四邊自由各向異性矩形中厚板彎曲解析解

， ，

(西安建筑科技大學 理學院，西安 710055)

1 引 言

在各種技術(shù)和工程應用[1-3]中廣泛存在各向異性板殼結(jié)構(gòu)，如角點支撐的振動臺、各種復合材料和航空航天用材等，在不同放置情況下都需要通過各向異性中厚板理論來解決。一般在板厚不大時，按薄板[4-9]來研究，采用直法線假設而不考慮橫向剪切變形的影響。板厚較大時，根據(jù)經(jīng)典薄板理論對這類結(jié)構(gòu)進行分析計算就會產(chǎn)生較大的誤差，因而要建立精化的各向異性板殼理論[10,11]。中厚板問題一直受到重視，但由于各向異性中厚板理論不但涉及非常多的彈性常數(shù)，推導過程復雜,而且由于控制方程和邊界條件中偶數(shù)階導數(shù)和奇數(shù)階導數(shù)并存，由原來的一個控制方程變成了三個混合階偏微分方程組，數(shù)學處理非常困難。四邊自由各向異性矩形中厚板彎曲解析解未見報道。本文應用阿穆巴諸米揚理論，對不同支撐的四邊自由各向異性矩形中厚板按對稱性分解，并用三角級數(shù)法求得其彎曲解析解，得到的板內(nèi)力更加符合實際。

2 彎曲問題及分解

2.1 平衡方程及邊界條件

(1a)

(1b)

(1c)

式中Z2=q-F，F(xiàn)(x,y)為板下表面受的豎向反力，q(x,y)為板上表面受的豎向載荷。算子L13(Di k),L23(Di k)，L1,L12,L14,L2,L21和L24，函數(shù)J01,J02,J3,J4,J5和J6，常數(shù)A1,A2和A3參考文獻[12]。四邊自由的邊界條件[12]為

x=±a/2時

Mx=0，Mx y=0，Qx=0

(2a,2b,2c)

y=±b/2時

My=0,Mx y=0,Qy=0

(3a,3b,3c)

2.2 對稱性分解

w=wa a+ws s+wa s+ws a

(4a)

(4b)

Ψ=Ψa a+Ψs s+Ψa s+Ψs a

(4c)

q=qa a+qs s+qa s+qs a

(4d)

F=Fa a+Fs s+Fa s+Fs a

(4e)

Z2=Z2a a+Z2s s+Z2a s+Z2s a

(4f)

下標ss，aa，sa和as的含義參考文獻[13]。

將平衡微分方程(1a)按對稱性分解：

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

將平衡微分方程(1b)按對稱性分解：

(6a)

(6b)

(6c)

(6d)

引入微分算子:

式中Di j,si j和Qi j參考文獻[12]。

將平衡微分方程(1c)按對稱性分解：

L23s a(Di k)ws a+L23a s(Di k)wa s-J4L2s sΨa a-

(7a)

L23s a(Di k)wa s+L23a s(Di k)ws a-J4L2s sΨs s-

(7b)

L23s a(Di k)wa a+L23a s(Di k)ws s-J4L2s sΨa s-

(7c)

L23s a(Di k)ws s+L23a s(Di k)wa a-J4L2s sΨs a-

(7d)

將邊界條件(2a)按對稱性分解：

-(D11wa a,x x+D12wa a,y y+2D16ws s,x y)+

(s44Q12+s45Q16+A1)Ψa s,y]=0

(8a)

-(D11ws s,x x+D12ws s,yy+2D16wa a,x y)+

(s44Q12+s45Q16+A1)Ψs a,y]=0

(8b)

-(D11wa s,x x+D12wa s,yy+2D16ws a,xy)+

(s44Q12+s45Q16+A1)Ψa a,y]=0

(8c)

-(D11ws a,x x+D12ws a,yy+2D16wa s,xy)+

(s44Q12+s45Q16+A1)Ψs s,y]=0

(8d)

將邊界條件(3a)按對稱性分解：

假如“其父善游”理論成立，那么姚明的兒子，生下來就能打籃球；潘長江的兒子，一出生就會演小品；體操運動員的兒子，一出生就能接二連三地翻筋斗；雜技演員的兒子，一出娘胎就應該跳到吊燈上蕩秋千。果能如此，所有的教育機構(gòu)都應該關(guān)門大吉，只需各種“善游之父”多多生兒育女，就可以源源不斷地為社會供給人才。

-(D12wa a,x x+D22wa a,y y+2D26ws s,x y)+

(s44Q22+s45Q26+A2)Ψa s,y]=0

(9a)

-(D12ws s,x x+D22ws s,y y+2D26wa a,x y)+

(s44Q22+s45Q26+A2)Ψs a,y]=0

(9b)

-(D12wa s,x x+D22wa s,y y+2D26ws a,x y)+

(s44Q22+s45Q26+A2)Ψa a,y]=0

(9c)

-(D12ws a,x x+D22ws a,y y+2D26wa s,x y)+

(s44Q22+s45Q26+A2)Ψs s,y]=0

(9d)

邊界條件(2b)和(3b)形式相同，將其按對稱性分解為

-(D16wa a,x x+D26wa a,y y+2D66ws s,x y)+

(s44Q26+s45Q66+A3)Ψa s,y]=0

(10a)

-(D16ws s,x x+D26ws s,y y+2D66wa a,x y)+

(s44Q26+s45Q66+A3)Ψs a,y]=0

(10b)

-(D16wa s,x x+D26wa s,y y+2D66ws a,x y)+

(s44Q26+s45Q66+A3)Ψa a,y]=0

(10c)

