復(fù)合材料細(xì)長(zhǎng)柱受沖擊荷載動(dòng)力屈曲研究*

汪永軍 張渲鈴 李映輝

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院, 成都 610031)

引言

在對(duì)結(jié)構(gòu)承受軸向沖擊荷載作用的研究中,Koning和Taub[1]對(duì)兩端簡(jiǎn)支,具有初始彎曲度的桿受軸向沖擊荷載作用進(jìn)行了研究,討論了軸向沖擊荷載小于、等于及大于靜態(tài)歐拉荷載三種情況結(jié)構(gòu)屈曲.Ari-Gur等[2]通過實(shí)驗(yàn)與理論分析,研究了軸向沖擊荷載作用下金屬材料柱的動(dòng)力學(xué)響應(yīng),利用Rayleigh梁理論對(duì)具有初始幾何缺陷柱進(jìn)行建模,用有限差分法對(duì)系統(tǒng)求解.Hayashi和Sano[3,4]研究了低速與高速?zèng)_擊下,兩端鉸支且初始處于彎曲狀態(tài)下柱的動(dòng)力屈曲問題.Ji和Waas[5]研究了軸向沖擊荷載作用下細(xì)長(zhǎng)柱的動(dòng)力屈曲,文章引入了臨界動(dòng)力屈曲時(shí)間.

楊毅等[6]在傳統(tǒng)解析法的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)了位移形式的傳遞函數(shù)矩陣,研究了圓柱殼自由振動(dòng)特性.王宇等[7]基于薄殼理論,研究了薄壁圓柱殼的高階模態(tài)振動(dòng)特性.Krishnamurthy等[8]用有限元法研究了金屬?zèng)_擊塊沖擊下,復(fù)合材料圓柱殼的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)及殘余損傷.Her和Liang[9]采用有限元法研究了復(fù)合材料殼在軸向低速?zèng)_擊下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng).Zhao和Cho[10]研究了低速?zèng)_擊下復(fù)合材料殼損傷的產(chǎn)生與傳播,用八節(jié)點(diǎn)非協(xié)調(diào)單元分析了層間應(yīng)力及漸進(jìn)失效機(jī)理.

目前,對(duì)復(fù)合材料柱在軸向沖擊荷載作用下的動(dòng)力屈曲問題研究較少,且在已有研究,多采用實(shí)驗(yàn)與數(shù)值分析相結(jié)合的方法.本文將基于單層本構(gòu)關(guān)系,建立復(fù)合材料柱在軸向沖擊荷載下的軸向及橫向耦合振動(dòng)方程,用Laplace變換求解結(jié)構(gòu)軸向振動(dòng)方程,得到結(jié)構(gòu)軸向運(yùn)動(dòng)的解析解.將上述解析解代入橫向振動(dòng)方程,用Galerkin法求解結(jié)構(gòu)橫向振動(dòng)方程,分析沖擊過程中各參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力屈曲時(shí)間的影響.

1 軸向沖擊荷載下復(fù)合材料細(xì)長(zhǎng)柱動(dòng)力學(xué)控制方程

1.1 軸向沖擊荷載下復(fù)合材料細(xì)長(zhǎng)柱動(dòng)力學(xué)模型

圖1為坐標(biāo)系x-y-z中,軸向沖擊荷載下復(fù)合材料細(xì)長(zhǎng)柱模型,下端與基礎(chǔ)剛性固定連接,上端為滑動(dòng)鉸支座.其中柱長(zhǎng)L,截面半徑R,鋪層數(shù)n.第i層材料密度ρi(i=1,2, … ,n),第i厚度hi=ri-ri-1,ri為第i層半徑.

1.2 軸向沖擊荷載下復(fù)合材料細(xì)長(zhǎng)柱的運(yùn)動(dòng)平衡方程

對(duì)軸向沖擊荷載下復(fù)合材料細(xì)長(zhǎng)柱作如下假設(shè)：(1)結(jié)構(gòu)變形處于線彈性狀態(tài)；(2)不考慮變形過程中截面的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)；(3)截面變形滿足平截面假設(shè)；(4)層間位移連續(xù).

圖1 復(fù)合材料細(xì)長(zhǎng)柱及截面圖Fig.1 Composite slender column and its cross section

1.2.1單層材料本構(gòu)關(guān)系

圖2給出了材料纖維角示意圖,θ為纖維方向角,表示從x軸轉(zhuǎn)向1軸的角度,以逆時(shí)針為正.其中x軸為整體坐標(biāo)系方向,1方向?yàn)槔w維方向.

圖2 材料纖維角Fig.2 Fiber angle of material

單層材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為[11]

(1)

Q22sin4θ

Q12(sin4θ+cos4θ)

Q22cos4θ

2Q66)sin3θcosθ

2Q66)sinθcos3θ

Q66(sin4θ+cos4θ)

(2)

式中,Q11=E1/(1-ν12ν21),Q22=E2/(1-ν12ν21),Q12=ν21E2/(1-ν12ν21),Q66=G12.其中,E1,E2為復(fù)合材料主方向彈性模量,G12為剪切模量,ν1,ν21為泊松比.

