一種改進加窗三峰插值快速傅立葉變換諧波分析方法

郭振濤， 遲長春， 陳正馨

(1. 上海電機學(xué)院 電氣學(xué)院， 上海 201306； 2. 上海電科電器科技有限公司, 上海 200063)

隨著國家經(jīng)濟的發(fā)展，對智能電網(wǎng)建設(shè)提出了更高的要求，使得電網(wǎng)更加復(fù)雜。電網(wǎng)中接入的電弧爐等非線性負(fù)載和電力電子器件，產(chǎn)生了大量諧波。電網(wǎng)中的諧波對電網(wǎng)穩(wěn)定性和電力系統(tǒng)的安全運行造成了極大的負(fù)面影響，同時對電能質(zhì)量監(jiān)測裝置的測量精度提出了更高的要求[1]。

快速傅立葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)具有計算簡單、效率高的優(yōu)點，是分析電力系統(tǒng)諧波較為常用的方法[2]。只有準(zhǔn)確提取信號中基波和諧波的幅值、頻率、相位參數(shù)，諧波檢測的結(jié)果才能更加精確。由于實際應(yīng)用中無法進行同步采樣，非同步采樣、非整周期截斷會產(chǎn)生頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)[3]，進而導(dǎo)致諧波信號參數(shù)的計算誤差較大，故在對被測信號進行FFT時，需要加合適的窗函數(shù)、插值修正來抑制頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)。國內(nèi)外學(xué)者提出了矩形窗[2]、Hamming窗[3]、Hanning 窗[4]、Blackman 窗[5]、Blackman-Harris 窗[6]、Nuttall 窗[7]，單譜線插值[8]、雙譜線插值[9]、三譜線插值[10]、四譜線插值[11]等信號加窗插值 FFT 分析算法。這些加窗插值算法對于頻譜泄漏的抑制起到了一定的作用，也不同程度的減小了諧波參數(shù)的計算誤差，提高了準(zhǔn)確度。但是由于經(jīng)典窗函數(shù)不具有良好的旁瓣特性[12-13]，不能很好地抑制頻譜泄漏。因此，采用加經(jīng)典窗函數(shù)的插值FFT算法分析諧波時，計算精度仍難以提高，且計算量較大。

本文分析了Nuttall窗、Kaiser窗的旁瓣特性，發(fā)現(xiàn)Nuttall窗的旁瓣衰減速率較大[14-16]，β=25時，Kaiser窗的旁瓣峰值電平較低，三峰插值具有較高的計算速度和準(zhǔn)確度?？紤]Nuttall窗具有良好的旁瓣特性，Kaiser窗有較強的頻譜泄漏抑制能力以及靈活的形狀參數(shù)改變特性[17-19]，所以本文利用Nuttall窗-Kaiser窗良好的旁瓣特性和其各自的優(yōu)點[20]，研究了一種基于納托爾凱塞組合窗(簡稱N_K組合窗)三峰插值FFT諧波分析算法。在Matlab計算軟件平臺中調(diào)用polyfit函數(shù)進行多項式擬合，得出最優(yōu)的信號基波及各次諧波參數(shù)的插值修正公式，由此推導(dǎo)出含有諧波分量信號的各個參數(shù)計算公式?；贛atlab計算軟件平臺對Hanning 窗、Blackman 窗、N_K組合窗插值FFT算法進行仿真分析，仿真采用的信號模型為含有21次諧波的電壓信號。將N_K組合窗三峰插值FFT諧波分析算法應(yīng)用到電能質(zhì)量監(jiān)測裝置中，通過對比實驗，驗證了算法的可行性與實用性。

1 基于N_K組合窗的三峰插值FFT分析

1.1 N_K組合窗

設(shè)包含多項整數(shù)次諧波的離散時間信號為

(1)

式中：I為所含諧波的項數(shù)；fs為采樣頻率。f1為基波頻率;ri,Ai,θi為第i相諧波的次數(shù)、幅值和相位。

本文采用N_K組合窗函數(shù)W(ω)來處理如式(1)的離散信號，N_K 組合窗頻譜函數(shù)為

W(ω)=χWN(ω)+γWK(ω)

(2)

式中:χ和γ分別為Nuttall窗、Kaiser窗的權(quán)重系數(shù)，χ和γ值可以任意變化，在此取相等權(quán)重。

WN(ω)為Nuttall窗的頻譜函數(shù)為

(3)

