推導“可倒擺實驗”原理的新方法

張諾亞

（鄭州外國語新楓楊學校，河南 鄭州 450000）

重力加速度是物理中一個非常重要的物理量，通常g是指地球地面的物質(zhì)受到引力的作用在真空中下落的加速度。隨著重力發(fā)現(xiàn)，學者也開始對它進行更深入的研究，第一個問題就是怎么對它進行測量。

隨后，伽利略發(fā)現(xiàn)了擺的等時性，惠更斯發(fā)現(xiàn)擺的擺動周期和當?shù)氐闹亓铀俣瘸煞幢群蛿[長的平方根成正比。于是，人們就利用測定擺的擺動周期的方法，來測量重力加速度。1818年，由凱特（Kater)提出一種新的測量方法，設(shè)計出了一種物理擺，即凱特擺（也稱“可倒擺”，本文稱為“可倒擺”）。波斯坦大地測量研究所曾花了8年測得當?shù)刂亓铀俣仁莋=(981.274±0.003）cm/s，因達到6位有效數(shù)字，故各地對g的相對測定，均以此為依據(jù)，很多地區(qū)的g值都曾以此為根據(jù)，進行相對測量而得到。

以往，一些對于“可倒擺實驗”的研究多集中在對實驗裝置的改進和實驗過程的優(yōu)化，使整個實驗更易于操作。在實驗原理上，學生需要先理解復擺相關(guān)知識才能進行推導。本文從實驗中的“可倒擺實驗”的整個運動過程出發(fā)，應用能量的觀點進行分析研究最終得出正確結(jié)果。本文的推導過程在關(guān)注整個運動過程的同時，也應用更加基礎(chǔ)的知識點，使更多不同知識儲備的實驗者都能很好地理解，結(jié)合對實驗過程的優(yōu)化，將更利于“可倒擺實驗”的推廣。本文將先介紹傳統(tǒng)對“可倒擺實驗”原理的推導過程，然后使用能量觀點對實驗原理進行推導解釋。

1 從復擺到 “可倒擺實驗”原理的推導

首先介紹單擺概念。如果把尺寸很小的物體懸于一端固定的長度為 l且不能伸長的細繩上，使細繩和過懸點鉛垂線成角度小于10°（此時應用到數(shù)學上的小角近似的概念），放手后可以觀察到擺錘周期振動，其周期擺的長度以及重力加速度g有關(guān)，其運動狀態(tài)可用簡諧振動公式表示，這樣的擺稱為單擺。單擺的周期公式為：

其中：T為擺動周期；l為擺長；g為重力加速度。可見，擺的運動周期與擺的長和所在地的重力加速度相關(guān)。

然后介紹復擺相關(guān)概念，已知質(zhì)量為m的一個剛體，重心G到轉(zhuǎn)動軸O的距離為h，繞O軸的轉(zhuǎn)動慣量為I。在這里，我們引入小角近似，當擺幅足夠小時，剛體繞O軸的擺動周期T可以被近似表示為：

復擺繞通過重心G的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量為IG，當G軸與O軸平行時，有：

代入式（1）得：

對比單擺的周期公式(1)，可得：

其中，l稱為復擺的等效擺長。因此測出周期T和等效擺長l可求得重力加速度g。

圖1 “可倒擺實驗”擺桿示意圖

圖1 是“可倒擺實驗”擺桿的示意圖，對“可倒擺實驗”而言，兩刀口間的距離就是擺的等效擺長l。確定兩刀口位置后，調(diào)節(jié)擺錘位置可使正、倒懸掛時的擺動周期T1和T2保持近似相等，即T1≈T2。由公式（3）可得：

其中，T1和h1為擺繞轉(zhuǎn)動軸O軸的擺動周期和旋轉(zhuǎn)中心到重心G的距離。當T1≈T2時，h1+h2=l即為等效擺長。由式（5）和（6）消去IG，得：

式中，a項可以精確求得，b項無法精確求得。當T1＝T2以及|2h1-l|的值較大時，b項的不精確對測量結(jié)果產(chǎn)生的影響忽略不計。具體數(shù)據(jù)分析不是本文論述重點，請參見相關(guān)實驗介紹和文獻。

