非線性時滯奇異系統(tǒng)的嚴格實用穩(wěn)定性研究*

王貴元 楊卓琴

(北京航空航天大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 數(shù)學，信息與行為科學教育部重點實驗室, 北京 100191)

引言

20世紀70年代,英國學者H.H.Rosenbrock提出奇異系統(tǒng)的概念,它是比正常狀態(tài)系統(tǒng)應用范圍更廣泛的一類系統(tǒng),此類系統(tǒng)已在飛行器模型、電路系統(tǒng)等領域有廣泛的應用[1,2].到目前為止,關于線性奇異系統(tǒng)已經(jīng)取得了很多研究成果,其中大多數(shù)是研究實用穩(wěn)定性. 實用穩(wěn)定性理論是現(xiàn)代運動穩(wěn)定性理論的研究方向之一,所研究的系統(tǒng),數(shù)學意義上可能是不穩(wěn)定的,但是在實際問題中是可以接受的[3].因此,從實際的角度可以認為這些系統(tǒng)是穩(wěn)定的,正因為如此,實用穩(wěn)定性引起了很多學者的關注,并取得了許多研究成果.文獻[4]研究了初始時刻不同的非線性微分方程的實用穩(wěn)定性,文獻[5]討論了脈沖系統(tǒng)的實用穩(wěn)定性,利用比較原理得出該類系統(tǒng)實用穩(wěn)定的充分條件.文獻[6]研究了含有時滯的脈沖微分方程的最終實用穩(wěn)定性,得到了此類方程最終實用穩(wěn)定的判別準則.

嚴格實用穩(wěn)定性是一類可以給出解的衰減速度信息的穩(wěn)定性[7,8].它與實用穩(wěn)定性的關系是,某個系統(tǒng)的解是嚴格實用穩(wěn)定的,那么它也是實用穩(wěn)定的,不同點是實用穩(wěn)定性僅對上界進行了估計,沒有對解的下界進行估計,僅僅是單邊估計.基于此,Lakshmikantham[7]等提出了嚴格穩(wěn)定性的概念,得出微分方程嚴格實用穩(wěn)定的若干判據(jù). 隨后,Lakshmikantham和Zhang[8]提出了泛函微分系統(tǒng)嚴格實用穩(wěn)定的定義,給出泛函微分系統(tǒng)嚴格實用穩(wěn)定的充分條件. Zhang 和Sun[9,10]研究了脈沖系統(tǒng)及脈沖泛函微分系統(tǒng)嚴格實用穩(wěn)定等問題.Li[11]等研究了非線性脈沖系統(tǒng)的嚴格實用穩(wěn)定性.Liu和Yang[12]利用Lyapunov函數(shù)法和Razumikhin技巧,得到了脈沖泛函微分方程嚴格實用穩(wěn)定的判據(jù).

然而,關于非線性奇異系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究成果較少,本文將嚴格實用穩(wěn)定性的概念推廣到非線性奇異系統(tǒng),通過利用兩個Lyapunov函數(shù)法和比較原理,得出具有控制輸入的非線性奇異系統(tǒng)嚴格(一致)實用穩(wěn)定及嚴格(一致)實用漸近穩(wěn)定的判定定理. 時滯系統(tǒng)普遍存在于自然和工程實際中,是不可忽略的因素,在一些機械設計過程中,如果忽略時滯,就會降低控制效果,甚至會導致失敗[13,14].已有結(jié)果表明,時滯會使系統(tǒng)產(chǎn)生復雜的動力學行為[13].因此,我們考慮了含有時滯的非線性奇異系統(tǒng),給出其關于兩個測度嚴格實用穩(wěn)定的定義,利用上述兩種方法,得到了這一類系統(tǒng)嚴格(一致)實用穩(wěn)定和嚴格(一致)實用漸近穩(wěn)定的判別準則.

1 預備知識

首先考慮時滯為零的非線性奇異系統(tǒng)[2]:

(1)

其中,E∈Rn×n,rankE=r≤n,x∈Rn是狀態(tài)向量,f(t,u,x)∈C(R+×Rm×Rn,Rn)對所有參數(shù)都連續(xù)可微,u(t)∈Rm是控制輸入[2].

