水平懸鏈線中點集中力作用下的非線性分析及計算

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(1.湘潭大學 土木工程與力學學院，湘潭 411105；2.長沙礦冶研究院 深海礦產(chǎn)資源開發(fā)利用技術(shù)國家重點實驗室,長沙 410012)

1 引 言

懸鏈線數(shù)學解在工程領域應用廣泛，魏建東等[1]采用兩節(jié)點懸鏈線單元，以確定連續(xù)滑移索的平衡位置。杜敬利等[2]采用基于懸鏈線的柔索靜力學模型定位機械人的靜態(tài)平衡位置，但對于初始平衡態(tài)增量過渡到最終平衡態(tài)的路徑依賴未予詳細說明。文獻[3-5]分別從不同的角度探討了懸鏈線理論在相關工程領域的應用。楊孟剛等[6]采用兩節(jié)點懸鏈線索元對集中力作用下的柔索結(jié)構(gòu)進行了非線性有限元分析計算。秦劍等[7]基于懸鏈線理論對分段懸索結(jié)構(gòu)進行找形計算，但找形計算中的初始構(gòu)型采用拋物線逼近，故找形結(jié)果只適宜于小垂度的情形?？登f等[8]采用懸鏈線和大變形梁理論建立了模擬J型鋪設管線的分段力學模型。毛東風等[9]采用大擾度梁理論、Pasternak地基模型和懸鏈線理論,借助ABAQUS模擬了深水管道棄置回收過程的力學行為，屬于典型的工程應用。張卓杰等[10]在懸鏈線的求解中，選取左邊界的斜率即廣義傾角α的映射作為初始試探值，反復迭算求得懸鏈線的解答，但計算過程過于迂回。馮海暴[11]采用懸鏈線理論對35 m作業(yè)水深的鋪排管線進行了力學分析，但采用的方程要求廣義傾角α=0，很難適用于流體動力的變化。黃新波等[12]利用Ansys軟件進行了索結(jié)構(gòu)的找形分析，表明有限元軟件的找形分析結(jié)果可以與懸鏈線理論相匹配。

綜上，學者對于懸鏈線進行了一系列研究[3-5,13-15]，體現(xiàn)了懸鏈線解的廣泛應用價值，也表明懸鏈線的理論求解有待完善。關于懸鏈線任意位置作用集中載荷的力學行為，概念上可采用脈沖函數(shù)[13]來建立相關的數(shù)學方程進行分析。目前對于集中力作用下懸鏈線的力學數(shù)學行為研究較少。

左右兩端的垂直坐標不相等，兩端點的連線是一條傾斜直線。懸鏈線左右兩端的垂直坐標相等，兩端點的連線是一條水平直線，該邊界約束情況稱為兩端水平約束，此時均布對稱載荷作用下懸鏈線具有對稱性；在兩端水平懸鏈線中點作用垂向集中力，懸鏈線分析便具有了雙重對稱性，即水平幾何約束的對稱性和力作用位置的對稱性。在雙重對稱性下懸鏈線的分析是幾何約束不對稱與集中力作用位置不對稱一般問題分析的特異，其解可以說是懸鏈線非對稱性情形下非線性超越方程的特殊解或奇異解。

2 分布力作用下單索懸鏈線理論

分布力作用下單索懸鏈線的理論是集中力與分布力同時作用的基礎。該理論采用兩個前提[14],一是懸鏈線僅承受張拉，任意截面不具備抗彎能力，即抗彎能力可假設為0；二是懸鏈線受作用力時長度保持不變，即懸鏈線不可拉伸。

對于僅受垂向集中力作用下的結(jié)構(gòu)，其任意截面水平方向合力處處相等。柔索在均布垂直荷載q作用下任意撓度的懸鏈線解為[14]

(1)

式中h為沿懸鏈線不變的水平張力，α為左邊界a處斜率的廣義傾角，邊界處a的斜率為shα；xa和ya分別為懸鏈線左端點a處的橫坐標和縱坐標，sh為雙曲正弦函數(shù)，ch為雙曲余弦函數(shù)。線均布載荷q的單位為N/m，張力的單位為N。

懸鏈線右端點b處的坐標為[xb，yb]。令l=xb-xa，表示懸鏈線左右兩端的相對水平距離(簡稱水平距離)，c=yb-ya表示懸鏈線左右兩端的相對垂直距離(簡稱垂直距離)。y軸向上為正，x軸向右為正。

式(1)中高度綁定的表達式h/q具有本質(zhì)含義，表示懸鏈線內(nèi)在的曲率半徑r，因而定義曲率半徑r或曲率直徑D為

r=h/q,D=2r=2h/q

(2)

