基于余量諧波平衡的兩質(zhì)點動力學(xué)系統(tǒng)振動頻率與響應(yīng)分析*

國忠金 夏麗莉 張偉,3

(1.北京工業(yè)大學(xué) 機電學(xué)院, 北京 100124) (2.泰山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 泰安 271000)(3.機械結(jié)構(gòu)非線性振動與強度北京市重點實驗室, 北京 100124)

引言

非線性動力學(xué)與振動分析對機械、結(jié)構(gòu)等動力學(xué)問題研究是非常重要的,它能夠全面了解和準確預(yù)測系統(tǒng)運動特性.近年來, 雙自由度非線性振動系統(tǒng)的振動頻率與周期響應(yīng)已被廣泛研究[1-5].通常,尋求此類復(fù)雜方程的精確解析解是比較困難的.因此,多自由度振動系統(tǒng)的頻率、響應(yīng)分析主要集中在近似分析方法方面,諸如:攝動法[3,4]、MLP法[5]、同倫攝動[6]、同倫分析法[7,8]等.

諧波平衡法是不受小參數(shù)約束應(yīng)用最廣泛的定量分析方法.諸如:錢長照[9]運用諧波平衡法研究了含有單向離合器、兩滑輪及附件的輪-帶驅(qū)動系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)態(tài)周期響應(yīng). 楊榮剛等[10]基于諧波平衡法研究了擺線鋼球行星傳動系統(tǒng)的基頻穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及動態(tài)特性. 諧波平衡法對于一階近似解求解很方便, 但精度不高. 因此, 許多研究者將諧波平衡法進行了一些推廣, 發(fā)展了一些諸如增量諧波平衡[11]、攝動-增量[12]、諧波-能量平衡[13]、線性諧波平衡[14]、牛頓諧波平衡[15,16]、余量諧波平衡[17]、多層余量諧波平衡[18]等方法. 同倫[19]是拓撲理論的一個基本概念,用于描述兩個對象間的連續(xù)變化.因此,借鑒同倫思想,通過引入影射參數(shù),可將原始非線性問題擴展為一簇易于求解的問題.余量諧波平衡[17,18]通過引入階層參數(shù), 融合同倫思想到諧波平衡方法中, 繼而余量延拓,易獲得高階近似解.

本文針對兩類雙自由度質(zhì)點動力學(xué)運動系統(tǒng)構(gòu)建了其振動頻率、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解的余量諧波平衡解程序,得到系統(tǒng)的高階余量諧波平衡近似解頻率及響應(yīng)表達式,并與已有結(jié)果進行了比較分析.

1 動力學(xué)系統(tǒng)模型

1.1 兩質(zhì)點動力學(xué)系統(tǒng)

考慮如圖1所示, 運動在光滑平面上的兩質(zhì)點系統(tǒng)：

假定非線性恢復(fù)力函數(shù)為：

k1(x2-x1)+k2(x2-x1)3

振動系統(tǒng)的動能與勢能分別為：

(1)

其中,k1和k2分別為線性、非線性彈簧剛度系數(shù),x1和x2分別為兩等質(zhì)量質(zhì)點的位移函數(shù).

圖1 線性、非線性剛性連接的兩質(zhì)點動力學(xué)模型Fig.1 Two-mass dynamic model connected by linear and nonlinear stiffnesses

繼而運用歐拉-拉格朗日方程,可獲得運動在光滑平面上的兩質(zhì)點運動方程為[2,4]：

(2)

1.2 具有固定邊界的兩質(zhì)點動力學(xué)系統(tǒng)

考慮如圖2所示, 運動在光滑平面上且與線性和非線性彈簧連接的兩質(zhì)點系統(tǒng)：

圖2 具有固定邊界的兩質(zhì)點動力學(xué)模型Fig.2 Two-mass dynamic system connected with the fixed boundaries

類似于模型系統(tǒng)(2),此振動系統(tǒng)的動能和勢能分別為：

(3)

其中,k為線性彈簧剛度系數(shù).

