“相似變換”思想方法下的數(shù)學(xué)教學(xué)思考

☉江蘇省如皋市郭園初級(jí)中學(xué) 周冬梅

相似變化的思想方法是在具體物體“放大”或“縮小”中進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象得出的，與幾何變換并列的相似變換是解決有關(guān)問(wèn)題的工具，相似變換中所蘊(yùn)含的理性思維能夠更好地發(fā)展學(xué)生的能力與個(gè)性，使學(xué)生在豐富的現(xiàn)實(shí)情景中感受相似變換的必要性與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值.教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生特點(diǎn)貫徹和諧教學(xué)理念并因此促成學(xué)生學(xué)習(xí)效益的攀升.教學(xué)實(shí)錄如下，供同行參考.

一、課前預(yù)習(xí)——自主探索

教師事先設(shè)計(jì)出“先行組織者”并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行充分的課前預(yù)習(xí)：

（2）如圖3，你能作出圖形F每邊放大到原來(lái)3倍后的圖形嗎？你怎樣畫(huà)的？放大后的圖形位置是唯一的嗎？

（3）你是否能在放大或縮小的前后兩個(gè)圖形中發(fā)現(xiàn)改變和沒(méi)有改變的都有哪些？你如何發(fā)現(xiàn)的？

圖1

圖2

圖3

（4）圖形經(jīng)過(guò)放大或縮小變成新的圖形的過(guò)程是否是軸對(duì)稱(chēng)變換？平移變換？旋轉(zhuǎn)變換？為什么？

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)包含新知識(shí)“生長(zhǎng)點(diǎn)”且具備定向指導(dǎo)作用的“先行組織者”，學(xué)生在提前思考中獲得了更多的思維碰撞并因此推動(dòng)了課堂理性思維的節(jié)奏.

二、課堂討論——合作研討

1.匯報(bào)交流——矯正互學(xué)

匯報(bào)交流的引導(dǎo)性問(wèn)題如下：

（1）對(duì)圖形放大或縮小的原因是什么？

（2）根據(jù)題意將圖3中的圖形放大3倍并作圖，大家是如何操作的？

（3）位置問(wèn)題大家作何感想？

（4）圖形產(chǎn)生的變化和沒(méi)有改變的地方有哪些？

（5）位置是否唯一？

（6）屬于什么變換類(lèi)型？

點(diǎn)評(píng)：在學(xué)生進(jìn)行一定思考基礎(chǔ)之上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行匯報(bào)交流，能使學(xué)生在個(gè)性化的思維碰撞中實(shí)現(xiàn)“導(dǎo)富濟(jì)貧”.

2.引導(dǎo)探究——交流合作

師：由此看來(lái)，具備現(xiàn)實(shí)意義的圖形改變不僅僅是認(rèn)識(shí)幾何的工具，它在數(shù)學(xué)的研究中也是非常重要的，那么大家是否能夠根據(jù)平移變換或旋轉(zhuǎn)變換的表述來(lái)描述上述圖形改變的本質(zhì)特征呢？如果給它一個(gè)名稱(chēng)，大家覺(jué)得什么名稱(chēng)合適呢？

（學(xué)生陳述，教師及時(shí)進(jìn)行補(bǔ)充）

師：相似變換運(yùn)用圖形描述也是可行的，大家覺(jué)得應(yīng)該怎樣根據(jù)原圖形來(lái)確定改變之后的新圖形呢？如圖4，如果將△ABC的三邊都縮小至原來(lái)的，如何畫(huà)出新圖形呢？大家想的辦法越多越好.

圖4

生1：△ABC處于4×6的方格組成的矩形內(nèi)，可以先將這個(gè)矩形縮小，取出一個(gè)2×3的小矩形出來(lái)再對(duì)應(yīng)描點(diǎn)連線就可以畫(huà)出新圖形了.

生2：取AB中點(diǎn)M，AC中點(diǎn)N，BC中點(diǎn)P，則△AMN、△MBP、△PCN、△MNP都符合要求.

生3：新圖形還能畫(huà)在其他地方.

師：大家在畫(huà)圖中可有什么感觸或想法？生4：變換后的圖形位置可以在任何地方.

生5：不看小方格，借助其他工具一樣可以作圖.

師：很好，相似變換和其他變換相比最大的區(qū)別就是圖形位置沒(méi)有限制.大家來(lái)想一想這樣一個(gè)挑戰(zhàn)性問(wèn)題：圖形相似變換最根本的特征就是保持圖形的形狀在變換前后不作改變，那么是否可以運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫(huà)形狀不變這一性質(zhì)特征呢？大家可以從對(duì)應(yīng)的角、線段等方面進(jìn)一步觀察并思考一下可有不變關(guān)系存在？

生6：對(duì)應(yīng)角沒(méi)有變化，不過(guò)線段變化了.

生7：放大或縮小了相同的倍數(shù)但它們之間的比值沒(méi)有變化.

生8：周長(zhǎng)之比和對(duì)應(yīng)線段之比是相等的.

生9：面積之比應(yīng)該也有一定關(guān)系.

生10：根據(jù)圖4可觀察出面積比應(yīng)該是對(duì)應(yīng)線段之比的平方.

師：同學(xué)們太棒了，看來(lái)大家對(duì)于圖形的相似變換已經(jīng)建立了很好的認(rèn)知與理解.

點(diǎn)評(píng)：基于能力發(fā)展點(diǎn)、個(gè)性與創(chuàng)新精神培養(yǎng)點(diǎn)的有效探索與發(fā)現(xiàn)使學(xué)生的思維順利上升到了理性思維的高級(jí)層面.

