高速切削過(guò)程中顫振現(xiàn)象的二自由度非光滑模型分析

劉喻 張思進(jìn)? 殷珊

(1.湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院, 長(zhǎng)沙 410082) (2.湖南大學(xué) 湖南大學(xué)汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 長(zhǎng)沙 410082)

引言

在機(jī)械加工過(guò)程中,切削會(huì)引起刀具與工件之間強(qiáng)烈的自激振動(dòng),這種不可避免的現(xiàn)象通常被稱(chēng)為“顫振”.由于顫振會(huì)降低切削質(zhì)量和切削效率,降低刀具和機(jī)床的使用壽命,因此切削加工過(guò)程的穩(wěn)定性研究獲得了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.自20世紀(jì)初Tlusty和Tobias等人[1-3]在切削顫振方面作出諸多開(kāi)創(chuàng)性研究之后,許多學(xué)者在機(jī)床切削顫振領(lǐng)域做了大量的研究工作[4-7].目前,刀具顫振的單自由度穩(wěn)定性分析方法已經(jīng)成熟,兩自由度的顫振分析模型也有許多,而本文提出了一種刀尖橫向振動(dòng)與工件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)相耦合的兩自由度系統(tǒng),并給出了一個(gè)分段切削力方程,由此,研究系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)榉枪饣瑒?dòng)力學(xué)系統(tǒng).

近年來(lái)非光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)深受廣大學(xué)者的關(guān)注,許多學(xué)者[8-12]對(duì)其進(jìn)行了研究.其中分段光滑系統(tǒng)是一類(lèi)典型的非光滑系統(tǒng),其包含了豐富的動(dòng)力學(xué)特性,如：Hopf分岔、鞍結(jié)分岔、倍周期分岔等等.熊[13]研究了分段光滑的擬哈密頓系統(tǒng)的多個(gè)參數(shù)的極限環(huán)分支問(wèn)題.高和陳[14]等以雙線(xiàn)性分段光滑隔振系統(tǒng)為理論模型,研究了摒除不利于隔振的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象設(shè)計(jì)方法.梁和韓[15]研究了一類(lèi)分段光滑系統(tǒng)并給出了廣義雙同宿分岔的條件.有關(guān)分段光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的更多討論在專(zhuān)著[16,17]中可以找到.

本文試圖揭示二自由度非光滑模型在高速切削過(guò)程中的顫振運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性,如分岔、混沌運(yùn)動(dòng)等等.首先通過(guò)對(duì)系統(tǒng)微分方程的特征方程的分析,討論非光滑系統(tǒng)的穩(wěn)定性.當(dāng)某個(gè)參數(shù)達(dá)到某一臨界值時(shí),系統(tǒng)將產(chǎn)生Hopf分岔,從而有穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng).最后,以主軸旋轉(zhuǎn)速度為分岔參數(shù),數(shù)值模擬了系統(tǒng)響應(yīng)在旋轉(zhuǎn)速度增加這一過(guò)程中的分岔與混沌現(xiàn)象.

1 切削系統(tǒng)的二自由度非光滑模型

考慮刀尖橫向振動(dòng)與工件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)相耦合的系統(tǒng)(圖1),其控制方程如下：

(1)

為簡(jiǎn)化分析,本文假設(shè)環(huán)向切削力有以下表達(dá)式：

(2)

上式Ω0為工件轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；h為切削厚度,當(dāng)車(chē)刀發(fā)生橫向振動(dòng)時(shí),切削厚度會(huì)發(fā)生改變(圖2).設(shè)車(chē)刀等效長(zhǎng)度為l,振幅為w,則有：

圖1 切削系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the tool-workpiece system

圖2 車(chē)刀橫向振動(dòng)引起切削厚度改變Fig.2 Change of cutting thickness by the transverse vibration of the cutting tool

(3)

將式(2)和(3)代入方程(1),得到以下向量場(chǎng)分段形式的控制方程：

(4)

和

(5)

引入以下無(wú)量綱量：

(6)

對(duì)方程組(4)～(5)做無(wú)量綱化,得到：

(7)

和

(8)

這里y″、θ″分別是對(duì)變量τ的二階導(dǎo).τ=ω1t.