同樣,運用歐拉-拉格朗日方程,可獲得具有固定邊界的兩質(zhì)點動力學(xué)系統(tǒng)為[2,4]：

(4)

2 基于余量諧波平衡的近似求解

假定ω是模型系統(tǒng)(4)的未知振動頻率,引入變量τ=ωt,得：

(5)

(6)

根據(jù)文獻[3],引入如下變量：

u=x1,v=x2-x1

(7)

方程(5),(6)變?yōu)椋?/p>

mω2u″+ku-k1v-k2v3=0

(8)

mω2(u″+v″)+k(u+v)+k1v+k2v3=0

(9)

且：

u(0)=x10,u′(0)=0,v(0)=x20-x10,v′(0)=0

(10)

將上述三式整理可得：

mω2v″+(k+2k1)v+2k2v3=0

(11)

v(0)=x20-x10A,v′(0)=0

(12)

基于方程(11)的對稱性,其周期解具有如下基本解級數(shù)形式：

{cos[(2k+1)τ|k=0,1,2,…}

(13)

為方便計算,引入階層參數(shù)p,并將系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下解響應(yīng)及振動頻率設(shè)為：

v(τ)=v0(τ)+pv1(τ)+p2v2(τ)+…

(14)

其中ωi(i=0,1,2,…)為未知頻率.

2.1 初始諧波近似

根據(jù)方程(11)與初始條件(12),初始諧波解設(shè)為如下形式：

v0(τ)=Acos(τ),τ=ω0t

(15)

將(15)代入(11)式,得初始余量項：

(16)

根據(jù)伽遼金法,消除久期項,易獲得初始諧波近似頻率及周期響應(yīng)為：

v0(τ)=Acos(ω0t)

(17)

上述近似公式與振幅-頻率公式[4]結(jié)果一致.

2.2 1-階余量諧波近似

將初始近似(17)代入余量項(16)時,cos(3τ)系數(shù)非零.因此,我們將(14)代入(11)合并階層參數(shù)p的一次系數(shù),得：

(18)

式(18)為關(guān)于未知ω1和v1(τ)的線性方程,根據(jù)周期解級數(shù)形式(13)及初始條件,假定：

v1(τ)=a11[cos(τ)-cos(3τ)]

(19)

將(19)代入(18)式,并消除初始余量項,得：

R1(τ) =Γ1(τ)+R0(τ)

(20)

將初始余量項引入(20)式,提高解的精確性.

根據(jù)伽遼金法,消除久期項,解cos(τ)和cos(3τ)的系數(shù)方程得1-階余量諧波近似為:

v(1)(τ) =v(0)(τ)+v1(τ)

=(A+a11)cos(τ)-a11cos(3τ),

τ=ω(1)t

(21)

2.3 2-階余量諧波近似

將1-階余量諧波近似(21)代入余量項(20)時,cos(5τ)系數(shù)非零. 因此,我們將(14)代入(11)合并階層參數(shù)p的2次系數(shù),得：

(22)

式子(22)為關(guān)于未知ω2和v2(τ)的線性方程,根據(jù)周期解級數(shù)形式(3)及初始條件,假定：

v2(τ)=a21[cos(τ)-cos(3τ)]+

a22[cos(τ)-cos(5τ)]

(23)

將(23)代入(22)式,并消除1-階余量項,得：

R2(τ) =Γ2(τ)+R1(τ)

(24)

根據(jù)伽遼金法,消除久期項,我們解cos(τ),cos(3τ)和cos(5τ)的系數(shù)方程得2-階余量諧波近似為：

v(2)(τ) =v(0)(τ)+v1(τ)+v2(τ)

=(A+a11+a21+a22)cos(τ)-

(a11+a21)cos(3τ)-a22cos(5τ),

τ=ω(1)t

(25)

2.4 高階余量諧波近似

類似于上述求解過程.一般地,k-階余量諧波近似：

v(k)(τ)=v(k-1)(τ)+vk(τ),

v(k-1)(τ)=v(k-2)(τ)+vk-1(τ),

v(0)=Acos(τ),ω(0)=ω0,k=2,3,4,….