曲率半徑r是懸鏈線至關重要的參數(shù)，形式上表示單位線均布載荷產(chǎn)生的水平張力。懸鏈線在水平距離l變動時存在一個不能逾越的極限水平距離d(簡稱極限距離)，計算式為

(3)

極限距離d對應的線是一條直線，是懸鏈線的水平距離l無限逼近d時懸鏈線的漸近線，簡稱極限漸近線。

定義無量綱參數(shù)b為

(4)

無量綱參數(shù)b的倒數(shù)等于水平距離l與水平極限距離d之比，為位于區(qū)間(0,1)的正小數(shù)。無量綱參數(shù)b越小，曲率半徑r越大，且b無限接近于1時，曲率半徑r趨于無窮大，懸鏈線越逼近懸鏈線的極限漸近線即越逼近直線；無量綱參數(shù)b越大，曲率半徑r越小，且水平距離l越接近于0，曲率半徑r趨于0。

定義無量綱參數(shù)β為

(5)

無量綱參數(shù)β正比于曲率，β越大，懸鏈線彎曲得越厲害，水平張力越小。無量綱參數(shù)β的倒數(shù)z=D/l=2h/ql正比于單位均布載荷單位水平距離對應的水平張力，可稱為相對水平張力。

不失一般性，將坐標系放置于左端點a處，利用式(1，2)，可得從起點到任意位置x處的索長度為

(6)

定義廣義傾角θ為

θ=α+β

(7)

根據(jù)雙曲正弦、雙曲余弦函數(shù)和差化積公式以及式(2，5)，懸鏈線y坐標和索長度的計算公式可以寫為

y(x)=Dsh(x/D+α)shβ

(8)

s(x)=Dch(x/D+α)shβ

(9)

利用邊界約束條件c=y(l)和s=s(l)與式(5，7)，由式(8，9)可知，廣義傾角θ的計算式為

(10)

廣義傾角θ與水平距離l無直接關系，是c和s之比的反雙曲正切函數(shù)。當水平距離l趨于水平極限距離d時，廣義傾角θ趨于α。根據(jù)雙曲函數(shù)的性質(zhì)和式(10)，廣義傾角θ存在以下關系式，

(11)

式(11)可視為懸鏈線在極限距離斜率的幾何映射關系。其中th為雙曲正切函數(shù)，cth為雙曲余切函數(shù)。將式(5，10)引入式(7)得到廣義傾角α的計算公式為

將邊界約束條件c=y(l)和s=s(l)分別代入式(8，9)，并利用表達式(2,5)，經(jīng)運算簡化得到隱含水平張力的非線性超越方程為

(12)

式(12)是本質(zhì)一致表達方式不同的方程，表示懸鏈線總體的剛性平衡關系。根據(jù)方程sh(l/D)=d/D可求出懸鏈線曲率直徑D=2r依賴于雙參數(shù)l和d的離散數(shù)值關系。而從方程sh(β)=bβ可求出廣義傾角β與b=d/l的單參數(shù)依賴關系。無論是單參還是雙參依賴關系，在l

3 懸鏈線上下邊界的約束反力

根據(jù)雙曲函數(shù)的性質(zhì)和式(5，12)，關于無量綱參數(shù)β存在關系式：

(13)

式(13)可視為懸鏈線段兩點邊界約束的靜力平衡關系，其中p的計算公式為

(14)

即p2=d2+D2，而極限距離d是水平距離l的上限，曲率直徑D是特定懸鏈線所有曲率直徑的下限，兩者是懸鏈線潛在的特征量。

索中張力的垂直分量V[14] 為

V=h(dy/dx)=hsh[(α+(q/h)(x-xa)]

(15)

雙曲正弦函數(shù)shx可正可負，從而垂直分量V也可正可負。式(15)索中張力的垂直分量V是左區(qū)域索右邊界上的受力，是沿弧長方向張力T的y向投影，斜率向下時其值為負，斜率向上時其值為正。

利用式(11～15)以及雙曲正弦、雙曲余弦的和差展開公式，在左端邊界x=xa處的約束反力垂直分量Va和在右端邊界x=xb處的約束反力垂直分量Vb可寫為

(16)

式(16)避免了復雜的雙曲函數(shù)，便于懸鏈線理論的深入應用。

4 懸鏈線最低點的坐標與水平張力的顯式解

懸鏈線最低點[xmin，ymin]是懸鏈線斜率為0的點，該點張力T最小，張力T的垂直分量V=0，根據(jù)式(15)，xmin位置關于xa的偏移x0=xmin-xa為

(17)

利用式(1，11～13，17)，可得懸鏈線最低點到兩端點較小值的距離f為

(18)

