兩種概率分析方法的混凝土疲勞壽命模型比較

(鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 河南 新鄭 451100)

引言

自從1829年德國(guó)采礦工師W.A.J.Albert提出第一個(gè)疲勞問(wèn)題研究報(bào)告以來(lái)，人們對(duì)疲勞問(wèn)題的研究已經(jīng)持續(xù)將近兩個(gè)世紀(jì)，但仍有許多問(wèn)題困擾著人們。其中，因混凝土自身為非均質(zhì)多相材料，在靜力作用下其相關(guān)性質(zhì)的離散度就較大，而且在疲勞荷載等動(dòng)力作用下，其相關(guān)性質(zhì)的離散度就更大，由此產(chǎn)生一系列難題。如試件制備方法、試驗(yàn)方法、試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法等。針對(duì)混凝土疲勞問(wèn)題，主要對(duì)一定強(qiáng)度等級(jí)的混凝土，在一定疲勞應(yīng)力水平下的S-N曲線、ε-N曲線、σ-ε曲線等特征參數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)研究，然后再針對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)理論分析。在對(duì)材料諸多疲勞行為的研究中，材料的疲勞壽命曲線是預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)疲勞壽命和進(jìn)行結(jié)構(gòu)抗疲勞設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。目前，常用的材料疲勞壽命曲線有兩類：應(yīng)力-壽命(S-N)曲線和應(yīng)變-壽命(ε-N)曲線。材料的疲勞壽命曲線的表述形式可采用表格形式或表達(dá)式形式，而在理論研究和工程應(yīng)用中，為準(zhǔn)確反映物理規(guī)律以及使用方便，通常采用表達(dá)式形式。譬如，因混凝土試件靜載強(qiáng)度的離散性導(dǎo)致疲勞應(yīng)力水平S的離散性加大，又進(jìn)一步導(dǎo)致疲勞壽命N的離散性更大；類似的參數(shù)還有應(yīng)變、彈性模量等，其離散性均為逐步放大。因此，S-N等曲線的這種固有缺陷是無(wú)法從根本上消除的，這就需要利用相關(guān)數(shù)學(xué)手段對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行有效分析，來(lái)提高混凝土疲勞壽命的預(yù)測(cè)精度。在1939年之前，對(duì)混凝土疲勞壽命的概率分析，基本上都是采用對(duì)數(shù)分布[1-3]或?qū)?shù)正態(tài)分布[4]。但在1939年，瑞典人Weibull提出了一種描述材料疲勞強(qiáng)度的分布模型，即Weibull分布模型[5,6]。該模型參數(shù)能較好地反映隨機(jī)荷載下機(jī)械產(chǎn)品及其零件的疲勞壽命和疲勞強(qiáng)度。而在1956年，Leiblein和Zenlen在對(duì)滾珠軸承的疲勞試驗(yàn)分析時(shí)即用到了Weibull分布。此后，Weibull分布便被廣泛應(yīng)用于零部件的疲勞分析，以及后來(lái)的可靠性分析之中。經(jīng)過(guò)多年來(lái)國(guó)內(nèi)外廣大學(xué)者[7-9]的深入系統(tǒng)地研究，不僅證明了混凝土疲勞壽命既服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布又服從兩參數(shù)Weibull分布，并通過(guò)概率函數(shù)研究了這兩種函數(shù)的逼近性；而且基于工程可靠性的Weibull分布模型，對(duì)混凝土的疲勞壽命預(yù)測(cè)更加合理。為此，本文通過(guò)相關(guān)文獻(xiàn)中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)提高疲勞壽命預(yù)測(cè)精度的方法進(jìn)行了系統(tǒng)分析，結(jié)果證明該方法是正確的。

一、結(jié)構(gòu)可靠度理論[10-12]

結(jié)構(gòu)的可靠性是指結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，在規(guī)定的條件下，完成預(yù)定功能的能力。假設(shè)結(jié)構(gòu)或構(gòu)件能完成預(yù)定功能(Z≥0)的概率稱為可靠概率，亦稱為可靠度(ps)，而不能完成預(yù)定功能的概率(Z<0)，則稱之為失效概率(Pf)。又假設(shè)功能函數(shù)(Z)僅與作用效應(yīng)(S)和結(jié)構(gòu)抗力(R)兩個(gè)基本變量有關(guān)，則結(jié)構(gòu)功能函數(shù)即為

Z=g(R，S)=R-S

(1)

當(dāng)R、S均服從正態(tài)分布，且相互獨(dú)立時(shí)，則結(jié)構(gòu)的失效概率為

(2)

失效概率為

(3)