1.2.2內(nèi)力計(jì)算

由Kirchhoff基本假定,幾何關(guān)系為：

ε=ε0+zK

(3)

式中,ε0=(εx0,εy0,εz0)T,εx0=u,x,εy0=v,y,γxy0=u,y+v,x；εx0,εy0及γxy0為中面應(yīng)變,u,v及w分別表示層合梁中面在x,y及z方向上的位移.K=(Kx,Ky,Kxy)T,Kx=-w,xx,Ky=-wyy,Kxy=-2w,xy, 其中Kx,Ky表示中面彎曲撓曲率,Kxy表示中面扭曲率.

截面內(nèi)力為：

(4)

式中N=(Nx,Ny,Nxy)T.將式(3)代入(4)得：

N=Aε0

(5)

僅考慮x-z平面內(nèi)振動(dòng),有：

(6)

截面內(nèi)力矩為：

(7)

可得：

(8)

1.2.3運(yùn)動(dòng)方程

取微段dx作為研究對(duì)象,受力如圖3.

圖3 微元體受力Fig.3 Deformation of an element

由D′Alembert原理得：

(9)

(10)

1.2.4初始及邊界條件

對(duì)圖1所示受沖擊荷載柱軸向初始條件及邊界條件為：

(11)

u(0,t)=0

(12)

其中,V為質(zhì)量塊與鉸支端接觸時(shí)的速度,M為沖擊質(zhì)量.

橫向初始條件及邊界條件為：

(13)

(14)

2 軸向沖擊荷載下復(fù)合材料細(xì)長(zhǎng)柱響應(yīng)

2.1 方程求解

2.1.1軸向運(yùn)動(dòng)解

對(duì)式(9)進(jìn)行Laplace變換,并考慮初始邊界條件式(11)得：

(15)

(16)

對(duì)邊界條件式(12)進(jìn)行Laplace變換可得：

(17)

方程(15)的通解可表示為：

U(x,s)=c1e(s/c)x+c2e-(s/c)x+

(18)

由于0≤x≤L時(shí),其特解恒為零.將式(17)代入得：

c2=-c1

(19)

對(duì)c1進(jìn)行Taylor展開得：

(20)

將式(19)～(20)代入(18)整理得：

(21)

對(duì)式(26)進(jìn)行Laplace逆變換,得軸向位移解析式為：

(22)

其中,fi(x,t)(i=1,2,3,…,I)為L(zhǎng)aplace逆變換后的系數(shù)函數(shù),其表達(dá)式見附錄.

2.1.2橫向運(yùn)動(dòng)求解

(23)

其中,κ2=C22/C11,β4=C33/C22.

設(shè)上式解為：

w*(x,t)=eiΩtW(x)

(24)

其中,i為虛數(shù)單位,Ω為固有頻率.將式(24)代入(23)可得：

(25)

其中,W(x)為滿足邊界條件的模態(tài)函數(shù),設(shè)：

(26)

其中,ci為待定常數(shù),N為特征函數(shù)個(gè)數(shù),Wi為滿足邊界條件的特征函數(shù),可取為：

Wi(x)= (cosβix-coshβix)-

(27)

其中,βiL≈(4i+1)π/4.

將式(26)～(27)代入式(25),可得到殘差F(x),由Galerkin法：

(28)

可得：

(K+P)c=Ω2Mc

(29)

(30)

(31)

(32)

由ci(i=1,2,3,…J)不全為零得：

|K+P-Ω2M|=0

(33)

因P隨時(shí)間變化,由式(33)可得Ω也隨時(shí)間變化.當(dāng)Ω為實(shí)數(shù)時(shí),式(24)有界；當(dāng)Ω變?yōu)閺?fù)數(shù)且具有負(fù)虛部時(shí),式(24)會(huì)隨著時(shí)間的增加趨向無窮,此時(shí)動(dòng)力曲屈發(fā)生.結(jié)構(gòu)首次發(fā)生動(dòng)力屈曲所對(duì)應(yīng)的時(shí)間即為臨界動(dòng)力屈曲時(shí)間.

沖擊塊與結(jié)構(gòu)的接觸時(shí)間可通過式(22)確定.當(dāng)沖擊塊與柱分離時(shí),柱頂端(x=L)處對(duì)應(yīng)的軸向邊界條件為：

(34)

通過上式可得沖擊塊與結(jié)構(gòu)的接觸時(shí)間.