對于兩端水平懸鏈線，c=0時，d=s，從式(18)可得到懸鏈線的垂度f，懸鏈線最低點位于區(qū)間的中點。

(19)

若令懸鏈線的弧長為2s，式(19)的垂度f改為垂直距離c，則從式(19)可以反解出水平張力關于弧長s和垂度c的顯式表達為

hc=(q/2)(s2-c2)/c

(20)

式(20)也可以從臨界邊界條件廣義傾角α=0和方程(7，12)導出，表示懸鏈線臨界情形下，兩點邊值問題水平張力h的顯式解答。

5 集中力作用水平懸鏈線對稱性位置的力學特性

水平懸鏈線是懸鏈線左右兩端連線為水平直線的懸鏈線，在其整個索長的中點作用垂直方向的集中力。不失一般性,本文考慮垂向集中力向下的情形。這是一個雙重對稱性問題，即幾何約束對稱和集中力作用位置對稱。

根據(jù)對稱性可將水平懸鏈線分解為兩個左右對稱的懸鏈線進行分段處理，集中力作用點作為特殊點，一方面用于保持左右兩邊懸鏈線函數(shù)點的連續(xù)，另一方面分離出提供力的平衡方程。

為公式簡潔起見，令原水平懸鏈線中點向下作用的垂向集中力為2W。取右邊懸鏈線為研究對象。根據(jù)對稱性，2W垂向集中力分配給左右兩邊懸鏈線相鄰端點各1W的集中力。右邊懸鏈線的相對水平距離為l，索長為s；整個懸鏈線的索長為2s，水平距離為2l。水平距離l在雙重對稱性問題中是保持不變的已知量，索長s原本對應未加集中力時整個懸鏈線的中點，也是已知量。如圖1所示。

在垂向集中力的作用下，右邊懸鏈線左端點即集中力作用點在水平距離l界定的垂直直線上移動，最終平衡于相對垂直距離c，c是一個待求的變量。右邊懸鏈線右端點以及左邊懸鏈線左端點保持為約束狀態(tài)。

整個懸鏈線僅受垂直方向的外力作用，因此左右兩段懸鏈線中的水平張力處處相等，以h表示，是一個待求的變量。當在右懸鏈線的左端點作用向下的垂向集中力W時，左端點的受力分析如 圖1 所示。在右懸鏈線上，因為斜率大于等于0即shα≥0，所以有右懸鏈線在左端邊界處的垂直分量Va≥0，等號僅在W=0時成立。根據(jù)力學平衡有

圖1 懸鏈線的受力示意圖

Fig.1 Force diagram of the catenary

Va=W

(21)

方程(21)本質(zhì)上為力邊界約束條件，將懸鏈線左端邊界處的約束反力垂直分量關系式(16)代入式(21)可得

(22)

從式(22)可見，集中力W與分布力q綁定在一起，因而定義具有長度量綱的參數(shù)w為

w=W/q

(23)

參數(shù)w為向下垂向集中力W與懸鏈線的分布力q之比，即w=W/q。w可稱為集中力均布化處理后的折算長度。定義簡化表達式的參數(shù)u為

u=2W/q+s=2w+s

(24)

綜合式(22～24)，考慮到式(2)即h=Dq/2，原水平懸鏈線中點向下作用2W垂向集中力時，左右兩段懸鏈線新平衡構(gòu)型對應的水平張力h為

(25)

將方程(25)代入懸鏈線段平衡方程(12)即sh(l/D)=d/D，可以得到左右兩段懸鏈線新平衡構(gòu)型對應的相對垂直距離c，應滿足下面的超越方程，

(26)

方程(26)是數(shù)學上混合邊界問題的解，在雙重對稱性條件下作用分布力與集中力時，方程(26)就是求解未知平衡構(gòu)型點c的非線性數(shù)學平衡方程。

當垂向集中力W=0時，方程(25)回歸到方程(20)，方程(26)回歸到方程(12)。

值得指出，在上述相關方程中，取索長s=1與均布力q=1，可得到相應的無量綱方程以及相關的無量綱量。本文采用收斂性較好的二分法來求解無量綱方程中的待求量c/s。當無量綱水平距離即l/s<0.000007且無量綱集中力W/qs>100時，二分法求根算法尚未無條件收斂。物理上水平距離l趨于0時，垂直距離c趨于s，此時方程(26)的l/d處于0/0的狀態(tài)。因此本文采用的無量綱水平距離l/s介于[0.0001,0.999999]。當集中力W=0時，左右分段懸鏈線的合并便是整段導數(shù)光滑的原始懸鏈線。