其中，z0表示結(jié)構(gòu)的極限功能，如強(qiáng)度、撓度、裂縫極限寬度等極限狀態(tài)。

(一)對(duì)數(shù)正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)理論

在疲勞理論中，常用的對(duì)數(shù)正態(tài)分布分布形式為Y=lg(X)，其對(duì)數(shù)正態(tài)分布分為

基本變量X的概率密度函數(shù)為

(4)

對(duì)數(shù)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)為

(5)

則Y1=AX-C

(6)

(二)Weibull分布統(tǒng)計(jì)理論

在某一特定循環(huán)荷載作用下，混凝土疲勞壽命N服從一定的分布規(guī)律，用Weibull函數(shù)可表示為

(7)

其中，N0—最小壽命參數(shù)；Na—特征壽命參數(shù)，36.8%存活率下的安全壽命；b—Weibull形狀參數(shù)。

可得

(8)

可得:Y=bX-α

(9)

式(9)即為可檢驗(yàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)是否符合兩參數(shù)的Weibull分布判斷標(biāo)準(zhǔn)。若試驗(yàn)數(shù)據(jù)線性回歸表明Y與X之間線性關(guān)系良好，則說(shuō)明數(shù)據(jù)符合兩參數(shù)威布爾分布。

二、混凝土疲勞壽命的概率分析

以文獻(xiàn)[13]中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為例，利用上文推導(dǎo)結(jié)果對(duì)混凝土疲勞壽命進(jìn)行概率分析結(jié)果并以Xi=lnNi為橫坐標(biāo)，Y=φ-1(F(lnNi))為縱坐標(biāo)，則其線性回歸檢驗(yàn)結(jié)果分別如圖1中各分圖所示。

(a1)Smax=0.85

圖1 混凝土疲勞壽命的對(duì)數(shù)正態(tài)分布線性回歸檢驗(yàn)

三、結(jié)果分析

由圖1的對(duì)數(shù)正態(tài)分布線性回歸結(jié)果可知，函數(shù)Y=φ-1(F(lnNi))和Xi=lnNi在各應(yīng)力水平下均存在良好的線性關(guān)系。并在失效概率p=50%的條件下，按文獻(xiàn)[14]等所給出的疲勞壽命N的方程形式。

lgS=lg0.89443-0.0431lgN，

(10)

同樣，由圖2也可以看出，變量和變量Xi=lnNi在各應(yīng)力水平下存在良好的線性關(guān)系，并在失效概率p=50%的條件下，其疲勞方程為：

lgS=lg1.0998-0.0436lgN，

(11)

由以上分析可知，混凝土疲勞壽命既服從雙對(duì)數(shù)正態(tài)分布，又服從雙對(duì)數(shù)的雙參數(shù)Weibull分布。但對(duì)于較低應(yīng)力水平條件下，混凝土疲勞壽命數(shù)據(jù)離散性較??；而在應(yīng)力水平較高時(shí)，混凝土疲勞壽命數(shù)據(jù)離散性則較大；反映在不同回歸結(jié)果分析中，則Weibull分布更敏感于對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即離散性越小，則Weibull分布回歸系數(shù)越大；離散性越大，則Weibull分布回歸系數(shù)越小。這說(shuō)明，Weibull分布能夠同步反映混凝土疲勞壽命數(shù)據(jù)的可靠性，因此也更加適合對(duì)混凝土疲勞壽命分析。另一方面，在較高的應(yīng)力水平下，混凝土疲勞壽命數(shù)據(jù)離散性大，反映在試驗(yàn)中，則需要盡力避免干擾因素，如提高配合比設(shè)計(jì)水平，提高試件成型與養(yǎng)護(hù)工藝，試驗(yàn)步驟嚴(yán)格遵照相關(guān)規(guī)范和規(guī)定執(zhí)行等技術(shù)保障措施，努力提高試驗(yàn)精度；而反映在工程評(píng)估中，則需要給出較保守的評(píng)價(jià)才較為可靠。

四、結(jié)論

對(duì)數(shù)正態(tài)分布和雙參數(shù)Weibull分布都可以用來(lái)描述混凝土疲勞壽命S-N方程，但后者更敏感于前者對(duì)離散數(shù)據(jù)的變化。其中，具體地用上述兩種分析方法的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)應(yīng)力水平較高時(shí)，混凝土疲勞壽命數(shù)據(jù)離散性較大；而當(dāng)應(yīng)力水平較低時(shí)，混凝土疲勞壽命數(shù)據(jù)離散性則較小。因此，對(duì)于較高應(yīng)力水平時(shí)，在試驗(yàn)過(guò)程中，應(yīng)努力提高試驗(yàn)精度；而在工程評(píng)估中，則需偏于保守評(píng)價(jià)，否則易突發(fā)結(jié)構(gòu)安全隱患。