航天器平移及姿態(tài)機動自適應(yīng)終端滑模控制*

岳寶增 李曉玉

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院, 北京 100081)

引言

現(xiàn)代航天器大角度姿態(tài)機動及軌道機動往往是以六個自由度的平動及姿態(tài)運動建模.此時系統(tǒng)的非線性運動方程中六個自由度的平動和旋轉(zhuǎn)運動是動態(tài)耦合、高度非線性的. 而且,未知的環(huán)境力矩會對航天器產(chǎn)生外部擾動,機動時的燃料晃動和消耗會使航天器的慣性矩陣和質(zhì)量特性發(fā)生變化,導(dǎo)致參數(shù)不確定.因此,控制系統(tǒng)應(yīng)該能夠考慮外部干擾并適應(yīng)質(zhì)量分布的變化[1-3].

自適應(yīng)控制器能夠修正自身特性以適應(yīng)運動及擾動動態(tài)特性變化[4].由于現(xiàn)代航天器控制系統(tǒng)存在參數(shù)不確定及外部干擾,因而自適應(yīng)控制器具有重要的實際意義.許多應(yīng)用中(如軌道和大角度機動),航天器的慣性矩陣可能存在較大的模型誤差,因此提出了自適應(yīng)控制.機動過程中,系統(tǒng)的慣量矩陣將由于燃料消耗(或者燃料晃動及流體結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)[1-3])或部件連接的改變而發(fā)生變化,因此控制器的設(shè)計必須有效克服這種變化對航天器的影響.自適應(yīng)反饋控制可以解釋并解決航天器跟蹤目標(biāo)軌道的問題[3].由于控制律具有六階動態(tài)補償器形式,因而無需知道航天器慣量或者質(zhì)心位置.文獻[5]研究了具有慣性不確定性及外部干擾的非線性航天器系統(tǒng)的姿態(tài)穩(wěn)定問題.在應(yīng)用滑模控制器控制閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)變量時,需要自適應(yīng)律預(yù)估干擾.對具有執(zhí)行偏差及質(zhì)量未知的剛體航天器整體平移及旋轉(zhuǎn)的有限時間控制問題采用了反演魯棒自適應(yīng)控制方法[6].

本文對航天器的耦合平移及姿態(tài)動力學(xué)進行了動力學(xué)和運動學(xué)描述,并將無奇異問題的四元數(shù)用于姿態(tài)運動學(xué).應(yīng)用自適應(yīng)終端滑?？刂破黩?qū)動航天器在有限時間內(nèi)(非漸進式)到達目標(biāo)軌道.所提出的設(shè)計方案具有快速機動響應(yīng)性,并且對于模型的不確定性及環(huán)境擾動具有很好的魯棒性.利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了控制器的可達性及穩(wěn)定性.最后通過數(shù)值仿真驗證了控制器的效率和準(zhǔn)確性.

1 航天器耦合平移及姿態(tài)動力學(xué)方程

首先根據(jù)所要建立的耦合動力學(xué)模型選擇坐標(biāo)系,如圖1所示.直角坐標(biāo)系EXIYIZI為原點在E點的慣性參考系.直角坐標(biāo)系OXsYsZs為固定在航天器剛體上的隨體坐標(biāo)系,其原點為主剛體質(zhì)心,R是在坐標(biāo)系EXIYIZI中所表示的從E到O的矢徑.參考坐標(biāo)系下的航天器姿態(tài)是由方向余弦矩陣或者歐拉角定義的.本文中,歐拉角被定義為關(guān)于剛體軸的旋轉(zhuǎn)角,其中:θx,θy,θz分別是繞軸Xs,Ys,Zs的旋轉(zhuǎn)角.坐標(biāo)系變換矩陣按照OXs→OYs→OZs的順序.因而得到坐標(biāo)系EXIYIZI和OXsYsZs的坐標(biāo)系變換矩陣為:

(1)

(2)

其中：sk=sinθk,ck=cosθk.自由指標(biāo)k表示固定于主剛體的坐標(biāo).

(3)

(4)

V,ω分別是航天器相對于慣性系的速度和角速度(角速度表示為準(zhǔn)坐標(biāo)的時間導(dǎo)數(shù)以及坐標(biāo)轉(zhuǎn)化矩陣的積).

圖1 航天器系統(tǒng)的示意圖Fig.1 Schematic representation of the spacecraft system

根據(jù)一般準(zhǔn)坐標(biāo)系下的拉格朗日方程,得到航天器六自由度平移和姿態(tài)運動的動力學(xué)方程[7].