圖2所示為當右懸鏈線垂向集中力W介于0～4.5qs且l介于0.1s～0.9s時，不同垂向集中力作用下水平張力的變化趨勢。水平距離l取特定值0.8s時的連線接近直線，實際上圖中每一條連線都是一條曲率很小的曲線，水平張力h隨垂向集中力W增大而增大，但不是線性的正比關系。水平距離l越大，相應的水平張力h也越大。

圖3表示初始垂度f、平衡垂直距離c和極限垂直距離ck隨水平距離l的變化關系及相應的計算公式。分圖①示意偏大的水平距離l，分圖②示意中等的水平距離l，分圖③示意偏小的水平距離l。隨水平距離l增大，初始垂度f、垂直距離c和極限垂直距離ck減小。在相同水平距離l下，集中力W減小，垂直距離c減??；集中力W增大，垂直距離c增大。(c-f)/s的最小值位于計算域的左右兩端點，或在計算域的左邊端點或右邊端點，這取決于集中力的大小和左右兩端點本身的大小。

圖2 不同垂向集中力作用下水平張力的變化情況

Fig.2 Variation of horizontal tension under the effect of different downward point forces

圖3 初始、平衡和極限垂直距離隨水平距離的變化

Fig.3 Variation of initial，balance and limit vertical distance with horizontal distance

概念上無量綱水平距離l/s趨于1或趨于0，(c-f)/s皆趨于0。Max.(c-f)/s表示集中力W作用下無量綱因變量l/s跑遍計算域[0.0001,0.999999]時(c-f)/s的最大值，簡稱為最大垂直距離差。對于特定的W/qs，(c-f)/s的極值點位于l/s該計算域的內(nèi)部某點，且極值點即最大值點是唯一的。當W/qs=0.0001時，Max.(c-f)/s位于l/s=0.01處；當W/qs=0.02時，Max.(c-f)/s位于l/s=0.24處；當W/qs=0.2時，Max.(c-f)/s位于l/s=0.52處;當W/qs>200時，Max.(c-f)/s趨于l/s=0.656283。垂直距離差(c-f)/s關于l的變化是中間大兩端小非對稱上凸單峰曲線，Max.(c-f)/s最大值所在水平位置l隨集中力W增大而增大，最終趨于l/s=0.656283，此時Max.(c-f)/s=0.0752059。結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖6所示為當右懸鏈線垂向集中力W介于0～4.5qs且l介于0.1s～0.9s時，懸鏈線兩點的垂直距離差c-f發(fā)生改變的趨勢。隨著垂向集中力W增大，垂直距離差c-f相應增大。當垂向集中力W>1.5qs時，垂直距離差c-f變化減弱，幾乎接近于水平直線。當垂向集中力W<1qs時，垂直距離差c-f變化劇烈。當l/s介于0.5～0.75之間且W>1.5qs，垂直距離差c-f偏于較大值，約介于0.065s～0.0752s。注意，l/s=0.9 對應的(c-f)/s曲線段在W>0.5qs時，低于l/s=0.4,0.8,0.5,0,6和0.7對應的(c-f)/s曲線段。計算和分析結(jié)果表明，無量綱水平距離l/s趨于1時,(c-f)/s趨于0。

圖4 最大垂直距離差所在水平位置隨集中力的變化

Fig.4 Variation of horizontal location and maximum of vertical distance difference with concentrating forces

圖5 垂直距離差關于水平位置隨不同集中力的變化

Fig.5 Variation of vertical distance difference along horizontal location with different concentrating forces

圖6 垂向集中力作用下垂直距離差的變化

Fig.6 Variation of vertical distance difference under the vertical concentrating forces

6 結(jié) 論

(1) 引入兩點位移邊值約束方程，得到求解懸鏈線水平張力的超越方程。在數(shù)值計算上確定了單參數(shù)形式和雙參數(shù)形式超越方程數(shù)值解的一致性。

(2) 給出了懸鏈線在上下邊界的垂直約束反力與曲率半徑r及幾何參數(shù)l,s和c的函數(shù)關系。這種簡單函數(shù)關系便于數(shù)學上解決或處理懸鏈線放松約束時的逆問題。

(3) 推導出既有均布力又有集中力作用在懸鏈線對稱位置時應滿足的平衡方程，得出分段懸鏈線依賴于集中力的函數(shù)關系。探討了當集中力等于0時，分段方程向原整段懸鏈線方程的和諧回歸，證明本文理論構(gòu)建數(shù)學邏輯的自洽性。

(4) 通過無量綱處理，計算了在不同集中力作用下不同水平距離懸鏈線的復雜力學響應，其中最大垂直距離差的非對稱和非線性行為特別值得關注。

本文建立的水平懸鏈線中點集中力作用下的數(shù)學模型是更復雜非對稱性問題的特例，可作為一般性非對稱性問題的導引。