含乘性噪聲圖像的全變差恢復

王旭東, 呂長青, 趙海旭

(1.廣西師范學院 計算機與信息工程學院，廣西 南寧 530299；2. 棗莊學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，山東 棗莊 277160)

0 引言

乘性噪聲廣泛存在于合成孔徑雷達、航空遙感、醫(yī)學影像(如光學相干斷層掃描技術，Optical Coherence Tomography (OCT))等相干成像系統(tǒng)領域.乘性噪聲形成原因是成像目標散射點的相干回波疊加形成相干斑，相干斑在圖像上顯示為隨機散布的小斑點.乘性噪聲也因此被稱為斑點噪聲.乘性噪聲極大地降低了圖像的質(zhì)量，導致圖像的自動分割、定量分析、目標檢測以及其它有用信息的提取受到嚴重影響，進而影響圖像的分割，識別等后續(xù)工作[1].

從質(zhì)量較差的數(shù)字影像獲得高質(zhì)量的數(shù)字影像一直是人們努力的目標.在國防軍事領域，從戰(zhàn)場獲得的低質(zhì)量圖像中恢復出清晰、高質(zhì)量的圖像可為戰(zhàn)爭指揮提供更可靠的信息；在航空航天領域，從低質(zhì)量的航空遙感圖像中恢復出高清晰的目標影像是目標精確定位、分析的重要保證；在人命關天的醫(yī)學成像領域，從獲取的低質(zhì)量醫(yī)學圖像中還原出清晰、細致的圖像細節(jié)可以輔助醫(yī)生進行診斷.因此，圖像乘性噪聲去除問題的研究具有重要的應用意義.

1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀及發(fā)展動態(tài)分析

乘性噪聲的模型為

f=u

(1)

這里f是含乘性噪聲的圖像，u是要恢復的真實圖像，是乘性噪聲，一般認為噪聲各個點的值是相互獨立的并且與圖像像素值不相關.假設乘性噪聲服從Gamma分布，相應的概率密度函數(shù)為

g

(2)

乘性噪聲去除問題是逆問題，其目的是從觀測到的噪聲圖像估計出真實圖像.為了使該問題的數(shù)學模型具有良性可解性，我們需要對該問題的解空間施加一些限制，即利用自然圖像的先驗信息對待恢復圖像進行約束.在圖像恢復領域，采用何種約束(正則化或者懲罰)對恢復的效果具有決定性意義.

研究表明，數(shù)字圖像一般具有局部平穩(wěn)的統(tǒng)計特性，傳統(tǒng)的乘性噪聲去除模型假定數(shù)字圖像具有一定概率統(tǒng)計特征的先驗分布，如廣義高斯，Gibbs分布等.利用貝葉斯(Bayesian)統(tǒng)計概率模型和變分法，圖像的先驗概率模型轉(zhuǎn)換成圖像的正則化模型，正則項來衡量自然圖像的光滑特性.含乘性噪聲圖像恢復模型可以表示成能量最小化的優(yōu)化問題.

(3)

其中第一項是正則項，保證恢復的圖像具有一定連續(xù)性，并起到保護圖像邊緣的作用；第二項是數(shù)據(jù)項，也稱為保真項.λ為平衡數(shù)據(jù)項和正則項的全局正則參數(shù).

在(3)式中，當φ(u(x))=|▽u(x)|時，就是Aubert和Aujol利用最大后驗概率建立的去除乘性Gamma噪聲的非凸模型[2,3](即經(jīng)典的AA模型).AA模型的建立是去除圖像乘性噪聲的一個突破性進展，但是AA模型是非凸的，其解不一定是最優(yōu)解，而且解還依賴于初始化[4].為了改變模型的非凸性，利用對數(shù)變換z(x)=logu(x)，通過保留AA模型中的保真項，并用|▽logu|代替AA模型中的|▽u|，JianingShi與YumeiHuang分別提出了嚴格凸的變分模型[5]和凸模型的分裂形式[6].