WK(ω)為Kaiser窗的頻譜函數(shù)為

(4)

文獻[16-17,21-22]中對關(guān)于Nuttall窗和Kaiser窗進行了研究，并基于大量仿真和實驗。本文采用β=25 時的Kaiser 窗和4項3階Nuttall窗構(gòu)造N_K組合窗函數(shù)，令χ=γ=0.5，對諧波信號進行處理。

設(shè)ω=2πk/N，由以上公式得組合窗函數(shù)的離散頻譜函數(shù)為

(5)

用組合窗函數(shù)對式(1)中x(n)進行離散抽樣，得到在正頻點附近加組合窗后的離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)式為

(6)

式中:Δf為離散抽樣間隔(Δf=fs/N)。

在保證計算精度的前提下，忽略其余各相諧波對所需測量的第i項諧波的泄漏影響可簡化計算，將式(6)化簡為

(7)

圖1為Nuttall窗、Kaiser窗和本文所提出的N_K組合窗的歸一化對數(shù)頻譜。由圖1可知，N_K組合窗的旁瓣峰值電平為-125 dB，衰減速率為30 dB/oct，充分發(fā)揮了4項3階Nuttall窗衰減速率大和Kaiser窗(β=25)旁瓣峰值電平低的優(yōu)點，比Kaiser窗具有更好的抗噪性，比Nuttall窗具有更好的旁瓣特性，抑制頻譜泄漏能力更強。

1.2 N_K組合窗三峰插值算法

對信號進行分析時，由于非同步采樣，導(dǎo)致柵欄效應(yīng)，使得峰值頻點與離散譜線頻點不一致，所以ki一般都不是整數(shù)。設(shè)ki為理論上的峰值譜線，ki1為ki附近實際采樣的最大譜線，ki2,ki3是ki1左右兩邊的次大譜線和最大譜線。設(shè)α=ki-ki1(α∈[-0.5,0.5])，ki2=ki1-1≤ki≤ki3=ki1+1，得ki2-ki=-1-α,ki3-ki=1-α，譜線ki2,ki1,ki3是對應(yīng)的幅值為：y1=|X′(ki2Δf)|，y2=|X′(ki1Δf)|，y3=|X′(ki3Δf)|。

(8)

記式(8)δ=h(α)，其反函數(shù)α=h-1(δ)。

將k=-α±1代入式(5)，由于N一般都較大，故可得:

(9)

將式(9)代入式(8)，采用Matlab計算軟件平臺中Polyfit函數(shù)進行多項式擬合逼近，計算求得α=h-1(δ)的擬合逼近式為

α=H(δ)

(10)

由δ求出參數(shù)α，諧波信號的頻率修正公式為

fi=kiΔf=(α+ki1-1)Δf

(11)

本文利用實際采樣所得的最大譜線ki1和其附近的兩條譜線ki2和ki3所包含的幅值信息進行三峰插值修正，因為最大譜線ki1對應(yīng)的幅值y2值最大，所以賦予其最大權(quán)重2，則幅值的修正公式如下：

(12)

令

采用擬合函數(shù)進行多項式逼近，可得逼近式為

(13)

由式(5)、式(7)得組合窗第i相諧波的相位修正公式為

*α

(14)

在Matlab中調(diào)用Polyfit函數(shù)進行多項式擬合逼近可以求得N_R組合窗的幅值修正公式為

α=3.352 737 827 71δ5+1.145 796 812 14δ3+3.558 785 673 96δ

(15)

g(α)=0.217 925 132 15α4+0.793 761 533 42α2+3.542 725 868 38

(16)

2 仿真分析與實例研究

2.1 對比仿真分析

為了驗證本文所研究算法的計算精確度，對含有21次諧波的信號進行仿真分析，信號模型為

(17)

式中:基波頻率f1=50.2 Hz，采樣頻率fs=1 kHz，數(shù)據(jù)截斷長度N=1 024。仿真信號的基波和各次諧波(以h表示)的幅值(Ah)和相位(φh)數(shù)值見表1。

表1 仿真信號的基波和諧波參數(shù)