2 用能量觀點對實驗原理進行的推導

以下應用能量觀點推導實驗原理。

實驗中，擺錘運動過程為周期運動。在這里，所關(guān)注的分析整個運動周期的能量轉(zhuǎn)化，是接下來推導過程的基礎(chǔ)。

在“可倒擺實驗”中，當把擺錘正掛時，即將刀口E掛起時(文中加粗的量表示該量是矢量)，此時選擇E所在的平面為零勢能面。將擺拉動小角度放手，讓擺做周期性擺動，此時關(guān)注兩個特殊的位置，即“可倒擺”運動到最高點和最低點。當擺錘擺動到最低點時，由機械能守恒公式可得：

然后將擺錘倒掛時，由機械能守恒公式可得：

與單擺公式推導過程中使用的公式：sinθ≈θ不同，在本節(jié)中使用的小角近似公式為：

同時，將角速度的形勢進行代換為：

此時，需要特殊說明的是：在“可倒擺實驗”中需要保持正掛擺錘和倒掛擺錘時的周期近似相等，即T1≈T2。又由等時性原理可知，此時正掛和倒掛時的等效擺長一致。當?shù)刃[長一致，保持正掛和倒掛的最大擺角一致時，兩個過程中經(jīng)過最低點時的角速度以及角速度的導數(shù)是一致近似的。所以，在接下來的推導中，為了進一步優(yōu)化公式，本文將擺錘正掛和倒掛時的擺角、最低點角速度以及角速度的導數(shù)不作區(qū)分。

通過(10)和(11)進行化簡操作，將(10)和(11)代入(8)和(9)，可得：

當最大對公式進一步地處理，對上兩式進行時間求導可得：

將其與(15)式中第一個公式聯(lián)立可得：

以上為實驗原理推導過程。通過調(diào)節(jié)擺錘的位置可以實現(xiàn)實驗正掛和倒掛的周期大致相等，即T1≈T2時。當正掛和倒掛的周期相等時，便可以通過實驗數(shù)據(jù)使用(19)式來實驗測出重力加速度g。在本節(jié)推導出的公式中所需要的實驗限制條件是保持“可倒擺”正掛時和倒掛時的擺角一致，對原實驗過程中|2h1-l|項同樣進行要求。本文的實驗中，在其他實驗條件一致時，增加了實驗限制，即保持正掛和倒掛的最大擺角一致。在定性上，這個限制減少了實驗誤差。

需要特別說明的是，上述推導過程中應用到的小角近似概念、擺的等時性概念（或者等效擺長概念）和轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理都屬于拓展知識點。對比兩種推導過程，兩者都提供了比較正確的思路，但后者是在前者的基礎(chǔ)上進行另外一種思路的嘗試。

在實驗操作上，可以對比這個方法與傳統(tǒng)方法。

相同點：兩種方法都是通過測量等效擺長，擺的周期來計算重力加速度，且測量擺長和時間的儀器與方法都相同；實驗約束條件中都需要保持“可倒擺”正掛和倒掛時的等時性T1＝T2以及|2h1-l|的值較大。

不同點：此方法的推導對于實驗過程加了一個約束條件，即正掛和倒掛時最大擺角一致，減少了實驗誤差，可以較容易地實現(xiàn)T1＝T2。且此約束條件可以通過在實驗過程中用鉛垂線、角度尺或其他類似工具實現(xiàn)，操作起來并不難。

3 結(jié)語

“可倒擺實驗”是用來測量重力加速度的一種非常巧妙的方法，減少了空氣阻力的影響，極大地提高了實驗的精確度。本文對轉(zhuǎn)動慣量的推導部分進行了介紹，不同于傳統(tǒng)通過復擺原理對“可倒擺實驗”周期公式的推導，文中從能量的角度對其進行推導解釋。關(guān)于其他的實驗步驟，后者與前者與保持一致。另外，本文的方法增加了原實驗限制條件，減少了實驗誤差。這種方式對于深入地理解“可倒擺實驗”原理提供了一種新的思路，更便于從能量守恒的本質(zhì)上理解該實驗。同時，由于推導過程與單擺的周期公式推導過程存在緊密聯(lián)系，一定程度上也增強了對復擺知識的理解。