把握特征與本質(zhì)，優(yōu)選方法構(gòu)函數(shù)
——以一道幾何動(dòng)點(diǎn)問題為例

☉蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 張 萍

一、考題呈現(xiàn)，思路突破

1.考題呈現(xiàn)

（2018年江蘇宿遷市中考卷第28題）如圖1所示，在邊長(zhǎng)為1的ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別位于邊AB、CD上，將正方形ABCD沿著直線EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M始終落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、D相重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD相交于點(diǎn)P，設(shè)BE=x.

（2）隨著點(diǎn)M在邊AD上的位置發(fā)生變化，△PDM的周長(zhǎng)是否會(huì)發(fā)生變化？如若變化，請(qǐng)說明理由；如果不變，請(qǐng)求出該定值.

（3）假設(shè)四邊形BEFC的面積為S，試求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值.

圖1

2.思路突破

分析：本題目為常見的幾何動(dòng)點(diǎn)問題，問題涉及到了幾何動(dòng)點(diǎn)的長(zhǎng)度、周長(zhǎng)和面積等，求解需要借助基本圖形的性質(zhì).（1）因BE=x，則AE=1-x，求x的值可以將其放在Rt△AEM中，利用勾股定理來構(gòu)建關(guān)于x的方程，通過解方程的方式求x的值.（2）點(diǎn)M為AD上的不確定點(diǎn)，判斷△PDM的周長(zhǎng)是否會(huì)發(fā)生變化，可以將其周長(zhǎng)表示出來，利用幾何性質(zhì)對(duì)其周長(zhǎng)所涉及到的線段長(zhǎng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而確定其值，然后進(jìn)行分析.（3）四邊形BEFC為直角梯形，可以利用梯形的面積公式，（FC+BE）·BC，可知只需用含有x的參數(shù)分別表示出BE、FC的線段長(zhǎng)度即可.

解：（1）因BE=EM=x，則AE=1-x，在Rt△AEM中，AM2+AE2=EM2，則）2+（1-x）2=x2，解得x=.

圖2

（2）連接BM，BP，過點(diǎn)B作MN的垂線，垂足為點(diǎn)H，如圖2，根據(jù)條件可以證明△ABM?△HBM，所以AM=HM，AB=BH=BC，可證△BHP?△BCP，所以HP=PC，△PDM的周長(zhǎng)=MD+DP+MP，其中MP=MH+HP=AM+PC，則C△PDM=MD+DP+AM+PC=AD+DC=2，所以△PDM的周長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化，為定值2.

圖3

（3）過點(diǎn)F作BC的平行線，與AB相交于點(diǎn)Q，連接BM，如圖3，根據(jù)折疊的特性可知∠QFE=∠ABM，AB=QF，∠A=∠EQF，分析可知△ABM?△QFE，所以AM=QE，設(shè)AM=a，在Rt△AEM中利用勾股定理可得（1-x）2+a2=x2，解得，AM=QE=，則.S四邊形BEFC=（FC+BE）·BC=代入上述函數(shù)表達(dá)式可得：時(shí)，S取得最小值，最小值為.

3.考題評(píng)析

本題目屬于數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)變化問題，問題涉及到了線段、周長(zhǎng)、面積的求值，是對(duì)學(xué)生綜合分析、解題能力的考查.該類問題的顯著特點(diǎn)是以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為基本條件，給出了點(diǎn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的一個(gè)或多個(gè)變量，要求學(xué)生分析幾何變量之間關(guān)系以及圖形運(yùn)動(dòng)情況，包括線段長(zhǎng)度、角度變化、圖形形狀、幾何面積等.其中較為特殊的問題是建立關(guān)于運(yùn)動(dòng)變量的函數(shù)表達(dá)式，表面上屬于簡(jiǎn)單的函數(shù)問題，實(shí)際上是依托動(dòng)點(diǎn)，研究幾何性質(zhì)，如上述考題的第（3）問，要求建立面積S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并分析S的最大值，形式上屬于函數(shù)問題.但考慮到面積公式需要求解幾何線段，而線段長(zhǎng)度的獲得離不開幾何關(guān)系的分析，因此實(shí)質(zhì)上還是幾何性質(zhì)的分析題.本題目所求圖形為含有直角的特殊梯形，利用梯形的面積公式可以直接建立關(guān)于幾何線段的面積函數(shù)，簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化可建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)參數(shù)的二次函數(shù)，通過代數(shù)分析的方式來求解梯形面積的最大值，是幾何數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的綜合利用.

