多角度論述洛倫茲力做功問(wèn)題

鄧欣宇

(南京市金陵中學(xué) 江蘇 南京 210005)

洛倫茲力是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力，是研究帶電粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)，正確認(rèn)識(shí)洛倫茲力，對(duì)于理解帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)有重要作用．關(guān)于洛倫茲力做功高中《物理·選修3-1》中僅輕描淡寫地說(shuō)洛倫茲力總是與粒子的運(yùn)動(dòng)方向垂直，不對(duì)粒子做功．

但下面的問(wèn)題中，似乎洛倫茲力又做了功．為了徹底搞清楚洛倫茲力是否做功，本文多角度地進(jìn)行了論述．

1 問(wèn)題描述

在空間有豎直方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里．在磁場(chǎng)中有一長(zhǎng)L,內(nèi)壁光滑且絕緣的細(xì)筒水平放置，筒底部有一質(zhì)量為m,帶正電荷q的小球．現(xiàn)使細(xì)管在水平面內(nèi)以u(píng)的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)．問(wèn)帶電小球離開細(xì)筒時(shí)其動(dòng)能增加多少？洛倫茲力所起的作用是什么？

2 受力分析

為了清晰地分析小球的運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)建立直角坐標(biāo)系xOy，小球初始靜止位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，細(xì)管運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閤方向，垂直方向?yàn)閥方向，如圖1所示．

圖1 直角坐標(biāo)系

小球隨細(xì)管一起沿x正向運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)的帶電小球有力的作用，這個(gè)力叫洛倫茲力．對(duì)于運(yùn)動(dòng)的正電荷，洛倫茲力的方向確定是正電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)方向所在的平面內(nèi)，右手四指由正電荷運(yùn)動(dòng)方向旋轉(zhuǎn)至磁場(chǎng)方向，大拇指所指的方向即是洛倫茲力的方向．如果是負(fù)電荷，大拇指所指方向的反方向即是洛倫茲力的方向．本例中，四指由u旋轉(zhuǎn)至B方向，確立了因u而產(chǎn)生的洛倫茲力f1指向y的正方向．在洛倫茲力f1作用下，小球在y方向運(yùn)動(dòng)，速度為v，因v又產(chǎn)生洛倫茲力f2，f2指向x的負(fù)方向，如圖2(a)所示．

圖2 受力分析

本例B和u垂直，洛倫茲力f1和f2的大小

f1=qBuf2=qBv

(1)

由于小球沿x方向做勻速運(yùn)動(dòng)，小球在x方向的受力是平衡的，說(shuō)明細(xì)管的管壁對(duì)小球有x正方向的彈性力f3，有

f2=-f3

由牛頓第三定律作用力與反作用力關(guān)系知道，細(xì)管的管壁對(duì)小球有x負(fù)方向的彈性力，同時(shí)細(xì)管的管壁受到小球?qū)ζ鋢正方向的彈性力f4，如圖2(b)所示，有

f4=-f3=f2

(2)

由于細(xì)管沿x方向做勻速運(yùn)動(dòng)，其x方向受力是平衡的，則細(xì)管還要受到外力f5作用

f5=-f4

(3)

由式(2)和式(3)知道，f5=-f2．這說(shuō)明外力f5與洛倫茲力f2大小相等，方向相反．

上面的分析中出現(xiàn)了兩個(gè)洛倫茲力，它們與小球運(yùn)動(dòng)速度存在“先后”關(guān)系，如圖3所示.

圖3 力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系

圖中可見：力產(chǎn)生了運(yùn)動(dòng)，此時(shí)力是“母”，運(yùn)動(dòng)是“子”，兩者相平行．運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生洛倫茲力，此時(shí)運(yùn)動(dòng)是“母”， 洛倫茲力是“子”，兩者相垂直．

3 運(yùn)動(dòng)分析

將x，y方向分別應(yīng)用牛頓第二定理，得

(4)

小球沿x軸做勻速運(yùn)動(dòng)，沿y軸做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)．

小球離開細(xì)管時(shí)速度

(5)

小球離開細(xì)管時(shí)動(dòng)能增加

(6)

小球運(yùn)動(dòng)方程

(7)

消去式(7)中的t，得小球軌跡方程

(8)