選用文獻[23]中提出的Hanning窗、Blackman窗與本文N_K組合窗進行仿真對比分析。圖2和圖3分別是幅值和相位的誤差仿真結(jié)果。由圖可知,采用的N_K組合窗三峰插值FFT算法計算出的基波幅值相對誤差為-2.1×10-5%，基波相位相對誤差為3.2×10-7%。由對比曲線可以看出，基于N_K組合窗的加窗插值算法對于高次諧波的計算誤差浮動很小，算法的穩(wěn)定性很好。幅值計算精度比采用文獻[23]中Hanning窗、Blackman窗的加窗插值算法高出2～3個數(shù)量級；相位計算精度高出5個數(shù)量級?？梢奛_K組合窗旁瓣特性很好，能有效抑制頻譜泄漏的影響。仿真結(jié)果表明，本文采用的N_K組合窗三峰插值FFT算法的參數(shù)計算精確度更高。

圖2 幅值計算相對誤差比較

圖3 相位計算相對誤差比較

2.2 實際測試與應(yīng)用

基于N_K組合窗三峰插值FFT算法已經(jīng)在上海電機學(xué)院與上海電科電器科技有限公司(以下簡稱公司)聯(lián)合研制的電能質(zhì)量監(jiān)測裝置上得到了應(yīng)用，硬件結(jié)構(gòu)如圖4所示。

本文所研制的電能質(zhì)量監(jiān)測裝置采用了OMAP-L138 +ADE7880 結(jié)構(gòu)形式，OMAP-L138是一款異構(gòu)雙核心處理器，它發(fā)揮了數(shù)字信號處理器(Digital Signal Processing,DSP)的高計算性能和ARM高效的事務(wù)處理能力，并且OMAP-L138的功耗和成本都較低。三相電能計量芯片ADE7880是美國的ADI公司的產(chǎn)品，具有獨立的信號采集單元，測量精度高，可對三相電壓、電流進行同步采集，并將采集到的波形進行計算獲得電能參數(shù)，大大節(jié)省了OMAP-L138中DSP的資源。利用DSP和本文算法實現(xiàn)了基波與諧波電能計量和諧波參數(shù)檢測，ARM負(fù)責(zé)系統(tǒng)的管理，包括人機接口、顯示、通信和存儲。

圖4 硬件結(jié)構(gòu)框圖

為了驗證本文研究的N_K組合窗三峰插值FFT算法的參數(shù)計算精確度和實用性，在公司的實驗室對應(yīng)用了本算法的電能質(zhì)量監(jiān)測裝置進行了實驗。采用XL803A三相程控標(biāo)準(zhǔn)信號源，提供含有高次諧波的電壓信號。為使結(jié)果更加精確，采用電能質(zhì)量精準(zhǔn)測驗三相功率計Fluke1732作為對照組，對信號源產(chǎn)生的信號同時監(jiān)測，表2為計算出的相對誤差。采樣頻率為8 kHz，采樣點數(shù)2 048點。測得實際信號頻率為50.038 Hz。

本算法在電能質(zhì)量監(jiān)測裝置上的成功運用，表示該算法具有很強的實用性。由表2可知，47次諧波幅值相對誤差為-5.6×10-7，相位相對誤差為-6.2×10-5，頻率計算的相對誤差為4.5×10-7，表明本算法在實際應(yīng)用中對高次諧波信號的計算誤差依然很小，計算精度很高。

表2 幅值相位相對誤差 %

3 結(jié) 語

本文在分析Nuttall 窗、Kaiser窗的旁瓣特性的基礎(chǔ)上，綜合兩種窗函數(shù)的優(yōu)點，構(gòu)建了N_K組合窗函數(shù)。結(jié)合計算準(zhǔn)確度高且運算速度快的三峰插值法，推導(dǎo)出實用且計算簡單的信號基波及各次諧波參數(shù)的修正公式?；贛atlab計算軟件平臺，對信號進行加Hanning窗、Blackman窗、N_K組合窗三峰插值FFT算法仿真，對比分析3種算法仿真出的誤差結(jié)果，發(fā)現(xiàn)采用本文研究的N_K組合窗，在非同步采樣的條件下，比加Hanning窗、Blackman窗處理信號得到的結(jié)果，檢測精度更高，同時比加經(jīng)典窗及其他插值算法要高出2～3個數(shù)量級，頻譜泄露抑制的效果非常顯著，對于信號中高次諧波參數(shù)的檢測，依然保證了很高的精度。最后通過在電能質(zhì)量監(jiān)測裝置上的應(yīng)用，驗證了算法的有效性與實用性。