《信號(hào)與線性系統(tǒng)分析》課程中的一個(gè)注解研究

楊利軍　王浩

摘 要：傅里葉變換在信號(hào)分析中占據(jù)著舉足輕重的地位，也是《信號(hào)與線性系統(tǒng)分析》課程中的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，單位沖激函數(shù)是該課程的一個(gè)基本概念。本文對(duì)該課程中關(guān)于周期單位沖激函數(shù)序列的傅立葉變換進(jìn)行研究，給出了教學(xué)過程中所遇到的問題的求解，對(duì)傅里葉變換及傅里葉級(jí)數(shù)等內(nèi)容的教學(xué)有積極的指導(dǎo)作用。

關(guān)鍵詞：周期信號(hào);傅里葉級(jí)數(shù);單位沖激函數(shù);傅里葉變換;周期單位沖激函數(shù)序列

中圖分類號(hào)：TN911.6-4;G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-5168（2018）31-0051-03

An Annotation in the Course of Signal and Linear Systems Analysis

YANG Lijun1 WANG Hao2

（1.College of Mathematics and Statistics， Henan University，Kaifeng Henan 475004;2.College of Textile Engineering and Art， Anhui Agricultural University，Hefei Anhui 360036）

Abstract： Fourier transform plays an important role in signal analysis， also being an important content in the course of Signal and Linear System Analysis. Meanwhile， unit impulse function is a basic concept in this course. This paper studied the Fourier transform of the periodic unit impulse function sequence. Moreover， we provided some discussion of the problem encountered in the teaching of this course， which could be an effective instruction manual for future teaching of the Fourier transform and Fourier series.

Keywords： periodic signal;fourier series;unit impulse function;fourier transform;periodic unit impulse function sequence

《信號(hào)與線性系統(tǒng)分析》是理工專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程之一。該課程主要研究確知信號(hào)的特性、線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性、信號(hào)通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的基本分析方法及信號(hào)與系統(tǒng)分析方法在某些重要工程領(lǐng)域的應(yīng)用。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的飛速發(fā)展，該課程中一些核心的基本概念和方法，對(duì)工程類、信息類專業(yè)來說也是十分重要的。本文對(duì)該課程中關(guān)于周期性單位沖激函數(shù)序列的傅立葉變換進(jìn)行研究，對(duì)教學(xué)過程中學(xué)生普遍存在疑惑的問題進(jìn)行探討，該內(nèi)容對(duì)傅里葉變換及傅里葉級(jí)數(shù)等內(nèi)容的教學(xué)能起到積極的指導(dǎo)作用。

1 傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換

眾所周知，對(duì)于周期為[T]的周期函數(shù)[f（t）]，當(dāng)其滿足狄里赫利（Dirichlet）條件時(shí)，可以展開成如式（1）所示的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)[1]：

[ft=n=-∞∞FnejnΩt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

其中，[Ω=2πT]為基波角頻率，[Fn]為傅里葉系數(shù)，其求解公式為：

[Fn=1T-T/2T/2fte-jnΩtdtn=0，±1，±2，…]? ? ?（2）

對(duì)于非周期信號(hào)[f（t）]，當(dāng)其滿足絕對(duì)可積時(shí)，可計(jì)算其傅里葉變換：

[Fjω=Fft=-∞∞fte-jωtdt]? ? ? ? ? ? （3）

絕對(duì)可積是函數(shù)傅里葉變換存在的充分條件而非必要條件，引入廣義的函數(shù)概念后，許多不滿足絕對(duì)可積條件的函數(shù)也能進(jìn)行傅里葉變換。單位沖激函數(shù)[δ（t）]在《信號(hào)與系統(tǒng)分析》中是個(gè)較為重要的函數(shù)，它的引入，使得對(duì)周期函數(shù)也能進(jìn)行傅里葉變換，從而對(duì)周期函數(shù)和非周期函數(shù)可以用相同的觀點(diǎn)和方法進(jìn)行分析運(yùn)算，這給信號(hào)和系統(tǒng)分析帶來極大便利。需要指出的是，[Fδt=1]，即單位沖激函數(shù)的頻譜是常數(shù)1，常稱其為“均勻譜”或“白色頻譜”。

2 周期函數(shù)的傅里葉變換

考慮一個(gè)周期為T的周期函數(shù)[fTt]，則信號(hào)[fT（t）]可以展開成指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)：