這是一個(gè)二次函數(shù)．

4 做功分析

本文從功的定義、功率、力與速度關(guān)系及運(yùn)動(dòng)軌跡4個(gè)角度分析洛倫茲力做功情況．

4.1 功的定義角度

功的定義為W=Fscosθ，一個(gè)力做功與否，取決于力和物體在力的方向上發(fā)生的位移，與力的名稱、性質(zhì)無(wú)關(guān)．對(duì)于本例中，在洛倫茲力f1的方向上，小球有位移，所以洛倫茲力f1對(duì)小球是做功的．f1大小不變，在小球離開細(xì)管時(shí)，其位移為L(zhǎng)．f1做功

Wf1=f1L=qBuL

(9)

洛倫茲力f2的反方向上，小球也有位移，所以洛倫茲力f2對(duì)小球也做功，為負(fù)功．f2大小是變化的，f2做功的計(jì)算需用積分，在小球離開細(xì)管時(shí)，f2反方向位移為s.f2所做的功

(10)

洛倫茲力f1與f2做功總和

Wf1+Wf2=0

(11)

洛倫茲力f1與f2做功總和為零．

4.2 功率角度

功率是指力在單位時(shí)間內(nèi)做的功，功率=力×速度．

f1和f2的功率

Pf1=f1v=qBuv

Pf2=-f2u=-qBvu

(12)

所以

Pf1+Pf2=0

(13)

洛倫茲力f1與f2每個(gè)時(shí)刻功率之和為零，則f1與f2一段時(shí)間內(nèi)做功總和必為零，即洛倫茲力f1與f2做功總和為零．

4.3 力與速度關(guān)系角度

圖2(a)中f1和f2的合力與u和v的合速度有何關(guān)系？

(14)

α=ββ+γ=α+γ=90°

(15)

可見f1,f2的合力與u,v的合速度垂直．也就是說(shuō)洛倫茲力的合力與小球的合運(yùn)動(dòng)方向垂直．所以洛倫茲力的合力對(duì)小球的合運(yùn)動(dòng)做功為零．

4.4 運(yùn)動(dòng)軌跡角度

小球在y方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，y方向速度v滿足下列關(guān)系

(16)

所以

(17)

對(duì)小球軌跡方程式(8)求導(dǎo)，得出

所以

f1dy=f2dx

(18)

Wf1+Wf2=

(19)

式中xL是小球在y方向運(yùn)動(dòng)的位移L對(duì)應(yīng)的x方向的位移．

以上從4個(gè)角度分析了洛倫茲力的合力對(duì)小球的合運(yùn)動(dòng)做功為零．

4.5 洛倫茲力的作用

既然洛倫茲力的合力對(duì)小球的合運(yùn)動(dòng)做功為零，那么小球離開細(xì)管時(shí)動(dòng)能為什么會(huì)增加？下面來(lái)解釋這個(gè)問(wèn)題．

前面已證明得出外力f5與洛倫茲力f2大小相等，方向相反，f5=-f2．則外力f5在x方向做正功，考慮到式(6)、式(9)和式(11)得

Wf5=-Wf2=Wf1=ΔEk

(20)

說(shuō)明外力克服洛倫茲力f2，通過(guò)洛倫茲力f1做功轉(zhuǎn)化，外力做功轉(zhuǎn)變?yōu)樾∏騽?dòng)能的增加．

也就是說(shuō)小球動(dòng)能的增加完全來(lái)源于外力做功，洛倫茲力在其中只是起到“二傳手”作用，對(duì)小球動(dòng)能的增加沒有本質(zhì)來(lái)源作用．

5 結(jié)論

(1)細(xì)管中帶電小球在磁場(chǎng)中隨細(xì)管做勻速直線運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，還做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，帶電小球運(yùn)動(dòng)軌跡為二次函數(shù)．

(2)洛倫茲力的合力與小球的合運(yùn)動(dòng)方向垂直．

(3) 從功的定義、功率、力與速度關(guān)系及運(yùn)動(dòng)軌跡4個(gè)角度分析得出洛倫茲力的合力對(duì)小球的合運(yùn)動(dòng)做功為零．

(4)小球動(dòng)能的增加完全來(lái)源于外力做功，洛倫茲力分力做功在能量轉(zhuǎn)換中只是起到“二傳手”作用，對(duì)小球動(dòng)能的增加沒有本質(zhì)來(lái)源作用．