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    整體性教學(xué)
    ——初中數(shù)學(xué)提質(zhì)增效的有效路徑

    2018-08-31 03:27:10江蘇省海安市南莫中學(xué)楊建生
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年16期
    關(guān)鍵詞:思維數(shù)學(xué)教學(xué)

    ☉江蘇省海安市南莫中學(xué) 楊建生

    初中數(shù)學(xué)課程有著自身嚴(yán)密的邏輯體系,它既不同于基礎(chǔ)性、綜合性的小學(xué)數(shù)學(xué),也不同于專業(yè)性比較強(qiáng)的高中數(shù)學(xué),它是兩者的過渡,是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的核心部分.如何保證初中數(shù)學(xué)教學(xué)高效高質(zhì)?這是一個十分有價值的研究課題.當(dāng)下,有不少初中數(shù)學(xué)教師,注重“課時主義”,有一種“知識點情結(jié)”,由此讓初中數(shù)學(xué)教學(xué)處于散點、零碎、孤立狀態(tài).章建躍博士認(rèn)為,對于數(shù)學(xué)概念、定理等數(shù)學(xué)知識,教師一個個地教,學(xué)生一個個地學(xué),容易迷失在局部,只見樹木不見森林.作為教師,必須有意識地運(yùn)用整體性思維,對盤根錯節(jié)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行整合,讓知識不再是雜亂無章的瓦礫.只有把握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在秩序,才能呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu),形成系統(tǒng)的育人力量.

    一、立足“類”,打通學(xué)生的思維通道

    數(shù)學(xué)知識是一個整體性、結(jié)構(gòu)性的有機(jī)統(tǒng)一的系統(tǒng),但是為了兼顧學(xué)生的數(shù)學(xué)接受心理,數(shù)學(xué)知識被人為分割,以“點”的形式分布于教材之中.因此,通常情況下,教師的數(shù)學(xué)教學(xué)是按照“知識點”,也就是按照“課時”展開的.這樣的教學(xué)優(yōu)點是有助于突出重點、分散難點.但與此同時,也存在著割裂知識的弊病.作為教師,要立足“類”的視角,把握數(shù)學(xué)知識的整體的內(nèi)在的結(jié)構(gòu).只有這樣,才能把握數(shù)學(xué)知識的邏輯之鏈,滿足學(xué)生的成長之需.教學(xué)中,教師可以運(yùn)用“大問題”,設(shè)置“長任務(wù)”來組織教學(xué).

    教學(xué)《一元二次方程》,考慮知識結(jié)構(gòu)、體系以及局部知識與整體知識的關(guān)系,筆者突破常規(guī)教學(xué)方式,引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)一次方程學(xué)習(xí)經(jīng)驗,遷移概括一元二次方程定義、一般形式,獲得整體性認(rèn)知.在此基礎(chǔ)上,根據(jù)一元二次方程的四種解法之間的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生深度探究.從整體到局部,學(xué)生在結(jié)構(gòu)性遷移中感受到數(shù)學(xué)知識的整體性.

    1.問題情境

    ①如何用一張長方形紙做一個無蓋的長方體盒子?

    ②一張長為16cm、寬為12cm的長方形紙,如何做成一個底面積為96cm2的無蓋的長方體盒子?

    2.自主解答

    學(xué)生根據(jù)題意列出了方程,然后將方程變形,形成了“一元二次方程”的一般形式.對照形式,學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗命名、定義.接著,筆者出示了一系列方程,讓學(xué)生自主判別是否是一元二次方程.通過判別,深化學(xué)生對二次項系數(shù)不為0的理性認(rèn)知.

    3.探究方法

    接著,筆者借助方程x2=16、(x-1)2=16、x2-2x-15=0,引導(dǎo)學(xué)生自主探究.從“直接開平方法”到“因式分解法”,從“配方法”到“公式法”,學(xué)生不僅掌握了各種解法,而且理解了各種解法之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián),形成了解決問題的基本思想方法,即降次;形成了解決問題的基本思路,即將一元二次方程變形轉(zhuǎn)化為“x=a”的形式.在這個過程中,充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性、創(chuàng)造性.

    整體性教學(xué),一方面順應(yīng)知識本身的發(fā)展邏輯,另一方面,關(guān)照學(xué)生數(shù)學(xué)的現(xiàn)實發(fā)展水平,賦予了學(xué)生自主探究的時空.學(xué)生能夠主動參與學(xué)習(xí),活化了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,啟迪了學(xué)生的數(shù)學(xué)想象.學(xué)生在結(jié)構(gòu)探索中感受、體驗到數(shù)學(xué)知識的整體性,實現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

    二、聚焦“變”,把握數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出:“數(shù)學(xué)知識教學(xué),要注重知識生長點和延伸點,把每堂課的知識置于整體知識體系中,注重結(jié)構(gòu)和體系.”整體性教學(xué)是一種變易教學(xué),通過“變”,把握數(shù)學(xué)知識整體與部分的關(guān)系,能夠把握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在本質(zhì).聚焦“變”,就是追求那種“會一題,通一類,連一片”的學(xué)習(xí)境界.

    比如,教學(xué)《三角形三邊關(guān)系》,筆者以“等腰三角形”為載體,設(shè)計了一組變式習(xí)題,旨在讓學(xué)生深刻理解、掌握“三角形三邊關(guān)系”.

    變式問題1:一個等腰三角形,若底是5cm,腰是8cm,則這個等腰三角形的周長是多少?

    變式問題2:一個等腰三角形,若兩條邊的長度分別是5cm和8cm,則這個等腰三角形的周長是多少?

    變式問題3:一個等腰三角形,若兩條邊的長度分別是8cm和3cm,則這個等腰三角形的周長是多少?

