答疑有法，智慧成長
——初中數(shù)學理答技巧分析

☉江蘇省無錫市第一女子中學 項 菲

學生在遇到難題時能夠及時請教老師是一種優(yōu)良的本能反應，教師及時幫助學生解決疑難能夠起到多方面的效應.學生帶著問題請教老師是其內(nèi)在需求驅動的表現(xiàn)，教師為學生診斷思維障礙則是了解學情的大好良機，這相互之間的情感交融能更好地促進學生心智的覺醒以及智慧的生成.

教師在回答學生疑問之時能夠采取的形式很多，但終究必須遵循幫助學生學會思考并形成智慧的這一原則.筆者教學中的一個實例如下.

學生疑問：已知A（2，-3），B（4，-1），C（a，0），D（a+3，0）在平面直角坐標系內(nèi)，當a為何值時能令四邊形ABCD周長最?。?/p>

幫助學生解決這一問題的整個過程如下.

一、以退為進，降低探索入口

圖1

師：大家先來看看這個問題：已知A（2，-3），B（4，-1），C（a，0），則a為何值時能令△ABC周長最??？此題會做嗎？

生1：這是求CA+CB最小的幾何問題，如圖1所示，關鍵是x軸上的點C的橫坐標.可以先找出A（2，-3）關于x軸的對稱點A′（2，3），然后連接A′B，可得直線A′B的解析式為y=-2x+7，令y=0，得x=，聯(lián)系初二學習過得內(nèi)容可知，當a=時，CA+CB最小，AB的長是一定的，因此此時△ABC周長最小.

圖2

生2：（觀察很久）：C點應該滿足CA′=CA和C、A′、B三點一線才可以.

師：觀察得很仔細，你的結果或許有用.我們回過頭來看看你們先前的問題，四邊形ABCD的周長是AB+BD+DC+CA，DC為長是3的位于x軸的動線段，AB為定線段，因此，問題直接轉化成了AC+BD最小即能令四邊形ABCD周長最小，兩定兩動求距離和最小這一問題可以轉化成兩定一動的問題嗎？（如圖2中的實線部分四邊形ABCD）

給幾位學生一定的思考與討論時間后，有學生發(fā)言了.

生3：如果將圖2中的AC向右平

通過采用現(xiàn)代的組合砂輪工具，磨削工藝和拋光工藝能夠同時實現(xiàn)。在展成法磨齒工藝中，組合砂輪工具得到了充分地使用。

移到A′D的位置，求AC+BD最小就意味著求x軸上一點D并使A′D+DB最小這一問題了.具體如下：把點A（2，-3）右移3個單位得A′（5，-3），作A′關于x軸的對稱點A′′（5，3），連接A′B，則A′B和x軸的交點就是我們要求的，而且點D確定之后點C也因此確定了.

師：能說說理由嗎？

生3：根據(jù)平移知識可得AC=A′D，A′、A′′關于x軸對稱，所以A′D=A′D，即AC=A′D，由線段基本性質得A′D+DB最小，則有AC+DB最小，因為AB、CD的長都為定值，因此四邊形ABCD的周長此時是最小的.

師：怎樣求a呢？

生4：首先求出直線A′′B的解析式y(tǒng)=4x-17，令y=0，得x=，所以a+3=，則a=.

師：還有其他辦法嗎？

生1：他是平移AC來轉化解題得，平移DB也行，我來畫圖（圖3）.

其他學生在這啟發(fā)下又畫出了圖4和圖5并進行了理由說明（略）.

圖3

圖4

圖5

教師將學生的疑問進行轉化并促進學生自主思考就好比為學生培育了智慧生長的土壤，教師在這一過程中應啟發(fā)學生這一思維主體的覺醒并使其心智得到啟發(fā).回顧此題的思考與解決，圖1中的AC=A′C，A′、C、B三點共線這兩個本質條件的靈活應用正是學生在智慧生成的過程中獲得的.

二、啟思誘導，變式中拓展思維空間

問題解決到這一階段也已經(jīng)算解決了，不過細看C、D兩點的位置不難發(fā)現(xiàn)本題仍具有一定的可變性，于是筆者提出這樣一問：假設C、D位置發(fā)生了變化，你們能不能進行新題的改編呢？

學生在另一個課余時間進行了改編題目與解答的展示.

題目1：已知A（2，-3），B（4，-1），C（0，a），D（0，a+3）在平面直角坐標系中，則a為何值時能令四邊形ABDC周長最小？

略解：如圖6，作點A關于y軸的對稱點A′并將之往上平移3個單位可得A′′（-2，0），連接A′′B與y軸相交于D，根據(jù)原題的解答可知此時四邊形ABDC的周長最小.

設直線A′′B的解析式為y=kx+b，將A′′（-2，0），B（4，-1）代入可得y=-x-.令x=0得y=-，所以a+3=-，即a=-.