(5)

(6)

L表示拉格朗日函數(shù).f和u分別是控制力和力矩.df和du分別是外部干擾力和力矩.符號×表示作用于向量ω=[ωxωyωz]T的運算:

方程(5)和(6)可以寫成如下形式：

(7)

(8)

m和J分別為主剛體的質(zhì)量和慣性矩陣.耦合系統(tǒng)的狀態(tài)向量(或廣義坐標(biāo)系)可表示為Z=[Rx,Ry,Rz,θx,θy,θz,vx,vy,vz,ωx,ωy,ωz]T,耦合動力學(xué)和運動學(xué)方程(3),(4),(5)和(6)可以利用四階的龍格庫塔法聯(lián)合求解.

方程(3)和方程(4)用歐拉角描述了航天器的姿態(tài)動力學(xué)方程.歐拉角具有最小尺度的優(yōu)點,但是存在計算量大及奇異性問題.本文采用四元數(shù)對剛體航天器進行了全局姿態(tài)描述.歐拉角轉(zhuǎn)換為四元數(shù)的關(guān)系式如下[8]:

(9)

Sj/2=sin(θj/2),Cj/2=cos(θj/2),j=x,y,z.

(10a)

(10b)

I3是三階的單位矩陣.因此方程(3),(10),(7)和(8)構(gòu)成了一組航天器耦合平移及姿態(tài)動力學(xué)的運動學(xué)及動力學(xué)方程.

2 航天器平移和姿態(tài)機動的控制策略設(shè)計

本節(jié)所設(shè)計的控制器是為航天器在參數(shù)不確定性及外部干擾下的運動提供魯棒自適應(yīng)控制.控制任務(wù)可以簡單概述為:對于初始狀態(tài)R(t0)=R(0)=R0(位置)以及θ(t0)=θ(0)=θ0(姿態(tài))的航天器,所設(shè)計的控制律能夠驅(qū)使閉環(huán)耦合的航天器系統(tǒng)在t→T時,狀態(tài)(3)、(10)、(7)和(8)為零.其中T是收斂時間.可以表示為:

(11)

在給出控制設(shè)計之前,首先給出一些與設(shè)計控制方法相關(guān)的引理.

引理1[10]如果α∈(0,1),那么下列不等式成立:

(12)

引理2[10]對任意實數(shù)i=1,…,n,并且0<α<1,下列等式成立:

(13)

(14)

其中V(x0)是V(x)的初始值.

引理4[12]快速終端滑模形式的有限時間穩(wěn)定的李雅普諾夫函數(shù)展開形式給出如下:

(15a)

(15b)

對于航天器軌道控制,航天器軌道的終端滑模面(或切換面)設(shè)為:

S1=CTV+κ1R+κ2sig(R)r

(16)

V=C[-κ1R-κ2sig(R)r]

(17)

為證明滑模面的可達性,李雅普諾夫函數(shù)為:

(18)

求導(dǎo)得到：

5.控制變量。參考黎文靖和鄭曼妮、Tong et al的研究設(shè)計，本文在考察政府補貼、研發(fā)投入對公司專利申請的影響時，類似地控制了公司規(guī)模(Size)、公司年齡(Age)和其他財務(wù)指標(biāo): 現(xiàn)金流量(CF)、負債比率(LEV)、流動比率(Liquidity)、行業(yè)與時間。[4][6]

(19)

定理1由方程(3)、(7)得到的滑模面,控制器(20)能使閉環(huán)系統(tǒng)的軌跡在有限時間內(nèi)達到該滑模面的鄰域,并且最終收斂至原點.

f=C[-κ3S1-κ4sig(S1)r]-

(20)

控制器的穩(wěn)定性證明過程參考文獻[13].

類似的,根據(jù)引理3,得到航天器軌道終端滑模面由S1(t0)到達S1(t)=0的最長時間為：

(21)

為了抑制控制器的抖振,用飽和函數(shù)代替方程(20)的符號函數(shù),控制器轉(zhuǎn)換為:

(22)

e=[e1,e2,e3]為約束抖振的符號函數(shù):

(23)

(24)

ζ0>0,ζ1>0.該控制器效率及可行性的證明參考文獻[13].該控制方案具有兩個特點:(1)控制器不依賴于質(zhì)量m,因而可以應(yīng)用于存在多個未知m的航天器系統(tǒng),并且可以利用自適應(yīng)方法估計擾動上限.(2)算法計算簡單,不包括任何矩陣范數(shù)的計算.

由于驅(qū)動發(fā)動機控制力的大小通常是有限的,為了避免過控制并節(jié)約能量,與坐標(biāo)狀態(tài)參數(shù)增益系數(shù)的直接相關(guān)量應(yīng)該大于坐標(biāo)狀態(tài)參數(shù)間接相關(guān)量,即:κ1>κ2,κ3>κ4.此外,當(dāng)驅(qū)動力變化過快時,會引起液體燃料晃動或者撓性附件的振動力,這將會顯著影響航天器的姿態(tài)和軌道,最終導(dǎo)致航天器控制器失效.因此,所有控制器的增益系數(shù)必須選擇一些較小的值.