此外,作以下變量替換：

(9)

消去方程組(7),(8)中的靜態(tài)項(xiàng),有：

(10)

和

(11)

這里

(12)

2 周期顫振運(yùn)動(dòng)的非光滑分析

為了便于對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析,方程(10)和(11)可以表示為：

(13)

和

(14)

(15)

(16)

該矩陣特征根方程為：

λ4+aλ3+bλ2+cλ+d=0

(17)

其中：

方程(17)有4個(gè)特征根,其中至少有一對(duì)共軛復(fù)根,對(duì)應(yīng)方程(13)的線(xiàn)性化方程的解為穩(wěn)定或不穩(wěn)定焦點(diǎn)(或焦-結(jié)點(diǎn))；而當(dāng)共軛復(fù)根的實(shí)部為0時(shí),對(duì)應(yīng)臨界情形.為確定該臨界條件,令方程(17)的4個(gè)根分別為：λ1,λ2,iσ,-iσ.

即方程(17)可表示為：

(λ-λ1)(λ-λ2)(λ-iσ)(λ+iσ)=0

(18)

將(18)式展開(kāi),并比較其與(17)式λ同階項(xiàng)的系數(shù),可得λ1,λ2,σ滿(mǎn)足的4個(gè)條件,從其中消去λ1,λ2,σ,可以得到方程(13)產(chǎn)生高維Hopf型分岔的條件：

a2d+c2=abc

(19)

若固定方程(17)下方的某特定參數(shù)外的其它參數(shù),就可得到該參數(shù)的分叉值,如固定Ω外的其他參數(shù)即可得到參數(shù)Ω對(duì)應(yīng)的分岔值.

由以上分析可知,方程(14)所描述的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,因而其對(duì)由方程(13)和(14)組成的分段光滑系統(tǒng)總是耗散的.故分段光滑系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)周期顫振運(yùn)動(dòng)的前提是：方程(13)所描述的系統(tǒng)必須是發(fā)散的(系統(tǒng)能量增加),如圖3所示.

圖3 分段光滑系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)周期解的產(chǎn)生條件Fig.3 Conditions of stable periodic chatter for piecewise smooth system

因而,式(19)正是分段光滑系統(tǒng)是否存

在穩(wěn)態(tài)周期顫振運(yùn)動(dòng)的臨界條件.

在條件(19)中帶入下列參數(shù)值(表1),那么臨界條件(19)將變?yōu)閰?shù)Ω和ω的關(guān)系,得到臨界線(xiàn)如圖4(a)所示.

表1 除參數(shù)Ω和ω外的系統(tǒng)參數(shù)Table 1 System parameters except parameters Ω and ω

同樣帶入表2中的參數(shù)值將得到參數(shù)Ω和μc的關(guān)系,臨界線(xiàn)如圖4(b).

表2 除參數(shù)Ω和μc外的系統(tǒng)參數(shù)Table 2 System parameters except parameters Ω and μc

圖4 參數(shù)Ω分別與ω和μc的臨界曲線(xiàn)Fig.4 Critical conditions between parameters Ω and ω, μc

參數(shù)Ω和ω的臨界線(xiàn)將參數(shù)域(Ω,ω)分為兩部分：臨界線(xiàn)上方區(qū)域Ⅰ是穩(wěn)定的,下方區(qū)域Ⅱ是非穩(wěn)定狀態(tài)的.為了驗(yàn)證這一結(jié)論,在參數(shù)域(Ω,ω)中選取了兩個(gè)點(diǎn)A和B,點(diǎn)A位于臨界線(xiàn)下方區(qū)域Ⅱ,點(diǎn)B位于臨界線(xiàn)上方區(qū)域Ⅰ.對(duì)于參數(shù)B,存在周期一的周期軌道(圖5(b)),而對(duì)于參數(shù)A相應(yīng)的相空間不存在周期軌道(圖5(a)).