題目2：已知A（2，-3），B（4，-1），C（0，a），D（b，0）在平面直角坐標系中，則a、b為何值時能令四邊形ABDC周長最??？

圖6

圖7

略解：如圖7，作點A關于y軸的對稱點A′（-2，-3），作點B關于x軸的對稱點B′（4，1），連接A′B′交x軸于點D，交y軸于點C，則四邊形ABDC周長此時最小.

筆者追問：有什么理由說它周長此時最小呢？

生1：在x、y軸上分別取不同于D、C的點D1、C1，則有BD+DC+CA=B′D+CD+CA′=B′A′＜B′D1+D1C1+C1A′（線段B′A′的長小于折線斷BD1C1A′的長），因此四邊形ABDC周長最小.

生2：設直線A′B′的解析式為y=kx+b，將A（′-2，-3），B（′4，1）代入后可得y=x-，令x=0得y=-，令y=0得x=，則當a=-，b=時，四邊形ABDC周長最小.

生3：假如將C、D兩點的坐標改成C（a，0），D（0，b），由圖8可得，當a、b不等于0時，四邊形ABDC的周長取不到最小值.

生4：我們也有將點D坐標用（a+3，0）或（0，a+3）來表示的想法，不過在符合條件的a的值上感覺有難度，是不是有什么辦法可以解決？

筆者在學生展示自編新題與解答過程中也適時進行了追問，學生在整個過程中展現(xiàn)出了流暢的思路，感受到了學生在此題的探索中已經(jīng)逐步學會了運用變化的觀點來進行可變圖形的觀察，深知學生對課本知識的本質以及思維的入口已經(jīng)很好掌握與定位，欣慰于學生內(nèi)在驅動力不斷生成的同時也對學生提出了更高的要求，請學生對問題的新型解法進行探索.

圖8

三、思路突破，探求新解法

用題目2的解法來解決生4所提出的問題確實是行不通的，因為C，D坐標中的a、b并不能滿足b=a+3，也就是說A′，C（0，a），D（a+3，0），B′或A′，C（a，0），D（0，a+3），B′不可能共線.

師生又作探討：設C（0，a）、D（a+3，0），根據(jù)兩點間距離公式得：AC+BD=，此時用代數(shù)方法求AC+BD的最小值無法解決，是否能從式子的特征結構來構造符合等式結構的圖形最終解決問題呢？大家可以再試試.

這幾個學生在又一個空余的時間呈現(xiàn)了他們的再次解答：設a+3=x，則1-a=1-（x-3）=4-x，此時AC+BD=

圖9

根據(jù)這一等式特征可以構造圖9并觀察得出：問題最終化歸為在長是4的線段上找一點C（D）并使AC+BC最小，作點B關于直線EF的對稱點B′，連AB′交EF于C，則點C即為所求，由△AEC∽△B′FC可得：2∶x=1（∶4-x），x=，由a+3=時，折線CABD的長最小.

生2受到啟發(fā)并畫出圖10進行了解答.設C（a，0），D（0，a+3），根據(jù)兩點間距離公式得AC+BD=.設a+4=x，則2-a=2-（x-4）=6-x，所以AC+，根據(jù)等式特征構造出圖11并可觀察出，當C、D重合且A、C、B三點共線時，AC+BD最小，由△AEC∽△BFC可得，4∶x=3（∶6-x），x=，由a+4=，得a=-，則a+3=，即當C（-，0 ），D（0，）時，折線CABD最短.

圖10

圖11

很顯然，在C（0，a），D（a+3，0）或C（a，0），D（0，a+3）的條件下求四邊形ABDC周長最小時a的值對于學生來說是解決不了的，但學生在原題的深度討論與探索中所獲得的智慧與感悟卻是永存心間的.

四、反思總結，引領學生智慧成長

1.引領學生在化歸中智慧成長

學生往往因為已有知識與問題結論之間無法形成聯(lián)系的通道而令自己的思維受阻，化歸是此時打破思維僵局并促進學生智慧生成的有效辦法，因此，教師在解答學生疑惑時應專注于啟發(fā)學生如何思考，使學生能夠在不斷的引導與啟發(fā)下將已有知識與有待解決的問題形成對接并順利突破.

2.引領學生在變化中智慧成長

很多教師在實際教學中往往止步于問題的解釋、思路或結果，對于問題所能產(chǎn)生的價值卻關注甚少，這對于學生的智慧成長來說是消極的.教師在解決學生疑惑時應看到問題背后隱藏的本質并引導學生進行條件、結論等的變式，使問題在不斷變化中衍生出更多的內(nèi)涵并因此促進學生智慧的生成.

3.引領學生在另辟蹊徑中智慧成長

一些暫時無法解決的問題在另辟蹊徑后往往會令學生學習興趣倍增，也能促進學生能力的超越并使學生在再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造出獲得更加光亮的思維火花，學生在這些可變性、可解性問題的探索中往往能夠迸發(fā)、生成新智慧.H