定義1.1[2]控制項u(t)∈Rm被稱為可容許的,如果對任何的初始條件Ex0,系統(tǒng)(1)有唯一的無脈沖的解. 所有的容許輸入的集合定義為Ω.

假設1[2]對于任何的初始條件Ex0和控制u(t),系統(tǒng)(1)有唯一的解；

假設2[2]集合Ω是非空集合;

假設3[2]零解是系統(tǒng)(1)的平衡點.

令u=a(t,x)∈Ω滿足a(t,0)≡0,系統(tǒng)(1)變?yōu)?

(2)

為方便應用,給出下面這些符號的定義：

R+=[0,+∞)

K={α∈C(R+,R+)|α(t)嚴格單增且α(0)=0}

Γ={h∈C(R+×Rn,R+)|infh(t,x)=0}

且a(u,v)∈K,?u}

首先給出非線性奇異系統(tǒng)嚴格實用穩(wěn)定的相關定義.

定義1.2稱系統(tǒng)(2)的解x(t)=x(t;t0,x0,u*)是:

(1)嚴格實用穩(wěn)定的,如果對于給定的(λ1,A1):0<λ1≤A1與某個t0∈R+,可由‖Ex0‖<λ1,得出‖Ex(t)‖λ2,得出‖Ex(t)‖>A2對所有的t≥t0成立；

(2)一致嚴格實用穩(wěn)定的,如果對所有的t0∈R+滿足定義(1)的條件；

(3)嚴格吸引的,如果對任意給定的δ1>0,ε1>0與某個t0∈R+,對每個δ2<δ1,存在ε2<ε1,T1=T1(t0,ε1)與T2=T2(t0,ε2),使得當λ2<‖Ex(t0)‖<λ1時,有ε2<‖Ex(t)‖<ε1,對所有的t0+T1≤t≤t0+T2成立；

(4)嚴格一致吸引的,如果滿足條件(3)且T1,T2不依賴于t0；

(5)嚴格實用漸近穩(wěn)定的,如果(1),(3)成立,且δ1=λ；

(6)嚴格一致實用漸近穩(wěn)定的,如果(2),(4)成立,且δ1=λ.

下面給出比較系統(tǒng)及相關定義.

考慮下列微分系統(tǒng)[2]：

(3a)

(3b)

其中,g1,g2∈C(R+×R+×Rn,R).

定義1.3[8]稱比較系統(tǒng)(3)為：

(1)嚴格實用穩(wěn)定的,如果對給定的(λ1,A1):0<λ1λ2時,有ω2(t)>A2對所有的t≥t0成立；

(2)嚴格一致實用穩(wěn)定的,如果(1)對所有的t0∈R+都成立；

(3)嚴格吸引的,如果對給定的δ1>0,ε1>0,與某個t0∈R+,對每個δ2<δ1,存在ε2<ε1,T1=T1(t0,ε1)與T2=T2(t0,ε2),使得當ω10<δ時,有ω1(t)<ε1,且當ω20>δ2時,有ω2(t)>ε2,對所有的t0+T1≤t≤t0+T2成立；

(4)嚴格一致吸引的,如果T1,T2不依賴于t0；

(5)嚴格實用漸近穩(wěn)定的,如果(1),(3)成立,且δ1=λ1；

(6)嚴格一致實用漸近穩(wěn)定的,如果(2),(4)成立,且δ1=λ1.

注：(1)和(3)或者(2)和(4)不同時成立.

關于含有時滯的非線性奇異系統(tǒng)的相關定義.

考慮下面的奇異系統(tǒng)[2]：

(4)

其中,E∈Rn×n,rankE=r≤n,

xt(θ)=x(t+θ),θ∈[-τ,0],τ>0,x∈Rn

f∈C(R+×Rn×ξ,Rn),f(t,0,0)≡0,t≥t0≥0

系統(tǒng)(4)的初始條件為xt0=φ,φ∈ξ.

令Sk(t0)表示過初始時刻t0的所有初始函數(shù)的集合[2],?φ∈Sk(t0),過點(t0,φ)至少存在一個連續(xù)解[2],其中t∈[t0-τ,+∞).