二、考題銜接，解法探究

建立幾何動(dòng)點(diǎn)中的面積函數(shù)是數(shù)學(xué)常見的考題，上述考題第（3）問所涉及幾何圖形為具有直角的梯形，因此可直接利用面積公式來完成，該種思路并不具有一般性，如若圖形為一般的幾何圖形，則難以直接利用公式求解，需要合理的對(duì)問題模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化，現(xiàn)對(duì)其求解策略進(jìn)行深入探討.

1.關(guān)于面積關(guān)系的轉(zhuǎn)化

對(duì)于一般圖形的面積函數(shù)建立，有時(shí)可以依據(jù)幾何性質(zhì)，建立一般圖形與特殊圖形的面積關(guān)系，如對(duì)于具有共同高的幾何圖形，可以依據(jù)圖形底的幾何性質(zhì)進(jìn)行等面積轉(zhuǎn)化，然后通過分析已知圖形的線段關(guān)系來建立函數(shù)解析式.

圖4

例1 （2018年山東泰安市中考卷第16題）如圖4所示，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，點(diǎn)D是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C相重合），過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接EF，設(shè)CD=x，△DEF的面積為S，則S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為__________.

分析：?jiǎn)栴}求解動(dòng)點(diǎn)的面積函數(shù)解析式，需要建立△DEF的面積與線段x之間的關(guān)系，由于△DEF為一般的三角形，無法直接利用面積公式，對(duì)于△DEF的面積求解可以以DF為底，構(gòu)建其底上的高，考慮到點(diǎn)F為線段BD的中點(diǎn)，若△DBE以BD為底，則與△DEF具有相同的高，兩者之間的面積關(guān)系為則只需求解△DBE的面積即可，而對(duì)于△DBE可以利用BC邊上的垂線DEBE·DE，后續(xù)只需研究BE、DE與CD的關(guān)系即可.

上述考題求解一般圖形的面積采用的是面積大小關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即利用線段的中點(diǎn)性質(zhì)，建立待求圖形與特殊圖形的面積關(guān)系，然后利用動(dòng)點(diǎn)建立的線段參數(shù)表示求面積所涉及的線段長(zhǎng)，整個(gè)過程思路清晰，構(gòu)思巧妙，對(duì)于規(guī)則的一般圖形面積求解有一定的參考價(jià)值.

2.利用面積割補(bǔ)的轉(zhuǎn)化

而對(duì)于一般的不規(guī)則圖形，不僅沒有可利用的面積公式，而且難以直接進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化，此時(shí)則可以考慮采用面積割補(bǔ)的方式將其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的組合，然后利用規(guī)則圖形的面積公式，建立線段長(zhǎng)度關(guān)于動(dòng)點(diǎn)參數(shù)的關(guān)系，間接獲得幾何面積的函數(shù)解析式.

例2 （2018年山東青島中考卷第24題）已知：如圖5所示，在四邊形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D開始沿著DA邊作勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿著邊AB作勻速運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)速度均為2cm/s.點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，以QA、QP為邊作平行四邊形AQPE，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），0＜t＜5.請(qǐng)根據(jù)題意回答下列問題：

（1）用含有t的代數(shù)式表示AP；

（2）設(shè)四邊形CPQB的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

分析：（1）t表示的是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，可以用距離公式來表示AP；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，實(shí)際上就是用時(shí)間t表示四邊形CPQB的面積，由于CPQB不規(guī)則，可以采用面積割補(bǔ)的方式，利用規(guī)則圖形表示其面積，如SCPQB=SABCDS△PDC-S△PQA，然后分別用t表示分割后圖形的面積即可.

