“探”問題聯(lián)系 “析”圖形結(jié)構(gòu)
——2018年安徽省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題壓軸題賞析

☉安徽省合肥市行知學(xué)校 周向榮

☉安徽省淮北市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 邱廣東

一、真題呈現(xiàn)

以下是2018年安徽省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題壓軸題：

如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E.點(diǎn)M為BD中點(diǎn).CM的延長線交AB于點(diǎn)F.

（1）求證：CM=EM；

（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大??；

（3）如圖2，若△DAE≌△CEM，點(diǎn)N為CM的中點(diǎn)，求證：AN∥EM.

圖1

圖2

二、答案簡析

第（1）問利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得CM=BD=EM.

第（2）問仍抓住“直角三角形斜邊上的中線把其分成兩個(gè)等腰三角形”這一特點(diǎn)，可得∠EMF=180°-∠EMC=180°-（∠EMD+ ∠CMD）=180°-2 （∠EBD+∠CBD）=180°-2∠ABC=180°-2（90°-∠BAC）=180°-2×（90°-50°）=100°.

第（3）問是本大題難點(diǎn).最基本的兩種證法如下：

思路一：由題意可得AE=EM=CM=DE=DM，∠CME=90°，∠AEM=150°，∠EAC=45°，∠MCA=75°.若連接AM，可證∠AMC=∠ACM=75°.又點(diǎn)N為MC的中點(diǎn)，所以AN⊥MC，因此AN∥EM.

三、試題賞析

本題共3小問，滿分14分，考查了初中幾何直線型的核心知識，是對學(xué)生空間觀念、幾何直觀以及推理和應(yīng)用意識的綜合考查.第（1）問考查直角三角形的性質(zhì)，知道直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.第（2）問主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形中線的關(guān)系；也可以通過證明C、D、E、B四點(diǎn)共圓，其中點(diǎn)M為圓心，利用圓周角定理來解決問題.第（3）問主要考查全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)等，解題方法較多.三個(gè)設(shè)問環(huán)環(huán)相扣，第（1）問入口寬，大多學(xué)生極易上手.第（2）問是第（1）問的延伸，有利于考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維過程，以及靈活運(yùn)用知識解決問題的能力.第（3）問是對前面圖形特殊狀態(tài)下（∠BAC=45°，AE=ME）的深入研究，符合安徽省多年來命題風(fēng)格，符合核心素養(yǎng)導(dǎo)向.三個(gè)問題又呈現(xiàn)出三個(gè)不同視角，第（1）問探究邊的數(shù)量關(guān)系，第（2）問探究角的大小，第（3）問探究線段的位置關(guān)系.整體題干簡潔，有一定的區(qū)分度.下面筆者重點(diǎn)就本題從問題聯(lián)系、圖形結(jié)構(gòu)和拓展思考等角度談?wù)勛约旱目捶?

1.第（2）問的背后隱含了什么？

我們知道，圖1是一個(gè)一般直角三角形，若設(shè)∠A=α，則∠CBA=90°-α，這時(shí)∠CME=180°-2α.又CM=EM，若連接CE（如圖3），可得∠ECM=α=∠CAB.因此，無論點(diǎn)D如何運(yùn)動(dòng)，∠ECM始終等于∠CAB.當(dāng)∠CAB=45°時(shí)，∠CAB=∠CBA=∠ECF，這就變成了學(xué)生常見的半角模型，存在很多學(xué)生熟知的結(jié)論.命題者為降低難度，給出∠BAC的具體度數(shù)，求∠EMF的大小，意在讓考生領(lǐng)悟圖中角與角之間的關(guān)系，也為解決第（3）問埋下伏筆.

