不同的視角 別樣的精彩*

☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部 邢成云

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”.蘇軾的《題西林壁》富有哲理地道出了觀察視角的不同，觀察的結(jié)果會(huì)迥異.解題亦然，由于解題者知識(shí)儲(chǔ)備的不同、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的差異，對(duì)相同問(wèn)題的思維視角可能相異，從而出現(xiàn)了解題思路的多向性.本文擬通過(guò)3個(gè)典型題目，多方聯(lián)想，廣開(kāi)思路，轉(zhuǎn)換視角，追求從另一角度觀察與思考問(wèn)題，在不同的路徑中演繹不一樣的精彩，藉此為載體，立足數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生思維，提高學(xué)生學(xué)力.

例1 現(xiàn)行人教版八下教材《勾股定理》一章復(fù)習(xí)題17（P39）加進(jìn)了一道拓廣探索題（14題），題目如下：

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)及斜邊上的高分別為a，b及h.求證

視角一（勾股定理）：如圖1，由勾股定理知，a2+b2=c2，

將其代入a2+b2=c2得a2+b2，=，

圖1

說(shuō)明：由直角三角形的圖形，另由求證的結(jié)果中的平方關(guān)系，聯(lián)想到勾股定理應(yīng)該說(shuō)是順乎其理；又由求證結(jié)論中出現(xiàn)h，不難想到面積的關(guān)系，通過(guò)“ab=ch”把勾股定理中的c代換掉（亦即“消除差異”法）.以上實(shí)踐見(jiàn)證了勾股定理與面積關(guān)系攜手的作用.另外，本題可以衍生出幾個(gè)問(wèn)題：

（1）求證：AC2-BC2=AD2-DB2；

（3）求證：以邊長(zhǎng)分別為a+b，c+h，h的三角形是直角三角形.

視角二（射影定理）：設(shè)BD=m，則a2=mc，b2=（c-m）c，h2=m（c-m），

即左邊=右邊，故得證.

說(shuō)明：筆者通過(guò)課程整合，現(xiàn)任的初二學(xué)生已經(jīng)完成了相似性的學(xué)習(xí)，為了與高中接軌還引入了射影定理，鑒于此，由求證結(jié)論的外在結(jié)構(gòu)（出現(xiàn)a2，b2，h2這恰是射影定理的三個(gè)“冠頭”）聯(lián)想，射影定理派上用場(chǎng).從證明過(guò)程可見(jiàn)，這個(gè)證明從等式的兩端分別入手計(jì)算，殊途同歸，用到的僅是分式的運(yùn)算，這無(wú)疑是自然的思路、大眾化的思路，但前提是要學(xué)過(guò)射影定理.可見(jiàn)，所謂自然思路一定是基于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)的思路，這個(gè)現(xiàn)實(shí)又與課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求和執(zhí)教者在教學(xué)定位下促成學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”有關(guān).

由于sin2B+cos2B=1，又A+B=90°，則有sin2B+sin2A=1，

兩邊同時(shí)除以h2，得

說(shuō)明：這一思路同樣是較高要求下的產(chǎn)物，三角關(guān)系式在新課標(biāo)中明令不再學(xué)習(xí)，但筆者帶領(lǐng)學(xué)生研究三角函數(shù)時(shí)，很自然地獲得這一關(guān)系，非刻意求之而得，可見(jiàn)，把這一關(guān)系式淡出筆者認(rèn)為沒(méi)有必要，實(shí)踐證明，學(xué)生完全可以接受它、學(xué)好它.本思路源自“1”的聯(lián)想以及銳角三角函數(shù)的定義式——線(xiàn)段之比.

點(diǎn)評(píng)：三個(gè)視角，三個(gè)思路，各有千秋，且均基于“自然生成”：有結(jié)論的平方關(guān)系，廣泛聯(lián)想與之相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)有勾股定理、射影定理、三角函數(shù)關(guān)系式等，由于注目點(diǎn)的不同、主觀意識(shí)的差異等，導(dǎo)致了思路的相異.實(shí)踐證明，在教學(xué)中適時(shí)拋給學(xué)生去思考、去解決，除了鞏固現(xiàn)實(shí)所學(xué)的成果外，更重要的是擴(kuò)展了學(xué)生的思路與視域，使得面對(duì)同樣的問(wèn)題，思路不至于逼窄于一隅.廣泛的聯(lián)想產(chǎn)生相異的思路能助推學(xué)生想象的積極性，給學(xué)生以信心.因此，通透題目的條件展開(kāi)廣泛聯(lián)想至關(guān)重要.