定義1.4[2]令h0∈Γτ,φ∈ξ,對于任意的t∈R+,定義：

定義1.5[2]令h0∈Γτ,h∈Γ,φ∈Sk(t0),稱系統(tǒng)(4)的解是：

(6) 一致吸引的,如果(5)對于任意的t0∈R+都成立；

引理1.1[2]

令y=Ex,V(t,y)∈C(R+×Rn,R+)關于y滿足局部Lipschitz條件,V(t,y(t))沿著系統(tǒng)(1)的Dini導數(shù)定義為：

注：本文均假設V(t,y(t))關于y滿足局部Lipschitz條件.

下面給出兩個比較原理.

引理1.2[2,8]假設下列條件成立：

(1)存在V∈C(R+×Rn,R+),V(t,y)關于y滿足局部李氏條件,其中y=Ex；

(2)存在g1∈C(R+×R+×Rn,R)使得D+V≤g1(t,V(t,Ex),x),?(t,x)∈R+×Rn,其中x(t)=x(t;t0,x0,u*)是系統(tǒng)(1)的任何一個解；

(3)r(t;t0,ω0,x0,u*)是比較系統(tǒng):

(5)

的最大解.則當V(t0,Ex0)≤ω10時,有:

V(t,Ex)≤r(t;t0,ω0,x0,u*),?t≥t0.

另一方面,若D-V≥g2(t,V(t,Ex),x),ρ(t;t0,ω0,x0,u*)是比較系統(tǒng)：

的最小解.則當V(t0,Ex0)≥ω20時,有：

V(t,Ex)≥ρ(t;t0,ω0,x0,u*),?t≥t0.

引理1.3[8]假設：

(1)u∈C(R+,R+)且D+u≤g(t,u)；

(3)r(t)是比較系統(tǒng).

的最大解,則當u(t0)≤v(t0)=v0時u(t)≤v(t),t≥t0.

相反,當D-u≥g(t,u),t≥t0,ρ(t)是(A)式的最小解,則當u(t0)≥v0,有u(t)≥ρ(t),t≥t0.

2 主要結(jié)果

定理2.1假設：

(1)對給定的(λ1,A1):0<λ1

β1(‖Ex‖)≤V1(t,Ex)≤α1(‖Ex‖)

其中α1,β1∈K并且存在u*=a(t,x)∈Ω,使得：

D+V1≤g1(t,V1(t,Ex),x)；

(2)存在V2(t,Ex)滿足：

β2(‖Ex‖)≤V2(t,Ex)≤α2(‖Ex‖)

其中α2,β2∈K且：

D-V2≥g2(t,V2(t,Ex),x)

這里g1,g2∈C(R+×R+×Rn,R).

則比較系統(tǒng)(3)的解嚴格實用穩(wěn)定蘊含系統(tǒng)(2)的解嚴格實用穩(wěn)定.

證明系統(tǒng)(3)是嚴格實用穩(wěn)定的,即存在(λ1,A1):0<λ1β2(λ2)時,ω2(t)>α2(A2), 對所有的t≥t0成立.

只須證,當：

‖Ex0‖<λ1時,‖Ex(t)‖

(6)

假設不成立,即存在t1,t2,使得：‖Ex(t1)‖=λ1,‖Ex(t2)‖=A1,λ1≤‖Ex(t)‖≤A1,t∈[t1,t2].

由條件(1)可得：

β1(A1) =β1(‖Ex(t2)‖)≤V1(t2,Ex(t2))

≤r(t2,t1,ω(t1),x(t1),u*)

<β1(A1)

矛盾,所以(6)式成立；

另一方面,只須證明：

‖Ex0‖>λ2時,‖Ex(t)‖>A2

(7)

反證法,假設結(jié)論不成立,即當滿足‖Ex0‖>λ2時,存在t1使得：

‖Ex(t1)‖=A2,A2≤‖Ex(t)‖≤A1,t∈[t0,t1].

