與XY雙自旋鏈耦合的雙量子比特系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)性與相干性?

楊陽 王安民 曹連振 趙加強(qiáng) 逯懷新

1)(濰坊學(xué)院物理與光電工程學(xué)院,山東省多光子糾纏與操縱實(shí)驗(yàn)室,濰坊 261061)2)(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代物理系,合肥 230026)(2018年4月25日收到;2018年5月20日收到修改稿)

1 引 言

量子相干性源于量子力學(xué)的疊加原理,在量子信息處理中扮演著重要的角色.比如在糾纏產(chǎn)生[1,2]、量子計(jì)量學(xué)[3?5]、量子熱力學(xué)[6?8]以及量子生物學(xué)[9?11]中都有著廣泛的應(yīng)用.

Baumgratz等[12]提出了一個(gè)量化量子相干性應(yīng)滿足的條件.多個(gè)量子相干度量方法隨之被提出,比如相對(duì)熵相干度量和l1范數(shù)相干度量,二者都是基于所考察量子態(tài)與非相干態(tài)集合間的某種最小距離而定義的.基于凸頂方法的生成度量[13,14]、基于操作[15,16]以及基于量子糾纏[2]的相干度量也相繼被提出.在準(zhǔn)確度量相干態(tài)相干性的基礎(chǔ)上,人們對(duì)量子相干性的多個(gè)方面展開研究,比如量子相干性與量子糾纏的轉(zhuǎn)化[17,18].量子關(guān)聯(lián)在量子算法[19,20]、遠(yuǎn)程量子態(tài)制備[21]等量子信息任務(wù)處理中同樣扮演著重要的作用,因此量子相干性與量子關(guān)聯(lián)的關(guān)系也引起了人們的關(guān)注[22?24].

現(xiàn)實(shí)中,量子系統(tǒng)不可避免地要與環(huán)境發(fā)生相互作用而丟失相干性,進(jìn)而不能有效地執(zhí)行量子信息處理任務(wù).量子關(guān)聯(lián)在實(shí)際處理任務(wù)中,也遭到環(huán)境噪聲的破壞,但是無論是Markovian還是非Markovian環(huán)境,人們對(duì)量子關(guān)聯(lián)的破壞研究相對(duì)較多[25?28].量子關(guān)聯(lián)可以不受某些具體噪聲的影響而保持不變,同時(shí)量子關(guān)聯(lián)與經(jīng)典關(guān)聯(lián)之間存在突變效應(yīng)[29?34].Bromley等[35]首先發(fā)現(xiàn)對(duì)于某些特定的量子系統(tǒng),當(dāng)體系處于某些特殊的初態(tài)時(shí),基于距離的量子相干度量保持不變,即會(huì)發(fā)生相干凍結(jié)現(xiàn)象.Yu等[36]給出了量子系統(tǒng)的相干性完全凍結(jié)的條件.相干性一旦遭到破壞,量子系統(tǒng)處理量子信息任務(wù)的能力也隨即被破壞.所以環(huán)境作用下量子系統(tǒng)相干性演化規(guī)律吸引了眾多學(xué)者進(jìn)行研究[37?44].本文主要研究自旋鏈環(huán)境作用下,系統(tǒng)相干性與關(guān)聯(lián)性的演化規(guī)律.

本文將具有Dzyaloshinsky-Moriya(DM)相互作用的XY自旋鏈作為量子系統(tǒng)所處的環(huán)境,考慮雙量子比特系統(tǒng)的量子態(tài)的演化規(guī)律,推導(dǎo)出某些初態(tài)的相干性演化公式,并與系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)相比較.我們發(fā)現(xiàn)量子相干性在不同的時(shí)間段有不同的對(duì)應(yīng),在tt0時(shí),則與量子關(guān)聯(lián)完全相同.同時(shí),我們考慮了DM相互作用對(duì)量子相干性的影響.