例2 如圖2，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.

（1）求證：BC是⊙O切線(xiàn)；

（2）若BD=5，DC=3，求AC的長(zhǎng).

解：（1）證明：略，如圖3.

圖2

圖3

（2）視角1：構(gòu)造對(duì)稱(chēng).

方法1：如圖4，過(guò)D作DE⊥AB于E.所以∠AED=∠C=90°.

又因?yàn)锳D=AD，∠EAD=∠CAD，所以△AED≌△ACD.所以AE=AC，DE=DC=3.

圖4

在Rt△BED中，∠BED=90°，由勾股定理，得BE==4.

在Rt△ABC中，（BE+AE）2=AC2+BC2，解得AC=6.

方法2：如圖5，延長(zhǎng)AC到E，使得AE=AB.

因 為 AD=AD，∠EAD=∠BAD，所以△AED≌△ABD.所以ED=BD=5.

在Rt△DCE中，∠DCE=90°，由勾股定理，得CE=4. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=BD+DC=8.

由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，

圖5

即AC2+82=（AC+4）2.

解得AC=6.

方法3：如圖6，記AB與⊙O的交點(diǎn)為E，連接ED并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F（等價(jià)于通過(guò)點(diǎn)D作AD的垂線(xiàn)構(gòu)造對(duì)稱(chēng)，其實(shí)也是由直徑想到直徑所對(duì)圓周角的構(gòu)成圖的進(jìn)一步完善）.

圖6

視角二：構(gòu)造等腰.

方法4：①如圖7，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，易證△ECD∽△ABD，AC=EC，得，設(shè)AC=3k，則AB=5k，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即（3k）2+82=（5k）2，解得k=2，故AC=6.

圖7

圖8

方法5：②如圖8，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，過(guò)程基本同于①，略.

方法6：③過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD交AC于點(diǎn)E，過(guò)程略.

方法7：④過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E（說(shuō)明：等同于下面的視角三）.

視角三：直接利用圖中已有的相似模型，如圖3.

方法8：由（1）得OD∥AC，易證OD=OA，設(shè)OD=x，則AO=x，可有（AB-x）∶x=5∶3，x∶AC=5∶8，則AB=x，AC=x，根據(jù)勾股定理得 （x ）2= （x ）2+82，解得x=，故AC=6.

點(diǎn)評(píng)：基于角平分線(xiàn)問(wèn)題解決的基本視角有二：一是構(gòu)造等腰三角形視角（源于“角分線(xiàn)+平行線(xiàn)=等腰三角形”，再借助相似）；二是對(duì)稱(chēng)視角（借力全等的三類(lèi)構(gòu)造）.另有直接利用圖中已有的模型切入，不需要構(gòu)造其它的輔助線(xiàn).這是最基本的視角，在一定意義上，這是最經(jīng)濟(jì)的思路.可見(jiàn)，視角不同，視點(diǎn)不同，均可生發(fā)不同的思路.

（1）構(gòu)造對(duì)稱(chēng)的路徑.因?yàn)榻堑钠椒志€(xiàn)就是軸對(duì)稱(chēng)圖形角的對(duì)稱(chēng)軸的一部分，把它復(fù)原成對(duì)稱(chēng)的形態(tài)就會(huì)顯露內(nèi)蘊(yùn)的特性，給解題帶來(lái)轉(zhuǎn)機(jī)或生機(jī)，打開(kāi)思路.而構(gòu)造的具體方式多樣，常見(jiàn)的有三個(gè)：由角平分線(xiàn)上的關(guān)鍵點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)段；過(guò)角平分線(xiàn)上關(guān)鍵點(diǎn)作它本身的垂線(xiàn)；根據(jù)需求沿對(duì)角線(xiàn)翻折等.例2第（2）問(wèn)題的解答（視角一）作了較好的注解.

（2）構(gòu)造等腰的路徑.由于角平分線(xiàn)的存在，若選擇好節(jié)點(diǎn)作平行線(xiàn)，可呈現(xiàn)出等腰三角形的模型，同時(shí)一條平行線(xiàn)托出了相似基本圖，兩個(gè)模型的聯(lián)手，外加勾股定理的助力，形成多姿多彩的思路.

所謂第三個(gè)視角，無(wú)非是一種基于現(xiàn)有圖形的直接利用，可歸入視角二.