[fTt=n=-∞∞FnejnΩt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

式（4）中，[Ω=2πT]是基波角頻率，[Fn]是傅里葉系數(shù)，其求解公式為：

[Fn=1T-T/2T/2fTte-jnΩtdt]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

對(duì)（4）式的等號(hào)兩端取傅立葉變換，結(jié)合傅里葉變換的線性性質(zhì)，并考慮到[Fn]不是時(shí)間[t]的函數(shù)，得

[FfTt=Fn=-∞∞FnejnΩt=n=-∞∞FnFejnΩt=2πn=-∞∞Fnδω-nΩ]? ? ? ? （6）

式（6）表明，周期信號(hào)的傅立葉變換（頻譜密度）由無窮多個(gè)沖激函數(shù)組成，這些沖激函數(shù)位于信號(hào)的各諧波角頻率[nΩ（n=0，±1，±2，…）]處，其強(qiáng)度為各相應(yīng)幅度[Fn]的[2π]倍。例如[1]：

求周期為T的單位沖激函數(shù)序列[δTt]的傅里葉變換，其中

[δTt=n=-∞∞δt-mT]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

根據(jù)式（6），先求周期性沖激函數(shù)序列的傅里葉系數(shù)?？紤]到函數(shù)[δTt]在區(qū)間[-T2，T2]只有一個(gè)沖激函數(shù)[δt]，結(jié)合沖激函數(shù)的取樣性質(zhì)和式（5）知：

[Fn=1T-T2-T2δTte-jnΩtdt=1T-T2T2δte-jnΩtdt=1T]? ? ?（8）

從而得出單位沖激函數(shù)序列[δTt]的傅里葉變換為

[FδTt=2πn=-∞∞Fnδω-nΩ=2πTn=-∞∞δω-nΩ=Ωn=-∞∞δω-nΩ]（9）

如果令[δΩω=n=-∞∞δω-nΩ]，則單位沖激函數(shù)序列[δTt]的傅里葉變換為：

[FδTt=ΩδΩω]? ? ? ? ? ? ? （10）[ ]

式（10）表明，在時(shí)域中，周期為T的單位沖激函數(shù)序列[δTt]的傅里葉變換是一個(gè)在頻域中周期為[Ω]，強(qiáng)度為[Ω]的沖激序列。

每次講到這個(gè)例題，總有學(xué)生疑惑，為什么不從沖激函數(shù)序列[δTt]的表達(dá)式直接入手，利用沖激函數(shù)[δ（t）]的傅里葉變換以及傅里葉變換的性質(zhì)來求解[δTt]的頻譜呢？如果直接求解，利用傅立葉變換的線性性質(zhì)和平移特性，并考慮到[Fδt=1]，可得

[FδTt=m=-∞∞Fδt-mT=m=-∞∞e-jmTω]? ?（11）

這個(gè)結(jié)果和例題中得到的結(jié)果在形式上差別很大，不免懷疑：兩者是一回事嗎？在這里，筆者只給出粗略的理論推導(dǎo)。注意到[ΩδΩω]是頻域中周期為[Ω]的周期函數(shù)，因此根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)理論，可以將其展開成傅里葉級(jí)數(shù)的形式。其傅里葉系數(shù)

[Gn=1Ω-Ω2Ω2ΩδΩωe-jnTωdω=-Ω2Ω2δΩωe-jnTωdω-Ω2Ω2δωe-jnTωdω=1]? ? （12）

從而周期函數(shù)[ΩδΩω]的傅里葉級(jí)數(shù)為

[ΩδΩω=n=-∞∞Gnejn2πΩω=n=-∞∞ejnTω=n=-∞∞e-jmTω]? ? ? ? （13）

另外，二者的等價(jià)性還可以從實(shí)驗(yàn)上來進(jìn)行驗(yàn)證。在式（13）中，分別在[m=-104：104]、[m=-106：106]和[m=-108：108]三種情況下求和，三種情況下周期T均取為π，可得圖1、圖2和圖3。在這幾幅圖中，給出的均為所得結(jié)果的實(shí)部圖像（虛部的幅值很小可以忽略不計(jì)）。由圖可知，信號(hào)周期為2，符合[Ω=2πT]，且隨著m取值范圍的擴(kuò)大，即式（11）中參與疊加的分量增多，信號(hào)向上沖擊的幅度越大，逐漸趨向于周期為2的沖激函數(shù)序列，從而驗(yàn)證了式（11）。

3 結(jié)語(yǔ)

本文討論了《信號(hào)與線性系統(tǒng)分析》課程中關(guān)于單位沖激函數(shù)序列的傅立葉變換求解問題，給出了兩種形式的求解過程，并從理論和實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證二者的等價(jià)性[2]。沖激函數(shù)是該課程的基本概念，傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換是該課程的重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，因此對(duì)于周期沖激函數(shù)序列的傅立葉變換的研究是十分重要的，對(duì)于該課程的教學(xué)有一定的指導(dǎo)作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳大正.信號(hào)與線性系統(tǒng)分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2005.

[2]奧本海姆.信號(hào)與系統(tǒng)[M].2版.劉樹堂，譯.北京：電子工業(yè)出版社，2013.