以上模型使用全變差作為正則項.就圖像來說，邊緣是圖像的重要特征，因為全變差正則模型在去除圖像噪聲的同時具有良好的保持邊緣的性能，近年來全變差正則模型在圖像處理領域得到的了廣泛的應用.盡管全變差模型有比較成熟的理論[7-9]和多種求解方法，然而，TV正則僅能有效地逼近分片常數(shù)函數(shù).全變差模型在去噪的同時常常導致逐段常數(shù)，在圖像的光滑區(qū)域形成虛假的邊緣，從而產(chǎn)生階梯效應.在紋理區(qū)域出現(xiàn)了一定程度的邊界過光滑現(xiàn)象.針對上述不足，文獻[10-14]分別對正則項進行了改進.改進的正則模型能有效抑制圖像中的乘性噪聲，并且能夠很好地保護圖像的邊緣信息，但是在恢復圖像的同時產(chǎn)生了人為痕跡，影響視覺效果.

后來學者針對全變差的缺陷提出了大量的改進模型.通常來說，對圖像處理研究產(chǎn)生較大影響的是廣義全變差(Total Generalized Variation，TGV)正則模型.TGV模型是Bredies等學者在2010年提出的[15,16]，在圖像處理中應用較多的是二階TGV模型.TGV是對TV的改進.分片常數(shù)、分片仿射函數(shù)等多項式函數(shù)可以用TGV模型進行有效地逼近.

TGV模型可以對分段常數(shù)圖像的各種特性進行有效描述，TGV的二階導數(shù)衡量圖像平滑區(qū)域，TGV的一階導數(shù)衡量圖像邊緣的跳躍.和通常的TV相比，TGV不但能夠避免階梯效應，而且還具有良好的保邊性能.TGV是TV的繼承和發(fā)展，對于圖像處理是有效的.由于TGV具有簡單的數(shù)學表達形式并能夠?qū)D像特征進行有效表達，二階TGV正則圖像處理模型引起了圖像處理界的廣泛注意[16].2014年，Wensen Feng等提出去除乘性噪聲的二階TGV正則的非凸模型和凸模型[17].

但是由于圖像的性質(zhì)，二階TGV正則模型具有以下不足.

(1)細節(jié)丟失.噪聲的存在使得平滑區(qū)域并不能很好的確定，弱邊緣會被淹沒在噪聲中，而在平滑過程中，正則項會把小的邊緣當作噪聲進行平滑，導致一些細節(jié)信息會被磨光.

(2)邊緣出現(xiàn)模糊現(xiàn)象.在方程的演化過程中，二階導數(shù)對邊緣也會起到磨光作用，也就導致圖像的邊緣模糊[18].

上述基于TV(TGV)正則去除乘性噪聲的模型中正則項的參數(shù)在各點處是相同的.目前國內(nèi)外大多數(shù)學者使用全局稀疏度控制參數(shù)，例如根據(jù)經(jīng)驗手動設置，或者根據(jù)圖像的噪聲強度計算一個L1全局的正則化參數(shù).在實際問題中，圖像各點處的結構不同，并不完全符合上述先驗假定.

TGV正則的一階導數(shù)項和二階導數(shù)項的比例系數(shù)的選擇方法是依靠經(jīng)驗調(diào)節(jié)的.實際情況是應該根據(jù)圖像的不同結構區(qū)域(例如邊緣和平滑區(qū)域)而選擇不同的比例系數(shù).

上述全變差模型、TGV正則模型及它們的改進形式(如分數(shù)階擴散模型)都屬于全局正則性先驗.全局正則性先驗假定圖像屬于某個具有一定光滑性的函數(shù)空間(例如：TV空間和Besov空間)，并以定義在該空間上的范數(shù)或者半范數(shù)的全局正則來對圖像進行整體約束，這類模型的求解是在特定的函數(shù)空間內(nèi)進行.這種先驗由于具有嚴格的數(shù)學理論而在圖像處理界廣泛的應用.但全局正則性先驗只關注圖像的整體正則性，而沒有考慮圖像中非常多樣的局部結構.盡管全局正則性先驗在一定程度上考慮了圖像像素直接的相關性，但是沒有充分利用圖像具有大量的相似結構[19].