2 雙XY自旋鏈中雙量子比特的演化

由兩個(gè)無相互作用的自旋組成的雙量子比特A,B構(gòu)成的系統(tǒng)在具有DM相互作用的獨(dú)立XY自旋鏈環(huán)境下的哈密頓量為

σi(i=x,y,z)為泡利算符.系統(tǒng)的密度算符演化為其中,λg= λ.利用Jordan-Wigner與Bogoliubov變換,可以被對(duì)角化為[45?47]

其中

εμ= λμ? cos(2πk/N),k= ?M,···,M, 且M=(N ?1)/2.HλμE對(duì)應(yīng)的基態(tài)

與XY自旋鏈相比較,具有DM相互作用的XY自旋鏈有明顯的區(qū)別,一是能譜中含有相互作用強(qiáng)度D,二是中含有Bogoliubov變換角度因此DM相互作用可能對(duì)量子相干性產(chǎn)生影響,其影響將由|F(t)|的具體表達(dá)式

來決定.

3 量子失協(xié)與量子相干度量

量子失協(xié)被用來量化量子關(guān)聯(lián),是由經(jīng)典互信息過渡到量子情形下所產(chǎn)生的差異而來[48].對(duì)雙量子系統(tǒng),其定義為

其中I(ρ),Cc(ρ)分別為總關(guān)聯(lián)、經(jīng)典關(guān)聯(lián);

Baumgratz等[12]給出了嚴(yán)格量化量子相干性所應(yīng)滿足的條件:(i)非負(fù)性,C(ρ)>0,只有非相干態(tài)才等于零;(ii)單調(diào)性,C(ρ)>C(Λ(ρ)),Λ為非相干操作;(iii)強(qiáng)單調(diào)性,其中λ為非相干操作,(iv)凸性,C(qρ+(1?q)τ)6 qC(ρ)+(1?q)C(τ).基于此,相對(duì)熵相干度量被提出,其定義為

其中τ為非相干態(tài)集合,ρdiag為ρ的對(duì)角元組成的矩陣.

4 量子相干動(dòng)力學(xué)

不失一般性,選取c1=1,c2=?c3,由(8)式得雙量子比特系統(tǒng)的總關(guān)聯(lián)為

其中

系統(tǒng)的量子關(guān)聯(lián)為

由(9)式得系統(tǒng)的相對(duì)熵相干度量為

利用量子關(guān)聯(lián)或者相干性都可以探測(cè)到XY自旋鏈在λ=1處存在相變點(diǎn)[33].現(xiàn)在主要考慮相變點(diǎn)λ=λc=1附近的關(guān)聯(lián)以及相干性的演化情況.選取δ=0.1,γ=0.5,c3=0.8,N=401時(shí),圖1(a)展示了D=0時(shí)關(guān)聯(lián)與相對(duì)熵相干度量的演化.發(fā)現(xiàn)在t=t0處量子關(guān)聯(lián)與經(jīng)典關(guān)聯(lián)存在突變,突變時(shí)刻t0滿足|F(t0)|2=c3.當(dāng)tt0時(shí),經(jīng)典關(guān)聯(lián)不隨時(shí)間而改變,量子關(guān)聯(lián)發(fā)生演化.有趣的是,當(dāng)tt0時(shí),則與量子關(guān)聯(lián)完全相同.說明tt0時(shí),(12)式中的c由c3變?yōu)閨F(t)|2,此時(shí)可將(13)式整理為(12)式,因此量子關(guān)聯(lián)與相干性的演化完全相同.現(xiàn)在我們從物理上進(jìn)行分析,量子相干性的測(cè)量依賴于具體基矢的選擇,(9)式的相對(duì)熵測(cè)量中子系統(tǒng)B所選擇的測(cè)量基為{|g?,|e?};而量子關(guān)聯(lián)的測(cè)量則必須選擇最優(yōu)基來進(jìn)行測(cè)量.當(dāng)t>t0時(shí),測(cè)量量子關(guān)聯(lián)所選擇的最優(yōu)基為{|g?,|e?},與量子相干性的測(cè)量基相同,所以量子關(guān)聯(lián)與量子相干性完全相同,這與文獻(xiàn)[37,38]中所論述的最優(yōu)基理論相一致.同時(shí),雙量子比特系統(tǒng)獨(dú)自與廣義自旋鏈環(huán)境相耦合,與系統(tǒng)中量子比特分別與玻色環(huán)境和Ising自旋鏈環(huán)境相耦合的情形相比,關(guān)聯(lián)與相干性的等價(jià)關(guān)系相似[49].DM相互作用的影響可以從圖1(b)和圖1(c)展現(xiàn)出來,DM相互作用并不改變相干性與關(guān)聯(lián)性的特點(diǎn),而是加快相干性與關(guān)聯(lián)的衰變,轉(zhuǎn)變時(shí)刻隨著D的增加而提前.