2.2 數(shù)值計(jì)算與討論

本節(jié)通過數(shù)值方法,研究在不同沖擊質(zhì)量、沖擊速度,纖維方向角對(duì)復(fù)合材料柱動(dòng)力屈曲時(shí)間及沖擊塊與結(jié)構(gòu)接觸時(shí)間的影響.計(jì)算中復(fù)合材料柱模型為對(duì)稱鋪層,鋪層數(shù)量為4,材料參數(shù)如表1,纖維方向角為θ=(-80°/80°)s,M/m0=0.1,m0為柱的質(zhì)量,L=0.9m,R=0.005m,V=1.5m/s.

表1 材料常數(shù)Table 1 Material parameters

下述計(jì)算過程中,若未特殊說明,所選參數(shù)如上所述.

2.2.1收斂性

式(22)所取項(xiàng)數(shù)I和式(26)所取特征函數(shù)個(gè)數(shù)J都對(duì)精度產(chǎn)生影響.表2給出t*=0.0002s,J=32時(shí),不同I對(duì)前4階頻率影響；表3給出了在t*=0.0002s,I=6時(shí),不同J對(duì)前4階頻率影響.可見,當(dāng)I=6,J=32時(shí),各階頻率趨于穩(wěn)定.下述計(jì)算章節(jié)取I=6,I=32.

表2 橫向振動(dòng)頻率隨I變化(J=32)Table 2 Transverse frequencies with the variation of I(J=32)

表3 橫向振動(dòng)頻率隨J變化(I=6)Table 3 Transverse frequencies with the variation of J(I=6)

2.2.2沖擊質(zhì)量影響

圖4給出了沖擊質(zhì)量對(duì)動(dòng)力屈曲時(shí)間與接觸時(shí)間的影響.隨著沖擊質(zhì)量增加,結(jié)構(gòu)軸向沖擊力增大,導(dǎo)致橫向剛度減小,所以動(dòng)力屈曲時(shí)間減?。唤佑|時(shí)間隨著沖擊質(zhì)量的增加而增加,兩者之間呈線性關(guān)系.當(dāng)沖擊質(zhì)量小于0.15m0時(shí),在當(dāng)前所給參數(shù)情況下,結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)屈曲時(shí)間不存在,即結(jié)構(gòu)不會(huì)出現(xiàn)動(dòng)力屈曲.

圖4 動(dòng)力屈曲時(shí)間與接觸時(shí)間隨沖擊質(zhì)量變化Fig.4 Dynamic buckling time and contact duration with the variation of impact mass

2.2.3沖擊速度影響

圖5給出了動(dòng)力屈曲時(shí)間與接觸時(shí)間隨沖擊速度變化.當(dāng)沖擊速度V增加,結(jié)構(gòu)軸向沖擊力增大,導(dǎo)致橫向剛度減小,所以動(dòng)力屈曲時(shí)間減?。划?dāng)沖擊速度小于2m/s時(shí),在當(dāng)前所給參數(shù)情況下,其屈曲時(shí)間不存在,即不會(huì)出現(xiàn)動(dòng)態(tài)屈曲,而沖擊速度與接觸時(shí)間無關(guān).

圖5 動(dòng)力屈曲時(shí)間與接觸時(shí)間隨沖擊速度變化Fig.5 Dynamic buckling time and contact duration with the variation of impact velocity

2.2.4鋪層角影響

圖6給出了動(dòng)力屈曲時(shí)間與接觸時(shí)間隨復(fù)合材料鋪層角變化.隨著鋪層角度增加,結(jié)構(gòu)橫向剛度減小,動(dòng)力屈曲時(shí)間降低；且當(dāng)鋪層角大于80時(shí),結(jié)構(gòu)橫向剛度變化很小,所以在質(zhì)量與速度一定的情況下,結(jié)構(gòu)動(dòng)力屈曲時(shí)間變化不大；鋪層角對(duì)沖擊質(zhì)量塊與結(jié)構(gòu)接觸時(shí)間無影響.

圖6 動(dòng)力屈曲時(shí)間與接觸時(shí)間隨鋪層角變化Fig.6 Dynamic buckling time and contact duration with the variation of fiber angle

3 結(jié)論

研究了軸向沖擊荷載作用下復(fù)合材料柱的動(dòng)力屈曲特性,討論了沖擊質(zhì)量、速度,纖維方向角對(duì)動(dòng)力屈曲時(shí)間及沖擊塊與結(jié)構(gòu)接觸時(shí)間的影響,可得出如下結(jié)論：

(1)隨著沖擊質(zhì)量、沖擊速度,復(fù)合材料纖維方向角的增大,結(jié)構(gòu)橫向剛度都將減小,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動(dòng)力屈曲時(shí)間減小.

(2)沖擊速度,鋪層角對(duì)質(zhì)量塊與結(jié)構(gòu)的接觸時(shí)間無影響.

(3)增大沖擊質(zhì)量將增加質(zhì)量塊與結(jié)構(gòu)接觸時(shí)間,兩者呈線性關(guān)系.