近幾年，隨著壓縮感知[20,21]理論的突破，圖像處理與分析的稀疏表示理論已經(jīng)成為新的熱點研究問題.為了避免 NP 難問題，也常用L1范數(shù)來代替L0范數(shù).目前，大多數(shù)國內(nèi)外稀疏表示研究進展集中在提出各種L1范數(shù)優(yōu)化求解算法，來提高圖像稀疏性表示以及優(yōu)化算法的效率.其中E. Candes等人提出了基于迭代重加權的L1范數(shù)的壓縮感知恢復算法[22]，他們使用加權L1范數(shù)來更好地逼近L0范數(shù)，并用實驗證明了加權L1范數(shù)能夠獲得更高的稀疏度.在他們的方法中，用初始恢復的表示系數(shù)的倒數(shù)來控制每一個系數(shù)的稀疏性.

在文獻[5,6]的基礎上，基于最大后驗概率(MAP)和EM算法，文獻[23]提出了迭代重加權全變差去噪模型，該文獻使用加權L1范數(shù)來更好地逼近L0范數(shù)，其權函數(shù)取值由最大期望值(Expectation Maximum, EM)算法得到.

假設圖像服從Gibbs類型的先驗分布：

(4)

其中，c是規(guī)范化常數(shù)，φ(·)是非負函數(shù)，λ是先驗分布參數(shù).利用最大后驗概率(MAP)易得到文獻[2,3]的模型.

u的恢復模型先驗是圖像各點服從Gibbs類型的分布，在各點具有相同的先驗參數(shù).而圖像各點的結構并不相同，在模型演化過程要求正則項自適應的根據(jù)圖像結構來處理，因此上述先驗假定與圖像的屬性并不完全符合.我們可以通過進一步假定圖像服從下述的先驗分布：

(5)

利用最大后驗概率估計(MAP)，我們提出如下泛函極小化問題

(6)

利用對數(shù)變換z(x)=logu(x)，將(6)式改寫為如下形式

(7)

采用EM算法確定(7)式中的最優(yōu)權函數(shù)λ(x)

(8)

上式表明：基于EM方法的λ(x)應該取為φ(u)關于加權平均的倒數(shù).

文獻[24]把迭代重加權全變差去噪模型進一步推廣為迭代重加權Hessian矩陣Frobenius范數(shù)(F-范數(shù))正則去噪模型.迭代重加權在有效去噪的同時，較好地保留了圖像的邊緣和細節(jié)信息.圖1是Lena圖像的去噪效果比較.

圖1 Lena圖像的去噪實驗效果比較

由前面的敘述可見，基于L1優(yōu)化的圖像去乘性噪聲問題，特別是基于稀疏表示的去乘性噪聲問題作為當前圖像處理和應用數(shù)學研究的前沿技術問題已經(jīng)在國際上展開，但仍需進一步完善.一般來說，圖像在空域及變換域均具有平穩(wěn)性和結構冗余性，也就是像素與像素之間存在相關關系，盡管全變差模型以及廣義全變差模型考慮到了像素點和周圍點的關系,但是這類模型不能有效地描述這種相關關系[19].

描述圖像的主要困難在于其具有超高的維數(shù)，一種有效的方法是采用“分而治之”的策略，也就是將圖像剖分成維數(shù)較低的小塊,并通過對每一塊的描述來間接描述整個圖像，這種思想類似于逼近論中對復雜未知函數(shù)作簡單函數(shù)分段逼近.最近的去除乘性噪聲文獻充分利用圖像的自相似性，利用相似塊組整體結構的先驗對圖像恢復模型進行約束.例如，在K-SVD 算法[25-27]的基礎上Yumei Huang等提出了去除乘性噪聲的字典學習模型[28].HOSVD模型[29]綜合利用了圖像表示的稀疏性和自相似性，對圖像的相似塊在自適應變換基下進行有效稀疏表示.我們的最近研究[30]表明HOSVD正則模型去除乘性噪聲能夠取得很好的去噪效果.