-(D16ws a,x x+D26ws a,y y+2D66wa s,x y)+

(s44Q26+s45Q66+A3)Ψs s,y]=0

(10d)

將邊界條件(2c)和(3c)按對稱性分解為

(11a，11b)

(11c,11d)

J6Ψa a=0，J6Ψs s=0

(12a，12b)

J6Ψa s=0，J6Ψs a=0

(12c，12d)

由方程(5a,5b,6c,6d,7c,7d)與邊界條件 (8a,8b，9a,9b，10a,10b)和(11c,11d,12c,12d)構(gòu)成的問題稱為中心對稱問題;由方程(5c,5d,6a,6b,7a,7b)與邊界條件(8a,8b,9a,9b,10a,10b)和(11a,11b,12a,12b)構(gòu)成的問題稱為中心反對稱問題。顯然該問題可分解為中心對稱問題和中心反對稱問題的疊加。

3 方程求解

3.1 中心對稱問題求解

為了滿足邊界條件及求導方便[14]，設

wa a(a/2,y)=∑ansinβny

wa a,x x(a/2,y)=∑bnsinβny

ws s, x(a/2,y)=∑cncosβny

Ψa s(a/2,y)=∑gncosβny

Ψs a, x(a/2,y)=∑hnsinβny

wa a(x,b/2)=∑Amsinαnx

wa a,y y(x,b/2)=∑Bmsinαnx

3.1.1 荷載展式

設對稱荷載和反對稱荷載分別為qs s和qa a，則

3.1.2 地基或支承反力展式

(1) 對地基板，若對稱的地基反力和反對稱的地基反力分別為Fs s和Fa a，則

(2) 對點支撐板，支反力Fs s和Fa a為

式中i=1,2,3，…,I為支撐點編號,(xi,yi)為支撐點的坐標,F(i)為第i支撐點處的支撐反力值。

3.1.3 定解方程的建立

(1) 對地基板，地基表面的豎向位移與板的撓度相等，參考文獻[13]得到變形協(xié)調(diào)方程。

(2) 對點支撐板，在支承點坐標(xi,yi)處撓度為0，得到變形協(xié)調(diào)方程：

3.2 中心反對稱問題求解

wa s(a/2,y)=∑cncosβny

wa s，x x(a/2,y)=∑dncosβny

ws a, x(a/2,y)=∑ansinβny

Ψa a(a/2,y)=∑fnsinβny

wa s,y(x,b/2)=∑Cmsinαmx

ws a(x,b/2)=∑Amcosαmx

ws a,y y(x,b/2)=∑Bmcosαmx

Ψs s,y(x,b/2)=∑gmcosαmx

3.2.1 荷載展式

設關(guān)于x對稱，y反對稱的荷載為qa s，關(guān)于x反對稱，y對稱的荷載為qs a，則

3.2.2 地基或支承反力展式

(1) 對地基板，若關(guān)于x對稱，y反對稱和關(guān)于x反對稱，y對稱的地基反力分別為Fa s和Fs a，則

(2) 對點支撐板，支反力Fa s和Fs a分別為

3.2.3 變形協(xié)調(diào)方程

對地基板及點支撐板，分別為

同中心對稱問題類似，可求出wa s和ws a。

4 算例分析

算例1考慮文獻[15]的算例2，結(jié)果列入表1。由表1可知,板中心撓度值和彎矩值與文獻[15]結(jié)果接近,說明本文求解方法可行。

算例2邊長為1的四邊自由方薄板受8個對稱的點支撐[14]。在板中心(0,0)作用單位集中力，無量綱化后求得撓度最大值wmax為0.01632,與文獻[14]的0.016548基本一致。

算例3分析一長為4 m，厚為0.2 m的四邊自由方形地基板的彎曲。取板物性參數(shù)如下，D11=107，EL/ET=40，EL/EZ=20，GLT/ET=0.5，θ=π/4，μL T=0.25，μL Z=0.167，μT Z=0.167，其中EL，ET和EZ分別為復合材料三個主方向的彈性模量,GL T為面內(nèi)剪切模量，θ為EL對應的主方向和x軸的夾角。地基參數(shù)中，泊松比均為0.25，水平和豎向變形模量分別為40 MPa和 60 MPa，豎向平面內(nèi)的剪切模量為30 MPa。板受均布荷載q=0.98 MPa作用。

表1 板中心撓度和彎矩

Tab.1 Deflection and moment of at

the plate center

板厚h/m本文理論文獻[15]Wmax/mMx/kNWmax/mMx/kN1.00.0541406.180.0541409.38

圖1 彎矩Mx

Fig.1 MomentMx

圖2 彎矩Mx

Fig.2 MomentMx

所得彎矩如圖1所示。將EZ,μL Z和μTZ取為0時，所得彎矩如圖2所示?？梢钥闯觯瑢Ω飨虍愋灾泻癜?，載荷對稱但是板的彎矩卻不對稱，厚度方向彈性參數(shù)對彎矩影響也較為明顯。

5 結(jié) 論

(1) 本文應用阿穆巴諸米揚理論，對不同支撐下四邊自由各向異性矩形中的厚板彎曲問題，按對稱性分解并用三角級數(shù)法求得問題的解析解。取消了直法線假設，去除了數(shù)值法的弊端，分析得到板的撓度及內(nèi)力更符合實際情況。而且能進一步分析各向異性及不同支撐條件對板彎曲特性的影響。

(2) 本文的求解方法和技術(shù)可用于求解各向異性矩形中厚板的自由振動問題和穩(wěn)態(tài)振動問題。

(3) 本文方法還可分析不同邊界約束下各向異性矩形中厚板的彎曲和振動問題。