總之，基于角平分線(xiàn)的兩個(gè)視角都是大眾的、常規(guī)的、樸實(shí)的、自然的，不是高蹈玄妙的雜技.這些返璞歸真之法，便于促進(jìn)學(xué)生“基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的積累，是好的“念頭”.

例3 已知兩個(gè)有公共頂點(diǎn)的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME.

（1）如圖9，當(dāng)CB與CE在同一直線(xiàn)上時(shí)，求證：MB∥CF；

（2）如圖9，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長(zhǎng)；

（3）如圖10，當(dāng)∠BCE=45°時(shí)，求證：BM=ME.（只解答第（1）問(wèn)）

圖9

圖10

思路一（見(jiàn)中點(diǎn)試旋轉(zhuǎn)）：延長(zhǎng)BM交EF于D，如圖11.

因?yàn)椤螦BC=∠CEF=90°，所以AB⊥CE，EF⊥CE，所以AB∥EF，所以∠BAM=∠DFM，

因?yàn)镸是AF的中點(diǎn)，所以AM=MF，

所以△ABM≌△FDM（ASA），所以AB=FD，

因?yàn)锽E=CE-BC，DE=EF-DF，所以BE=DE，

所以△BDE是等腰直角三角形，

所以∠EBM=45°.

因?yàn)樵诘妊苯恰鰿EF中，∠ECF=45°，所以∠EBM=∠ECF，所以MB∥CF.

圖11

圖12

思路二（構(gòu)造中位線(xiàn)）：如圖12，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，所以AB=BC=BD，所以點(diǎn)B為線(xiàn)段AD的中點(diǎn).

又因?yàn)辄c(diǎn)M為線(xiàn)段AF的中點(diǎn)，所以MB為△ADF的中位線(xiàn)，所以MB∥CF.

思路三（斜邊中線(xiàn)）：連接CM，如圖13.

在等腰Rt△ABC和等腰Rt△CEF中，AB=BC，∠ACB=∠ECF=45°，

則∠ACF=90°，所以AM=MC=MF，所以∠MCF=∠MFC，

所以∠AMB=∠CMB.

又∠AMB+∠BMC=∠MCF+∠MFC，所以∠BMC=∠MCF，所以MB∥CF.

圖13

圖14

思路四（借助斜邊中線(xiàn)，構(gòu)造中位線(xiàn)）：延長(zhǎng)MB交AC于N，如圖14.

同思路三知，△ABM≌△CBM，所以∠AMB=∠CMB，所以MN⊥AC（三線(xiàn)合一），即∠ANM=90°.

又∠ACF=90°，所以∠ANM=∠ACF，所以MB∥CF

點(diǎn)評(píng)：縱然四個(gè)思路的視角不同，但都是基于條件中的核心——“M是AF的中點(diǎn)”而展開(kāi)的聯(lián)想.作為一個(gè)孤零零的中點(diǎn)，其作用是有限的，但讓中點(diǎn)變成相關(guān)的線(xiàn)，作用就不同了，筆者帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)出了相關(guān)中點(diǎn)的基本策略：“有中點(diǎn)試旋轉(zhuǎn)，莫要忘了中位線(xiàn)，直角三角形，斜邊中線(xiàn)試試看.”對(duì)本題而言，這一基本策略屢試不爽，形成了別樣的景觀.

一題一世界，一解一菩提.當(dāng)找不到解題思路，或者只按照常規(guī)思路來(lái)思考，可能會(huì)生發(fā)“山重水復(fù)疑無(wú)路”的困惑，升騰起“獨(dú)上高樓，望盡天涯路”的茫然；而在“衣帶漸寬終不悔”的苦苦追索之下，一旦找對(duì)了思路，或換一個(gè)視角來(lái)思考，就會(huì)獲得“柳暗花明”“豁然洞開(kāi)”的愉悅.當(dāng)此，就有了“驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的驚喜！

寫(xiě)在最后：從不同的角度、不同的方位、不同的層次去審視分析同一題目中的邏輯關(guān)聯(lián)或數(shù)量關(guān)系，往往會(huì)有別樣的思路或解法.課堂教學(xué)中，努力去營(yíng)造一個(gè)接納的、支持性的、寬容的課堂氛圍，釋放學(xué)生的智慧潛能，若再適當(dāng)安排上文的案例活動(dòng)，給足學(xué)生思維的空間，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的深刻理解，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的有效運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性等思維品質(zhì)，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的學(xué)力及創(chuàng)造性思維，使得學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落地.