些工具去解決新的問題。”

（二）數(shù)學(xué)文化揭示正確的數(shù)學(xué)觀

1.從斐波那契數(shù)列的起源看數(shù)學(xué)問題的提出

斐波那契數(shù)列最早被印度數(shù)學(xué)家Gopala提出，他在研究箱子包裝物件長度恰好為1和2時的方法數(shù)時首先描述了這個數(shù)列，也就是這個問題：有n個臺階，你每次只能跨一階或兩階，則上樓有幾種方法？最早研究這個數(shù)列的當(dāng)然就是斐波那契了，他當(dāng)時是為了描述如下情況的兔子生長數(shù)目，這個數(shù)列出自他赫赫有名的大作《計算之書》，后來被廣泛地應(yīng)用于各種場合。學(xué)生從斐波那契數(shù)列的起源可以看到，數(shù)學(xué)是來源于實際生活的，數(shù)學(xué)研究的問題是有實際意義的，從而回答了為什么學(xué)數(shù)列這個問題。我們學(xué)習(xí)數(shù)列的知識是傳承前人的文化，但是也可以在其中發(fā)現(xiàn)新的問題、獲得新的體驗，正如數(shù)學(xué)家們在歷史上做的那樣。

2.從斐波那契數(shù)列數(shù)學(xué)性質(zhì)的研究看數(shù)學(xué)研究的途徑和方向

簡單介紹斐波那契數(shù)列的數(shù)學(xué)性質(zhì)，比如欣賞求解方法，與黃金比的關(guān)系，一些簡單的規(guī)律，楊輝三角中的斐波那契數(shù)列，等等。學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)家研究一個數(shù)學(xué)問題首先是發(fā)現(xiàn)它，其次是歸納猜想證明它的數(shù)學(xué)性質(zhì)。這也是我們學(xué)習(xí)數(shù)列的路徑：先認(rèn)識數(shù)列，再掌握兩種特殊數(shù)列的研究方法，然后把這些方法推廣到其他相對一般的數(shù)列中去，從而回答了學(xué)什么和怎么學(xué)的問題。

3.從斐波那契數(shù)列的應(yīng)用看數(shù)學(xué)在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用

在對斐波那契數(shù)列數(shù)百年的研究中，人們發(fā)現(xiàn)了很多有用的性質(zhì)并且產(chǎn)生了很好的應(yīng)用。隨著人們對斐波那契數(shù)列了解的增多，人們又在自然界中發(fā)現(xiàn)了更多與它有關(guān)的現(xiàn)象，比如植物的生長、斐波那契螺旋等，從而進(jìn)一步豐富了對這一數(shù)學(xué)現(xiàn)象的認(rèn)識，并將它應(yīng)用到物理學(xué)（氫原子能級問題）、波浪理論與股市、建筑學(xué)、太陽能電池樹、搖椅、算法（斐波那契堆，歐幾里得算法的時間復(fù)雜度）等。

在獲取知識的過程中，學(xué)生們能體會到“什么是數(shù)學(xué)”這個困擾他們很久的問題：數(shù)學(xué)從生活中或者自然界中抽象而來，人們在研究數(shù)學(xué)的過程中，歸納猜想證明它的各種性質(zhì)，也就慢慢形成了數(shù)學(xué)的一個重要分支——純數(shù)學(xué);這些性質(zhì)有的在當(dāng)時的科學(xué)技術(shù)條件下轉(zhuǎn)化成在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用，有的沉睡許久，在技術(shù)條件使得人類認(rèn)識發(fā)生改變以后形成新的性質(zhì)，豐富之前的理論，然后再轉(zhuǎn)化成其他學(xué)科和生產(chǎn)生活中的應(yīng)用，這就是數(shù)學(xué)的另一個重要分支——應(yīng)用數(shù)學(xué)。從生活和自然界中來的數(shù)學(xué)問題最終回到生活中，并造福人類，成為人類探索世界的先發(fā)力量。這才是我們應(yīng)該讓學(xué)生知道的數(shù)學(xué)的樣子。

（三）在數(shù)學(xué)文化中找到數(shù)學(xué)精神

斐波那契數(shù)列的故事拉近了學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是有用的，它就在我們身邊，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價值和數(shù)學(xué)家的探索精神與創(chuàng)新精神，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的熱情。

回到課堂上的那兩個故事：那名13歲的男孩Aidan Dwye在觀察樹枝分叉時發(fā)現(xiàn)它的分布模式類似斐波那契數(shù)列，他猜想這樣的排布可能有助于樹葉進(jìn)行光合作用并據(jù)此發(fā)明了太陽能電池樹，其產(chǎn)生的電力比太陽 能光伏電池陣列多20%-50%?？茖W(xué)家們對于向日葵花盤上種子數(shù)目的排布規(guī)律苦苦思索了幾個世紀(jì)，直到1992年，兩位法國數(shù)學(xué)家伊夫·庫代和斯特凡尼·杜阿迪才給出了令人較為滿意的解釋，即斐波那契數(shù)列的這種排列方式可以使得花朵頂端的種子數(shù)目最多。

通過這些故事，學(xué)生們對即將學(xué)習(xí)的數(shù)列知識又多了一份向往和興趣，別的孩子可以做到的發(fā)明創(chuàng)造為什么不會在我們身上發(fā)生呢？如果在學(xué)習(xí)中遇到了困難，參照科學(xué)家們花費(fèi)幾個世紀(jì)才思索出答案，還有什么困難是不能克服的呢？

結(jié)語

數(shù)學(xué)教育承載著落實立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能。數(shù)學(xué)文化知識是一種內(nèi)隱知識，它不同于一般的知識與技能，其作用往往是潛移默化的。

如果我們能充分利用教材，多挖掘數(shù)學(xué)的文化價值，那么學(xué)生感受到的將不僅僅是冰冷的美麗，還有火熱的激情。

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