淺談含參數(shù)一元二次不等式的解法

陳新元

【摘要】一元二次不等式及其解法是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。結(jié)合具體的實(shí)例，闡述含參數(shù)，不討論；討論兩根大小；討論判別式△與0的關(guān)系；討論二次項(xiàng)前的系數(shù)等對含參數(shù)一元二次不等式的解法理解。又討論了高考中含參數(shù)一元二次不等式常常與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起考查——含參函數(shù)的單調(diào)性的討論等問題。

【關(guān)鍵詞】一元二次不等式 含參數(shù) 解法

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）07-0131-01

一、仔細(xì)審題，分清類型

1.含參數(shù)，不討論

例1：解關(guān)于x的不等式：x2-（2m+1）x+m2+m<0

解析：方程x2-（2m+1）x+m2+m=0的解為x1=m，x2=m+1，且知m

2.討論兩根大小

例2：解關(guān)于x的不等式：x2+（1-a）x-a<0

解析：方程x2+（1-a）x-a=0的解為x1=-1，x2=a，函數(shù)y=x2+（1-a）x-a的圖像開口向上，所以當(dāng)a<-1時(shí)，原不等式的解集為（a，-1）；當(dāng)a=-1時(shí)，原不等式的解集為？覫；當(dāng)a>-1時(shí)，原不等式的解集為（-1，a）。

方法歸納：本例中確定了方程有兩個(gè)根，但不能確定兩根的大小，要討論兩根的大小，從x1>x2，x1=x2，x1

3.討論判別式△與0的關(guān)系

例3：設(shè)00}，B={x/2x2-3（1+a）x+6a>0}，D=A∩B，求集合D（用區(qū)間表示）。

解析：令g（x）=2x2-3（1+a）x+6a，

△=9（a+1）2-48a=9a2-30a+9=9（a-3）（a- ）。

（1）當(dāng)

（2）當(dāng)a= 時(shí)，g（x）=2x2-4x+2>0， ∴B={x/x≠1} ∴D=（0，1）∪（1，+∞）.

（3）當(dāng)00，g（x）=0的兩個(gè)根為

x1= ， x2=

∵（3a+3）2-（9a2-30a+9）=48a>0

∴x1>x2>0，∴B={x/xx2}

∴D=（0， ）∪（ ，+∞）

方法歸納：本例中在解方程時(shí)，要先判斷方程解的個(gè)數(shù)，討論判別式△與0的關(guān)系，從△>0， △=0，△<0三個(gè)方面進(jìn)行討論。在△>0時(shí)，方程有兩個(gè)根，還要確定兩根的大小，如果不能確定，要討論兩根的大小關(guān)系。最后再通過觀察函數(shù)的圖像，從而確定原不等式的解集。

二、學(xué)會運(yùn)用，聯(lián)系高考

學(xué)習(xí)的目的不是死記知識，而是為了更好的運(yùn)用，高考中含參數(shù)一元二次不等式常常與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起考查——含參函數(shù)的單調(diào)性的討論。下面通過具體的實(shí)例來體會一下。

例5：已知函數(shù)f（x）=（2x2-3x+a）·ex（a∈R）

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)a=0時(shí)，方程f（x）=t有且僅有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽

f '（x）=（2x2-3x+a）'ex+（2x2-3x+a）（ex）'=（4x-3）ex+（2x2

-3x+a）ex=[2x2+x+（a-3）]ex

當(dāng)△≤0，即a≥ 時(shí)， 2x2+x+（a-3）≥0恒成立，又ex>0，所以f '（x）≥0恒成立，故函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，沒有遞減區(qū)間。

當(dāng)△>0，即a< 時(shí)，方程2x2+x+（a-3）=0有兩個(gè)不同的根x1= ，x2= ，且x10，又ex>0，所以f '（x）>0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，x1）和（x2，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，2x2+x+（a-3）<0，又ex>0，所以f '（x）<0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（x1，x2）上單調(diào)遞減。

綜上：當(dāng)a≥ 時(shí)，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，沒有遞減區(qū)間；當(dāng)a< 時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，x1）和（x2，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（x1，x2）上單調(diào)遞減。

（3）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=（2x2-3x）ex

方程f（x）=t有且僅有一個(gè)實(shí)根，即函數(shù)y=f（x）的圖像與直線y=t有且僅有一個(gè)交點(diǎn)。

而f '（x）=（2x2+x-3）ex，令f '（x）<0，得2x2+x-3<0，解得-

所以函數(shù)的極大值為f（- ）=9e ，極小值為f（1）=-e。

因?yàn)閤<0時(shí)，f（x）>0，所以當(dāng)t>9e 或t=-e時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖像與直線y=t有且僅有一個(gè)交點(diǎn)。

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是t/t=-e或t>9e

技巧點(diǎn)撥：該題的第（1）問屬于典型的高考命題熱點(diǎn)問題——含參函數(shù)的單調(diào)性討論，需要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)解析式中變號的部分，也就是二次代數(shù)式的符號進(jìn)行分類討論，可以結(jié)合二次函數(shù)圖像的特征，討論判別式△與0的關(guān)系，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號的變化討論單調(diào)性。

參考文獻(xiàn)：

[1]王曉艷.解含參數(shù)的一元二次不等式的分類方法[J].中學(xué)教學(xué)參考，2010（26）.

[2]李妍華，楊平.含參數(shù)的一元二次不等式的輕松破解[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（10）.