利用條件(2)和引理1.2得：

α2(A2) =α2(‖Ex(t1)‖)≥V2(t1,Ex(t1))

≥ρ(t1,t0,ω(t0),x0,u*)>α(A2)

矛盾,所以(7)式成立.故系統(tǒng)(2)的解是嚴格實用穩(wěn)定的.

類似地,可以得出如下定理.

定理2.2如果定理2.1中的條件(1),(2)都成立,且比較系統(tǒng)(3)嚴格一致實用漸近穩(wěn)定,則系統(tǒng)(2)的解是嚴格一致實用漸近穩(wěn)定的.

定理2.3假設：

(1)對給定的(λ1,A1):0<λ1

α1∈LK,β1∈K,V1(t,Ex),?(t,Ex)∈R+×S(ρ)

使得：

α1(t0,λ1)<β1(A1)

β1(‖Ex‖)≤V1(t,Ex)≤α1(t0,‖Ex‖)

并且存在u*=a(t,x)∈Ω使得D+V1≤0,t∈R+；

(2)存在V2(t,Ex),α2∈LK,β2∈K,使得：

β2(‖Ex‖)≤V2(t,Ex)≤α2(t0,‖Ex‖)

且滿足：

D-V2≥0,α2(t0,A2)<β2(λ2)

則稱系統(tǒng)(2)的解是嚴格實用穩(wěn)定的.

證明對給定的(λ1,A1):0<λ1≤A1<ρ,使得當：

‖Ex0‖<λ1時,‖Ex(t)‖

(8)

若結(jié)論不成立,即?t1,t2,使得當：

‖Ex(t1)‖=λ1,‖Ex(t2)‖=A1

λ1≤‖Ex(t)‖≤A1,t1≤t≤t2

時,由條件(1)得：

β1(A1) =β1(‖Ex(t2)‖)≤V1(t2,Ex(t2))

≤V1(t1,Ex(t1))≤α1(t1,Ex(t1))

≤α1(t0,λ1)

又因為：

α1(t0,λ1)<β1(A1)

矛盾,(8)式成立；

另一方面,只須證明對任何λ2<λ1,存在A2<λ2,使得當0

λ2<‖Ex0‖<λ1?A2<‖Ex(t)‖

(9)

若結(jié)論不成立,即存在t1,t2使得：

‖Ex(t2)‖=λ2,‖Ex(t1)‖=A2,

A2≤‖Ex(t)‖≤λ2,t0

由條件(2)可得：

α2(t0,A2) ≥α2(t1,A2)=α2(t1,‖Ex(t1)‖)

≥V2(t1,Ex(t1))≥V2(t2,Ex(t2))

>β2(λ2)

因為：

α2(t0,A2)<β2(λ2)

矛盾,因此(9)式成立.因此系統(tǒng)(2)的解是嚴格實用穩(wěn)定的.

推論2.1如果定理2.3中的α1(t0,‖Ex‖),α2(t0,‖Ex‖)分別用α1(‖Ex‖)和α2(‖Ex‖)來代替,其它條件不變, 則系統(tǒng)(2)的解是嚴格一致實用穩(wěn)定的.

推論2.1證明的過程類似定理2.3,詳細證明過程從略.

定理2.4假設：

(1)對給定的(λ,A):0<λ

(2)h0∈Γτ,h∈Γ且存在ψ∈LK使得：

(3)如果存在：

V1:R+×S(h,ρ)→R+,α1∈LK,β1∈K

使得當(t,x)∈R+×S(h,ρ)時,有：

D+V1(t,x)≤0

(4)如果存在：

V2:R+×S(h,ρ)→R+,α2∈LK,β2∈K

使得當(t,x)∈R+×S(h,ρ)時,有：

D-V2(t,x)≥0

(5)ψ(t0,λ)

設x(t,t0,φ)是系統(tǒng)(4)的解,由條件(3)可得：

β1(h(t,x)) ≤V1(t,x)≤V1(t0,φ)

≤α1(t0,λ)<β1(A)

(10)

所以,h(t,x)

≤α2(t0,h(t0,φ))≤α2(t0,B)

矛盾,所以h(t0,φ)>B.

≤V2(t1,x(t1))≤α2(t1,h(x(t1)))

≤α2(t1,B)≤α2(t0,B)<β2(η)

(11)

下面給出定理2.4的特殊情況.