2.第（3）問的圖2特殊在何處？

圖2在圖1的基礎(chǔ)上增加了條件△DAE≌△CEM，本質(zhì)是將一般直角三角形變成了等腰直角三角形，且AE=EM.此時(shí)圖中出現(xiàn)了一個(gè)特殊的三等邊四邊形（有三條邊相等的四邊形）.如圖4，AE=EM=MC，且∠AEM+∠EMC=240°，其中∠EMC=90°.此圖如果弱化條件∠EMC=90°，即在四邊形AEMC中，AE=EM=MC，且∠AEM+∠EMC=240°，該四邊形能分割成一些特殊的基本圖形.

圖3

圖4

分割方法1：分割成等腰△CMP、等邊△PME和等腰△PEA（如圖5）.（附證明思路：以EM為邊作等邊△PME，連結(jié)PC、PA，可證∠MPC+∠MPE+∠EPA=180°，即點(diǎn)C、P、A三點(diǎn)共線）

分割方法2：分割成等邊△CMP、菱形PMEA和等腰△PCA（如圖6）.

分割方法3：原圖還可以看成菱形CMEP和等邊△PEA組成的圖形切割掉等腰△PCA而成（如圖7）.

基于以上任何一種分割方法，還可得到四個(gè)內(nèi)角之間有著固定的數(shù)量關(guān)系，即：若∠A=α，則∠C=120°-α，∠AEM=240°-2α，∠CME=2α. 此 時(shí) ∠CME=2∠A，∠AEM=2∠C.

特別地，在圖7中，當(dāng)∠CME=90°時(shí)（如圖8），菱形CMEP變成了正方形，此時(shí)AC=AM，點(diǎn)A在邊CM的中垂線上，即點(diǎn)A與CM中點(diǎn)的連線垂直于CM且與EM平行，這也是前面壓軸題第（3）問需要證明的結(jié)論.

圖5

圖6

圖7

圖8

3.圖2還可以提出哪些問題？

在圖2中我們知道，∠DEB=∠DCB=90°，∠DBE=30°，∠DBC=15°.若作CH⊥DB，垂足為H（如圖9），易得△DEB∽△CHM，且相似比為2∶1，其中=2.因此此圖還可以弱化為圖10.在四邊形BCDE中，∠DEB=∠DCB=90°，CH⊥BD于H，若∠EBD=2∠CBD，則DE=2CH，證明思路同上.

圖9

圖10

四、幾點(diǎn)思考

反觀學(xué)生的學(xué)、教師的教，回眸這些年安徽中考數(shù)學(xué)試題，筆者談?wù)勛约旱膸c(diǎn)思考.

1.關(guān)注聯(lián)系，加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解

一道中考幾何壓軸題往往是以多個(gè)問題來呈現(xiàn)，由易到難.命題的常見策略是從特殊到一般，或從一般到特殊，或是對互逆命題的研究等，這都是數(shù)學(xué)研究的一般思路和方法.這些都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題與問題之間必然存在一定的內(nèi)在聯(lián)系，能否看清內(nèi)在聯(lián)系往往是解決問題的關(guān)鍵.因此，在習(xí)題教學(xué)中，教師要帶領(lǐng)學(xué)生分析命題者設(shè)置問題背后的所思所想，通過分析問題間聯(lián)系，尋求難題的解決路徑.不僅如此，為提高這方面認(rèn)識，在新知教學(xué)階段，特別是九年級復(fù)習(xí)教學(xué)，都需要教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)梳理知識結(jié)構(gòu)，認(rèn)清代數(shù)、幾何、三角等各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，同時(shí)也明晰同一部分內(nèi)容中知識的前后邏輯關(guān)系——縱向聯(lián)系、橫向聯(lián)系，從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)研究的一般思路和方法，從而加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