對于考慮慣性不確定性以及外界干擾的航天器姿態(tài)控制,根據(jù)參考文獻[15]最終給出快速終端滑?？刂破?AFTSM)如下:

(25)

S=[S2x,S2y,S2z]T∈R3,λ1>0,λ2>0,00.

3 數(shù)值模擬與討論

本節(jié)對剛體航天器的平移和姿態(tài)機動問題進行了仿真,證明了滑?？刂破?24)和(25)的作用.在仿真中使用的是文獻[5,14]中的航天器模型,其中航天器參數(shù):

航天器機動的初始條件和期望的最終狀態(tài)如表1所示.

表1 航天器機動的初始狀態(tài)及目標(biāo)狀態(tài)Table 1 The initial conditions and the desired final states for spacecraft maneuvering

給出不確定參數(shù)為：

ΔJ=diag[sin(0.1t),2sin(0.2t),3sin(0.3t)]kg·m2

(26)

Δm=5sin(0.5t)kg

(27)

外部干擾力及力矩為:

(28)

(29)

其中,δ(ti,Δti)表示在時間ti開始作用的幅值為1,寬度為Δti秒的脈沖擾動.

數(shù)值模擬結(jié)果如圖2～10所示.航天器的位置及平移速度隨時間變化趨勢如圖2和3所示.航天器歐拉角變隨時間變化趨勢如圖4所示.姿態(tài)速度和角的四元素隨時間變化趨勢如圖5和6所示.圖7和圖8分別顯示了航天器平移和機動的控制力和力矩輸入.圖9和10給出了滑模面隨時間變化趨勢.

圖2 航天器位置隨時間變化趨勢Fig.2 Time history of position for spacecraft

圖3 航天器平移速度隨時間變化趨勢Fig.3 Time history of translation velocity for spacecraft

圖4 航天器歐拉角隨時間變化趨勢Fig.4 Time history of Euler angles for spacecraft

圖5 航天器角速度隨時間變化趨勢Fig.5 Time history of angular velocity for spacecraft

圖6 航天器四元數(shù)隨時間變化趨勢Fig.6 Time history of quaternion for spacecraft

圖7 航天器控制力矩輸入隨時間變化趨勢Fig.7 Time history of control torque input for spacecraft

圖8 航天器控制力輸入隨時間變化趨勢Fig.8 Time history of control force input for spacecraft

圖9 航天器平移控制的滑模面隨時間變化趨勢Fig.9 Time history of sliding surface for spacecraft translation control

圖10 航天器姿態(tài)控制的滑模面隨時間變化趨勢Fig.10 Time history of sliding surface for spacecraft attitude control

如圖2、圖3所示,50秒后的位置和平移速度收斂到零.圖4～6顯示35秒后歐拉角,角速度及四元數(shù)收斂到零.外部干擾和慣性不確定性的影響已被有效地抑制并且軌跡是光滑的.根據(jù)圖7和圖8可以得到在180,190和200秒干擾力和力矩的影響.顯然所設(shè)計的控制器有較好的抗干擾能力.盡管計入了脈沖和正弦干擾,它仍實現(xiàn)了良好的位置和姿態(tài)動力學(xué)響應(yīng).干擾模型(28)和(29)包括正弦脈沖和脈沖干擾.一般情況下,脈沖干擾對系統(tǒng)響應(yīng)有很大的影響[14].因此,所提出的自適應(yīng)終端滑?？刂朴行У匾种屏诉@種干擾在平移和姿態(tài)機動中的影響.這也表明所提出的控制器能在t=0時使滑模面幾乎同時達到S=0.仿真結(jié)果表明本文所設(shè)計的控制方案對于航天器的位置和姿態(tài)跟蹤機動非常有效.

4 結(jié)論

本文介紹了自適應(yīng)終端滑?？刂破?它可以用來控制航天器有限時間收斂的平移和姿態(tài)機動,并能抑制不必要的抖振.利用控制律預(yù)估干擾和慣性的不確定,該控制方案無需知道干擾和慣性矩陣.這種自適應(yīng)終端滑?？刂品椒ú粌H對于參數(shù)不確定具有魯棒性而且具有較好的抗干擾能力.即使考慮脈沖和正弦擾動仍具有良好的位置和姿態(tài)動力學(xué)響應(yīng).通過列舉控制具有耦合平移和姿態(tài)機動的航天器的例子,給出了控制器的效率和精度,并進行了驗證與數(shù)值仿真.