下面引入比較系統(tǒng),通過借助比較系統(tǒng),研究非線性奇異時滯系統(tǒng)的嚴格實用穩(wěn)定性[7].

(12a)

(12b)

比較系統(tǒng)(12)嚴格實用穩(wěn)定性的定義與比較系統(tǒng)(3)類似,詳見文獻[8],此處省略.

定理2.5假設：

(1)對給定的(λ,A):0<λ

(2)h0∈Γτ,h∈Γ且存在ψ∈LK使得：

(3)如果存在：

V1:R+×S(h,ρ)→R+,α1∈LK,β1∈K

對任意的(t,x)∈R+×S(h,ρ)時,有：

和

D+V1(t,x)≤g1(t,V1(t,x))

(4)如果存在：

V2:R+×S(h,ρ)→R+,α2∈LK,β2∈K

對任意的(t,x)∈R+×S(h,ρ)時,有：

和

D-V2(t,x)≥g2(t,V2(t,x))

(5)ψ(t0,λ)

證明比較系統(tǒng)(12)嚴格實用穩(wěn)定,則對于給定的(λ,A),0<λ0使得u20>η時,有u2(t)>B,對所有的t≥t0成立.

r(t,t0,u1(t0))<β1(A),?t≥t0,

其中r(t,t0,u1(t0))是比較系統(tǒng)(12a)的最大解,由條件(3)及引理1.3可得：

V1(t,x(t))≤r(t,t0,u10),?t≥t0

β1(h(t,x))≤V1(t,x)≤r(t,t0,u10)<β1(A)

(13)

另一方面,對于任何η<λ存在B<η,使得當u20>β2(η)時,u2(t,t0)>α2(B),只須證明,

(14)

h(t1,x(t1))=B,h(t,x(t))>B(t0≤t

利用條件(4)和引理1.3得：

α2(B) =α2(h(t1,x(t1)))≥V2(t1,x(t1))

≥ρ(t1,t0,u2(t0))>α2(B)

定理2.6假設：

(1) 對給定的(λ,A):0<λ

(2)h0∈Γτ,h∈Γ且存在ψ∈LK使得：

(3) 如果存在V1(t,x),α1∈LK,β1∈K,對任意的(t,x)∈R+×S(h,ρ)有：

和

D+V1(t,x)≤g1(t,V1(t,x))；

(4) 如果存在V2(t,x),α2∈LK,β2∈K,對任意的(t,x)∈R+×S(h,ρ)有：

和

D-V2(t,x)≥g2(t,V2(t,x));

(5)ψ(t0,λ)

系統(tǒng)(12)是嚴格實用漸近穩(wěn)定的,也是嚴格吸引的,即給定β1(ε1)>0,對任意的：

α1(λ2)<α1(λ1), ?T1(t0,ε1),T2(t0,ε2),β1(ε2),β1(ε2)<α1(λ2)使得當β2(λ2)

u1(t,t0,u10) ≤u1(t,t0,α1(λ1))

<β1(ε1),t∈[t0+T1,t0+T2]

u2(t,t0,u20) ≥u2(t,t0,β2(λ2))

>α2(ε2),t∈[t0+T1,t0+T2]

即證：

ε2

h(t0,φ)<ε1,t∈[t0+T1,t0+T2]

由條件(2)得：

其中r(t,t0,u1(t0))是比較系統(tǒng)(12a)的最大解,由條件(3)及引理1.3可得：

V1(t,x(t))≤r(t,t0,u10),?t≥t0.

β1(h(t,x))≤V1(t,x)≤r(t,t0,u10)<β1(ε1)

另一方面,對于任何λ2<λ1,存在ε2<λ2,使得當u20>β2(λ2)時,u2(t,t0)>α2(ε2), 只須證明：

(15)

h(t1,x(t1))=ε2,h(t,x(t))>ε2(t0≤t

利用條件(4)和比較原理得：

α2(ε2) =α2(h(t1,x(t1)))≥V2(t1,x(t1))

≥ρ(t1,t0,u2(t0))>α2(ε2)

3 小結(jié)