三、構(gòu)建理論——綜合概括

師生共同歸納整理：

（1）概念：將一個(gè)圖形改變成另一個(gè)圖形并保持其形狀不變的圖形變換叫做圖形的相似變換.變換前后的圖形叫做相似圖形.

（2）確定相似變換后的新圖像的方法：①借助方格紙；②借助作圖工具.

（3）相似變換的性質(zhì)：①圖形中每個(gè)角的大小不會(huì)改變；②每條線段都會(huì)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù).

點(diǎn)評(píng)：引導(dǎo)學(xué)生在充分活動(dòng)與思考的基礎(chǔ)上對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，使學(xué)生在建構(gòu)性學(xué)習(xí)與理解中對(duì)所學(xué)內(nèi)容形成深入的理解.

四、嘗試運(yùn)用——檢測(cè)評(píng)價(jià)

問(wèn)題：

（1）觀察圖5中的圖形并將其各邊長(zhǎng)擴(kuò)大到原圖形的3倍，在同一方格紙上畫(huà)出與原圖像位置不同的經(jīng)變換所得的像.

（教師在學(xué)生的獨(dú)立操作中進(jìn)行巡視，并在大約2分鐘后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相互交流與評(píng)價(jià)）

圖5

圖6

圖7

（2）觀察圖6中的Rt△ABC并將其每條邊長(zhǎng)擴(kuò)大至原圖形的2倍，放大后所得的圖形與原圖形面積之比是多少呢？周長(zhǎng)之比又怎樣？

（教師在學(xué)生的獨(dú)立操作中進(jìn)行巡視，并在大約2分鐘后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相互交流與評(píng)價(jià)）

（3）圖7為浙江省航線圖，大家想一想此圖應(yīng)該是該省在哪一變換中得到的像呢？請(qǐng)觀察一下圖中的比例尺，根據(jù)這一比例尺大家是否能夠看出實(shí)際版圖縮小的倍數(shù)呢？請(qǐng)大家根據(jù)這個(gè)圖來(lái)計(jì)算一下杭州到寧波、溫州兩地的實(shí)際距離.

（教師在學(xué)生的獨(dú)立思考與計(jì)算時(shí)進(jìn)行巡視，大約2分鐘后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相互交流和評(píng)價(jià)）

（4）一位旅行者試圖從沙漠中的A營(yíng)地經(jīng)過(guò)B地到達(dá)C地，他背著羅盤(pán)與計(jì)算器首先向北偏東37°方向行走了3km，到達(dá)了B地，然后他繼續(xù)上路并向正西方向行走了5km并最終到達(dá)了C地.

①如果比例尺是1∶100000，你能畫(huà)出該旅行者從A地出發(fā)途徑B地并最終到達(dá)C地的旅行路線圖嗎？

②你認(rèn)為你自己所畫(huà)的路線圖和實(shí)際路線圖之間屬于什么圖形變換呢？縮小了多少倍呢？

③該旅行者返回營(yíng)地時(shí)走了最短的路線，你能畫(huà)出他返回營(yíng)地的路線嗎？請(qǐng)大家計(jì)算出該旅行者返回營(yíng)地的具體方向與路程.

（教師在學(xué)生按要求思考、操作、計(jì)算的過(guò)程中進(jìn)行巡視，并在大約3分鐘之后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相互交流與評(píng)價(jià)）

點(diǎn)評(píng)：在學(xué)生理解相似變換這一思想方法之后將其運(yùn)用于實(shí)際問(wèn)題的解決中，使學(xué)生在具備現(xiàn)實(shí)意義的土壤或背景中運(yùn)用這一思想進(jìn)行具體問(wèn)題的解決，這對(duì)于學(xué)生的建構(gòu)性理解與作圖技巧的提高來(lái)說(shuō)都是極為重要的，看似耗費(fèi)很多時(shí)間的變式訓(xùn)練有效加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)相似變換的認(rèn)識(shí).

五、反思總結(jié)——回顧思考

師：請(qǐng)看下列問(wèn)題清單并作出回答：

（1）什么是相似變換？相似變換的學(xué)習(xí)可有什么意義？

（2）有哪些方法可以作出相似變換后的像呢？

（3）相似變換的性質(zhì)一共有哪些？變換前后形狀不變是什么原因？

（4）請(qǐng)聯(lián)系軸對(duì)稱(chēng)變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換并分析它們之間的區(qū)別和聯(lián)系.

（5）學(xué)習(xí)過(guò)程中涉及到了哪些思維與思想方法呢？你可有什么想法？

點(diǎn)評(píng)：以“問(wèn)題清單”的形式進(jìn)行課堂小結(jié)，有效驅(qū)動(dòng)了學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的回顧和思考，同時(shí)價(jià)值引導(dǎo)和自主構(gòu)建相結(jié)合的理念也在問(wèn)題設(shè)計(jì)與總結(jié)歸納中盡情展現(xiàn)出來(lái).

六、課后延伸——自主研究

（1）基礎(chǔ)題：教材中的作業(yè)題.

（2）提高題：總結(jié)軸對(duì)稱(chēng)變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、相似變換這4種變換之間的區(qū)別和聯(lián)系.

總之，本節(jié)課的授課設(shè)計(jì)和過(guò)程都體現(xiàn)出了以數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程為載體的學(xué)生認(rèn)知過(guò)程和以學(xué)生為主體的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，對(duì)教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)價(jià)值理解和定位的準(zhǔn)確也使數(shù)學(xué)教育的兩重性特征盡情展現(xiàn)，學(xué)生在價(jià)值引導(dǎo)與自主建構(gòu)相結(jié)合的教育教學(xué)中也對(duì)所學(xué)內(nèi)容形成了更加深入的理解.H