解：（1） 可得AD=10，PD=2t，AP=AD-PD=10-2t.（2）SCPQB=SABCD-S△PDC-S△PQA，過點(diǎn)P作PM⊥AB于M.延長(zhǎng)MP、CD交于點(diǎn)N，則四邊形NMBC為矩形，∠N=90°，則AQ·PM，其中NP=t，AQ=2t，PM=6-t，所以×（8+16）×6-

圖5

本題目所求四邊形為不規(guī)則四邊形，無法利用面積公式來直接建立關(guān)于時(shí)間參數(shù)的面積函數(shù)，解題過程采用面積割補(bǔ)的方式來構(gòu)建四邊形，然后分別建立圖形面積關(guān)于時(shí)間參數(shù)的函數(shù).需要注意的是在求解線段長(zhǎng)時(shí)要合理利用幾何性質(zhì)，如線段垂直、角平分線等.

求解幾何動(dòng)點(diǎn)的面積函數(shù)需要利用面積公式，將面積轉(zhuǎn)化為線段關(guān)于動(dòng)點(diǎn)參數(shù)的函數(shù)，轉(zhuǎn)化的方法與所求圖形的形狀有著直接的關(guān)系，即形狀決定解法，對(duì)于特殊的圖形可以采用直接求解的方式，而對(duì)于一般的三角形則可以采用面積關(guān)系法，不規(guī)則圖形則可以采用面積割補(bǔ)的方式，利用規(guī)則圖形的面積函數(shù)來完成.

三、解后思考，總結(jié)感悟

幾何動(dòng)點(diǎn)的問題類型很多，其中構(gòu)建面積函數(shù)的表達(dá)式是其中較為特殊的問題，由于動(dòng)點(diǎn)的存在，圖形的形狀呈現(xiàn)多樣性，打開問題的突破口是構(gòu)建基本解題框架的關(guān)鍵，需要把握問題特征，挖掘問題的本質(zhì)，結(jié)合有效的思想方法及構(gòu)建方式來完成.

（1）問題特征：對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問題的特征提取，需要從點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形式以及問題條件來看，求面積需要已知邊長(zhǎng)，則需要將運(yùn)動(dòng)參數(shù)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度，因此需要注意提取問題中的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，并確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

（2）問題本質(zhì)：動(dòng)點(diǎn)函數(shù)表達(dá)式求解題，雖然從形式上看屬于函數(shù)問題，但考慮到求解過程需要已知幾何的線段長(zhǎng)度，因此需要分析幾何的關(guān)系，因此依然屬于幾何性質(zhì)、關(guān)系的分析題，求解的關(guān)鍵是構(gòu)建線段長(zhǎng)度關(guān)于運(yùn)動(dòng)參數(shù)的關(guān)系，該過程離不開幾何性質(zhì)的利用.

（3）求解思想：該類問題的解題過程實(shí)際上是依托轉(zhuǎn)化思想來對(duì)問題和條件進(jìn)行的轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化已知問題形式，聯(lián)系已知條件，在此基礎(chǔ)上利用方程思想來構(gòu)建函數(shù)的表達(dá)式，建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系，并考慮變量的取值.

（4）解題方法：對(duì)于不同的問題條件需要采用對(duì)應(yīng)的解題方法，其中直接求解、面積關(guān)系、面積割補(bǔ)是其中常用的方法，方法選取得當(dāng)可以極大的提高解題效率，需要注意的是方法的選取要結(jié)合點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況.

動(dòng)態(tài)面積函數(shù)表達(dá)式求解題雖然相對(duì)較為復(fù)雜，但可以遵循一定的解題策略，即首先分析圖形特征，確定運(yùn)動(dòng)規(guī)律；然后轉(zhuǎn)化問題條件，探尋幾何關(guān)系；最后求解線段長(zhǎng)度，構(gòu)建關(guān)于面積函數(shù)的表達(dá)式.動(dòng)態(tài)幾何問題是對(duì)知識(shí)與能力的多重考查，求解過程不僅是知識(shí)的綜合利用，還需要調(diào)動(dòng)思維，結(jié)合思想方法來探究，因此鞏固基本知識(shí)，建立知識(shí)聯(lián)系，強(qiáng)化解題思想是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.