(26)

2.5 穩(wěn)態(tài)下的高階近似響應(yīng)

一方面,將方程(5),(6)相加得：

(27)

令ρ(t)=x1(t)+x2(t),方程(27)變?yōu)橐粋€二階線性微分方程：

(28)

初值條件為：

(29)

其解為：

ρ

(30)

另一方面,根據(jù)上述余量諧波平衡解程序,已獲得變量v(t)的各階近似響應(yīng).如：2-階余量諧波平衡解為：

x1-x2=(x10-x20)cos(ω(2)t)+a11[cos(ω(2)t)-

cos(3ω(2)t)]+a21[cos(ω(2)t)-

cos(3ω(2)t)]+a22[cos(ω(2)t)-

cos(5ω(2)t)]

(31)

由(30),(31)得模型(4)的2-階近似響應(yīng)為：

(32)

(33)

同樣地,模型系統(tǒng)(2)及(4)的高階近似響應(yīng)易由(26),(30)～(33)獲得.

3 結(jié)果分析及討論

本部分結(jié)合實例分析,圖解了模型系統(tǒng)(2)、(4)的各階余量諧波平衡解頻率以及與已有文獻的結(jié)果比較.系統(tǒng)(4)的精確解頻率[4,15]為:

(34)

針對系統(tǒng)(2)、(4),表1～2給出了各階近似余量諧波平衡解頻率及本文2-階余量諧波近似結(jié)果與已有文獻結(jié)果的比較. 其中相對誤差定義為

(35)

從表1a和2a可以看出,模型系統(tǒng)(2)和(4)在穩(wěn)態(tài)下的近似解與精確頻率的誤差隨著余量諧波平衡解階數(shù)的增大而大大減小,這表明余量諧波平衡解程序的收斂性.本文給出的2階近似振動頻率結(jié)果與已有文獻相比:本文的結(jié)果比改進的振幅-頻率公式[4],初始同倫分析解[8],Pade同倫近似[8],3-階線性諧波平衡解[14],3-階牛頓諧波平衡解[15]等在各類參數(shù)下結(jié)果更加精確,與精確解的相對誤差已降低.諸如,對于系統(tǒng)(2),在參數(shù)m=10,k1=50,k2=-0.01,x10=-20,x20=40下,上述文獻方法的解相對誤差依次為3.14%,2.93%,0.13%, 0.019%, 0.018%,本文的2階-余量諧波平衡解頻率與精確解間相對誤差為：0.14%.對于系統(tǒng)(4),在參數(shù)m=10,k=50,k1=70,k2=90,x10=20,x20=-40下,上述文獻方法的解相對誤差依次為2.22%, 2.22%, 0.068%, 0.008%, 0.0071%, 本文的2階-余量諧波平衡解頻率與精確解的相對誤差為：-0.0057%.

表1a 模型系統(tǒng)(2)的各階余量諧波平衡解頻率Table 1a Various-orders residue harmonic balance solution frequencies of model system (2)

表1b 模型系統(tǒng)(2)的近似解頻率結(jié)果比較Table 1b Comparisons of approximate frequency for model system (2)

表2a 模型系統(tǒng)(4)的各階余量諧波平衡解頻率Table 2a Various-orders residue harmonic balance solution frequencies of model system (4)

表2b 模型系統(tǒng)(4)的近似解頻率結(jié)果比較Table 2b Comparisons of approximate frequency for model system (4)

為進一步圖解本文獲得響應(yīng)的有效性,圖3～5分別顯示了系統(tǒng)(2)和(4)在不同參數(shù)下系統(tǒng)的時域振幅曲線比較.

圖3在系統(tǒng)(2)參數(shù)m=5,k1=10,k2=10,x10=20,x20=30下的近似解析響應(yīng)為：

x1(t)=25-4.7796cos(ω(2)t)-0.2117cos(3ω(2)t)-

0.0087cos(5ω(2)t),ω(2)=17.0663,

x2(t)=25+4.7796cos(ω(2)t)+0.2117cos(3ω(2)t)+

0.0087cos(5ω(2)t),ω(2)=17.0663.