2.加強(qiáng)基本圖形的再探究，加深對圖形結(jié)構(gòu)的理解

何為基本圖形？筆者認(rèn)為平時(shí)所學(xué)的等腰三角形、直角三角形、平行四邊形等就是平面圖形中的基本圖形，初中數(shù)學(xué)教材中系統(tǒng)研究了這些圖形定義、判定及其性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上還學(xué)習(xí)了特殊的等腰三角形和特殊的平行四邊形的相關(guān)知識.由于基本圖形內(nèi)涵豐富，變化空間大，介于一般四邊形與平行四邊形之間還有很多未曾開墾的領(lǐng)域值得關(guān)注，因此有很大的再探究空間.比如只有一組對邊平行的四邊形（梯形），2018年安徽中考數(shù)學(xué)壓軸題中出現(xiàn)的有三條邊相等的四邊形，一組對角為直角的四邊形（即共圓的四邊形），等等.它們同樣有著一些豐富的結(jié)論.歷年安徽中考數(shù)學(xué)試題一直與特殊四邊形有著解不開的情結(jié).比如2013年安徽中考數(shù)學(xué)第23題，研究對象是只有一組鄰角的四邊形（準(zhǔn)等腰梯形）；2015年安徽中考數(shù)學(xué)第8題，研究對象是有三個(gè)內(nèi)角相等的四邊形；2015年安徽中考數(shù)學(xué)第23題，研究對象是只有一組對邊相等的四邊形；2017年安徽中考數(shù)學(xué)第20題，研究對象是一組對邊平行一組對角相等的四邊形等.

幾何基本圖形的再探究一直是安徽中考命題的試驗(yàn)田.在平時(shí)的教學(xué)中，帶領(lǐng)學(xué)生通過對具有某一特征的圖形深入研究，掌握其內(nèi)涵及外延.在遇到一個(gè)復(fù)雜圖形時(shí)，將其進(jìn)行分離，若有研究過的基本圖形，就可以直接運(yùn)用研究結(jié)果有效解決問題.同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀能力，提高了對圖形的認(rèn)識，能從令人眼花繚亂的圖形中窺探出我們熟知的幾何圖形，化整為零.

3.指向核心素養(yǎng)，關(guān)注試題命制改革

考試評價(jià)是教育教學(xué)的指揮棒，它直接決定教師學(xué)科教學(xué)的方向和內(nèi)容.考什么、評什么就教什么，這是教師最現(xiàn)實(shí)也是最無奈的選擇.因此考試評價(jià)改革是讓核心素養(yǎng)落地的最直接、最重要的保障.為提升基于核心素養(yǎng)的命題改革，本題做了很有價(jià)值的嘗試，立意具有方向性和層次性，設(shè)問具有思維性和開放性.這也是命題走向核心素養(yǎng)的基本要求.

我們究竟要考什么？是知識、技能，還是能力、素養(yǎng)，這是命題工作的方向和靈魂.解決本題需要具備的知識都是學(xué)生必須掌握的非常熟悉的知識，能否解決問題區(qū)別在于學(xué)生的能力及素養(yǎng).特別對于第（3）問，要求學(xué)生能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法和探究能力，運(yùn)用結(jié)構(gòu)化的知識、技能，創(chuàng)造性地解決問題.在設(shè)問上，三個(gè)問題學(xué)生感覺熟悉而又陌生.其中第（3）問給予了考生獨(dú)立思考和個(gè)性表達(dá)的空間，充分展現(xiàn)考生在解決問題過程中的思維品質(zhì).

據(jù)了解，不少考生花了接近一個(gè)小時(shí)來做這一題，占考試時(shí)間的一半，而且并未解決.這說明不少學(xué)生對于陌生題解題能力較弱，平時(shí)訓(xùn)練只一味刷題，只注重題量，不注重反思總結(jié)；教師教學(xué)時(shí)，只關(guān)注解題過程及結(jié)果，忽視思維過程的呈現(xiàn)等，這都值得我們反思.

總之，這是一道信度與效度較高的中考數(shù)學(xué)壓軸題，體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）倡導(dǎo)的“面向全體學(xué)生”的基本理念，關(guān)注核心內(nèi)容，引領(lǐng)并促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在平時(shí)的教學(xué)中落地生根.J