圖5 在圖4(a)中區(qū)域Ⅰ和Ⅱ上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相圖Fig.5 Phase portrait of points in regionsⅠand Ⅱin figure 4(a)

參數(shù)Ω和μc的臨界線(xiàn)將參數(shù)域(Ω,μc)分為三個(gè)部分：中間區(qū)域Ⅱ是穩(wěn)定的,兩邊區(qū)域Ⅰ和Ⅲ是不穩(wěn)定的.為了驗(yàn)證這一結(jié)論,在參數(shù)域(Ω,μc)中選取了三個(gè)點(diǎn)A、B和C,點(diǎn)B位于中間區(qū)域Ⅱ,點(diǎn)A和點(diǎn)C分別位于區(qū)域Ⅲ和Ⅰ.對(duì)于參數(shù)B,存在周期二的周期軌道(圖6(a)),而對(duì)于參數(shù)A和參數(shù)C相應(yīng)的相空間不存在周期軌道(圖6(b)和(c)).

圖6 在圖4(b)中區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相圖和映射圖Fig.6 Phase portrait and Poincaré map of points in regionsⅠ、Ⅱ、Ⅲ in figure 4(b)

3 復(fù)雜顫振運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬

為了便于分析顫振運(yùn)動(dòng)的不同類(lèi)型,帶入表3中的數(shù)據(jù)參數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬.并選擇無(wú)量綱參數(shù)主軸速度Ω作為分岔參數(shù),通過(guò)模擬系統(tǒng)的分岔圖、相圖、時(shí)域圖和映射圖來(lái)分析參數(shù)Ω對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響.

表3 除參數(shù)Ω外的系統(tǒng)參數(shù)Table 3 System parameters except parameter Ω

變量Ω的分岔圖如圖7所示,從圖中可看出,隨著分岔參數(shù)的增大,系統(tǒng)由周期一運(yùn)動(dòng),倍周期分岔到周期二運(yùn)動(dòng),隨著Ω持續(xù)增大,再次倍周期分岔到周期四運(yùn)動(dòng).在圖7(b)局部放大圖中觀(guān)察更為明顯.

圖7 參數(shù)Ω的分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram of Ω

圖8描述的是在Ω=0.7時(shí)的時(shí)域圖,其中的收斂狀態(tài)表示穩(wěn)定的切削狀態(tài),并表明在相對(duì)較低的主軸速度下切削沒(méi)有顫振運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生.隨著主軸速度的增大,將會(huì)產(chǎn)生hopf分岔.圖9顯示的是當(dāng)Ω=2時(shí),系統(tǒng)產(chǎn)生了一個(gè)極限環(huán).圖9是相平面(x1,y1)的相圖.

圖8 Ω=0.7處的時(shí)域圖Fig.8 Time-domain figure when Ω=0.7

圖9 Ω=2處的相圖Fig.9 Phase portrait when Ω=2

當(dāng)Ω增大到10時(shí),系統(tǒng)到達(dá)了周期二運(yùn)動(dòng)狀態(tài).隨著Ω的不斷增大,系統(tǒng)將達(dá)到周期四運(yùn)動(dòng),甚至變?yōu)橹芷诹\(yùn)動(dòng).

圖10 Ω=16處的相圖和映射圖Fig.10 Phase portrait and Poincaré map when Ω=16

在圖10當(dāng)中的相圖和映射圖表示系統(tǒng)達(dá)到了混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),此時(shí),Ω增大到了16.由此可見(jiàn),切削運(yùn)動(dòng)從平衡狀態(tài),到周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài),經(jīng)過(guò)倍周期分岔,最后通向了混沌的道路.

4 結(jié)論

本文分析了刀尖橫向振動(dòng)與工件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)相耦合的二自由度模型在高速切削過(guò)程中的顫振運(yùn)動(dòng),并得到了顫振發(fā)生的臨界條件,通過(guò)數(shù)值模擬對(duì)臨界條件進(jìn)行了驗(yàn)證,驗(yàn)證結(jié)果證明了臨界條件的合理性.雖然切削力中的許多參數(shù)對(duì)削切顫振會(huì)產(chǎn)生影響,文中主要研究了最可能的參數(shù)主軸速度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響.當(dāng)主軸速度較小時(shí),系統(tǒng)可能保持穩(wěn)定的切削狀態(tài)；當(dāng)主軸速度超過(guò)某個(gè)臨界值時(shí),系統(tǒng)將可能發(fā)生顫振現(xiàn)象.