圖4在系統(tǒng)(4)參數(shù)m=1,k=1,k1=1,k2=1,x10=5,x20=1下的近似解析響應(yīng)為：

x1(t)=3cos(t)+1.9129cos(ω(2)t)+

0.0837cos(3ω(2)t)+0.0034cos(5ω(2)t),ω(2)=10.8684,

x2(t)=3cos(t)-1.9129cos(ω(2)t)-

0.0837cos(3ω(2)t)-0.0034cos(5ω(2)t),ω(2)=10.8684.

圖5在系統(tǒng)(4)參數(shù)m=50,k=1,k1=1,k2=1,x10=10,x20=5下的近似解析響應(yīng)為：

圖3a 解析近似響應(yīng)x1(t)與數(shù)值解比較, 當m=5,k1=10,k2=10,x10=20,x20=30Fig.3a Comparison of analytical solution x1(t) with the numerical one for case m=5,k1=10,k2=10,x10=20,x20=30

圖3b 解析近似響應(yīng)x2(t)與數(shù)值解比較, 當m=5,k1=10,k2=10,x10=20,x20=30.Fig.3b Comparison of analytical approximate solution x2(t) with the numerical one for the case m=5,k1=10,k2=10,x10=20,x20=30

圖4a 解析近似響應(yīng)x1(t)與數(shù)值解比較, 當m=1,k=1,k1=1,k2=1,x10=5,x20=1Fig.4a Comparison of analytical approximate solution x1(t) with the numerical one for the case m=1,k=1,k1=1,k2=1,x10=5,x20=1

圖4b 解析近似響應(yīng)x2(t)與數(shù)值解比較, 當m=1,k=1,k1=1,k2=1,x10=5,x20=1Fig.4b Comparison of analytical approximate solution x2(t) with the numerical one for the case m=1,k=1,k1=1,k2=1,x10=5,x20=1

圖5a 解析近似響應(yīng)x1(t)與數(shù)值解比較, 當m=50,k=1,k1=1,k2=1,x10=10,x20=5Fig.5a Comparison of analytical approximated solution x1(t) with the numerical one for the case m=50,k=1,k1=1,k2=1,x10=10,x20=5

圖5b 解析近似響應(yīng)x2(t)與數(shù)值解比較, 當m=50,k=1,k1=1,k2=1,x10=10,x20=5Fig.5b Comparison of analytical approximate solution x2(t) with the numerical one for the case m=50,k=1,k1=1,k2=1,x10=10,x20=5

0.0990cos(3ω(2)t)+0.0038cos(5ω(2)t),ω(2)=0.883305,

0.0990cos(3ω(2)t)-0.0038cos(5ω(2)t),ω(2)=0.883305.

從圖3～5不難看出,本文給出的近似響應(yīng)與數(shù)值解在系統(tǒng)(2)、(4)不同參數(shù)下都吻合得相當好.

4 結(jié)論

基于諧波平衡,通過融合同倫思想優(yōu)勢,構(gòu)建了不含小參數(shù),適用于求解雙自由度非線性兩質(zhì)點振動系統(tǒng)的高階近似余量諧波平衡解程序.不同于線性諧波平衡與牛頓諧波平衡方法,本文解程序在每一階近似中均消除了上一階的諧波余量,高階振動頻率近似表達僅需初始諧波近似,不需根據(jù)前一階近似進行調(diào)整.理論上,任何精度的高階近似均能依次獲得.相應(yīng)地,系統(tǒng)的高階近似響應(yīng)表達易通過求解、整合獲得.結(jié)果顯示,本文獲得2-階余量諧波平衡近似振動頻率比已有的在改進振幅-頻率公式法、初始同倫分析法、3-階線性諧波平衡法、3-階牛頓諧波平衡法等方面更加精確,與精確解的相對誤差在不同參數(shù)下均降低了.相應(yīng)地,本文獲得的2-階解析近似響應(yīng)與數(shù)值解吻合得相當好.