圖2展現(xiàn)了不同各向異性參數(shù)γ對(duì)量子相干性與關(guān)聯(lián)的影響,其中δ=0.1,D=0,c3=0.8,N=401.隨著各向異性參數(shù)γ的增加,退相干效應(yīng)加快,這與中心雙量子比特系統(tǒng)與一條XY自旋鏈的耦合情形相似[45,46].而當(dāng)選取γ=0.5,D=0,c3=0.8,N=401時(shí),圖3展示了不同耦合強(qiáng)度δ下的量子關(guān)聯(lián)與退相干的演化.我們發(fā)現(xiàn)耦合強(qiáng)度δ同樣能使相干性與量子關(guān)聯(lián)的衰變加快.

圖1 不同DM相互作用下關(guān)聯(lián)性與相干性的演化規(guī)律 (a)D=0;(b)D=0.4;(c)D=0.6Fig.1.The evolution of correlations and coherence for dif f erent values of the DM interaction:(a)D=0;(b)D=0.4;(c)D=0.6.

圖2 不同各向異性參數(shù)下關(guān)聯(lián)性與相干性的演化規(guī)律 (a)γ=0.2;(b)γ=0.4;(c)γ=0.6Fig.2.The evolution of correlations and coherence for dif f erent values of the anisotropy parameter:(a)γ=0.2;(b)γ=0.4;(c)γ=0.6.

圖3 不同耦合常數(shù)下關(guān)聯(lián)性與相干性的演化規(guī)律 (a)δ=0.2;(b)δ=0.4;(c)δ=0.6Fig.3.The evolution of correlations and coherence for the dif f erent coupling constants:(a)δ=0.2;(b)δ=0.4;(c)δ=0.6.

圖4 γ=0.5,D=0,c3=0.8時(shí)不同自旋鏈粒子數(shù)與耦合常數(shù)下量子關(guān)聯(lián)與量子相干的演化規(guī)律Fig.4.The evolution of quantum correlation and quantum coherence for dif f erent values of size of the chain and coupling constants at γ=0.5,D=0,c3=0.8.

5 結(jié) 論

本文研究了雙量子比特系統(tǒng)分別獨(dú)自與具有DM相互作用的XY自旋耦合下的量子相干性與關(guān)聯(lián)動(dòng)力學(xué).量子相干性與量子關(guān)聯(lián)分別采用相對(duì)熵、量子失協(xié)來度量.推導(dǎo)出了相干性與關(guān)聯(lián)性的演化規(guī)律.發(fā)現(xiàn)在自旋鏈的臨界點(diǎn)附近,系統(tǒng)相干性的演化與關(guān)聯(lián)的演化存在統(tǒng)一性.在量子關(guān)聯(lián)未衰變階段,相干性的演化與經(jīng)典關(guān)聯(lián)的演化完全相同,而后則與量子關(guān)聯(lián)的演化完全相同.此外,還發(fā)現(xiàn)各向異性參數(shù)γ、DM相互作用強(qiáng)度D以及耦合強(qiáng)度δ并不改變量子相干性以及關(guān)聯(lián)的演化特點(diǎn),但隨著參數(shù)增加會(huì)使相干性及關(guān)聯(lián)性的衰變加快.