    變式問題4:一個等腰三角形的周長是20cm,一條邊為6cm,則另兩條邊的長度分別為多少?

    變式問題5:一個等腰三角形的周長是20cm,一條邊為4cm,則另兩條邊的長度分別為多少?

    這樣的問題變式,聚焦于“三角形的三邊關(guān)系”.其中,變式問題1重在讓學(xué)生理解“腰”的內(nèi)涵;變式問題2重在引導(dǎo)學(xué)生對等腰三角形的周長進(jìn)行分類討論;變式問題3則將“等腰三角形的腰”與“三角形三邊關(guān)系”聯(lián)通起來,其目的在于不能因為討論腰的可能性而忽略三角形三邊關(guān)系,凸顯三角形三邊關(guān)系是解決問題的基礎(chǔ);變式問題4則是反其道而行之,重在結(jié)合“等腰三角形的特點”考查學(xué)生的逆向思維;變式問題5同樣是反其道而行之,但不僅要結(jié)合“等腰三角形特點”,更要結(jié)合“三角形的三邊關(guān)系”.這樣“數(shù)變、式變而境不變”的變式教學(xué)能夠激活學(xué)生整體變通的思維能力,有助于學(xué)生從多維視角審視數(shù)學(xué)知識.

    在問題變式中,學(xué)生對問題的本質(zhì)展開深度思考.由于教師動態(tài)呈現(xiàn)形式,因此學(xué)生展開分層比較.在自主思考、小組交流中,學(xué)生不斷向數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)深處邁進(jìn),逐步進(jìn)行關(guān)聯(lián)性的數(shù)學(xué)思考.通過“變”,將數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)含的深刻本質(zhì)顯露、敞亮出來.學(xué)生在變式中感受問題的變化,感受所學(xué)知識的關(guān)聯(lián)性,有助于其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

    三、觀照“聯(lián)”,洞察知識的整體脈絡(luò)

    初中數(shù)學(xué)整體性教學(xué)不僅重“變”,而且重“聯(lián)”.所謂“聯(lián)”,即是左右貫通,上下關(guān)聯(lián).數(shù)學(xué)的“聯(lián)”,是建立在數(shù)學(xué)思想方法的整體性、內(nèi)在的一致性基礎(chǔ)之上的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,如果我們忽視“聯(lián)”,就會降低數(shù)學(xué)知識關(guān)聯(lián)的融合度,弱化學(xué)生數(shù)理判斷的匹配度,還會壓縮學(xué)生數(shù)學(xué)思維的興趣度,分散學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的指向度,等等.關(guān)照“聯(lián)”,能夠打通學(xué)生的思維通道.南京大學(xué)的鄭毓信教授認(rèn)為:“數(shù)學(xué)教學(xué)的問題,不是求全,而是求‘聯(lián)’.”“聯(lián)”的數(shù)學(xué)教學(xué)追求一種結(jié)構(gòu)、整體、系統(tǒng),講究的是一種集約謀劃、連點成線、勾面成體.正是通過“聯(lián)”,初中數(shù)學(xué)知識能夠成為一個有機(jī)體,學(xué)生的思維能夠成為一種完整的心理表征.

    比如,代數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要分支,有著豐富的教學(xué)內(nèi)容.作為數(shù)學(xué)教師,不僅要把握知識的形,更要領(lǐng)悟知識的內(nèi)在之神.梳理初中代數(shù)內(nèi)容,主要包括有理數(shù)、多項式加減、乘除、一元一次方程、因式分解、一元二次方程、不等式、分式、二元方程組、二次根式以及函數(shù)圖像,等等.不難發(fā)現(xiàn),整個教材知識是以“方程為綱”、以“元”為序安排的.所謂“以方程為綱”,是指以方程帶動數(shù)的學(xué)習(xí)、式的學(xué)習(xí),因為方程是整個代數(shù)研究的根源.同時,“以方程為綱”要求初中代數(shù)教學(xué)要從問題開始,還要回歸到問題解決之中.“以方程為綱”,我們可以梳理出這樣的一條知識脈絡(luò):通過字母代數(shù),從有理數(shù)引入多項式;從多項式引入一元一次方程;從解方程引入等式性質(zhì);從等量關(guān)系引入不等量關(guān)系,進(jìn)而引入不等式;從實際復(fù)雜問題引入分式方程、二元方程、二次方程;從二次方程引入方程解的函數(shù)圖像,等等.再看“以元為序”,所謂“以元為序”,是指按未知數(shù)由少到多順序來編排方程,從一元一次方程到一元二次方程,再到二元一次方程組,等等.有了這樣的整體把握,教學(xué)中就能打通學(xué)生的思維通道.

    觀照“聯(lián)”,構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò),讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)富有結(jié)構(gòu)性.其中,既要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行架構(gòu),又要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行建系,從而能將知識進(jìn)行橫向關(guān)聯(lián)和縱向融通.借助心理同化、順應(yīng),外在知識結(jié)構(gòu)與內(nèi)在認(rèn)知結(jié)構(gòu)互動協(xié)調(diào)、共生共長.

    四、建構(gòu)“體”,形成結(jié)構(gòu)遷移性思維

    整體性教學(xué)不僅要讓學(xué)生掌握結(jié)構(gòu)性知識,更為重要的是形成學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維.結(jié)構(gòu)性思維有助于學(xué)生主動遷移知識、運(yùn)用知識.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師不僅要教技術(shù)、教方法和教技巧,而且要教思維方式、教解決問題的策略.不僅要引導(dǎo)學(xué)生“想得到”,而且要教學(xué)生“懂邏輯”、“能思維”.為此,教師要建構(gòu)“體”,引導(dǎo)學(xué)生主動遷移,讓學(xué)生能夠融會貫通、舉一反三.

    以《從分?jǐn)?shù)到分式》教學(xué)片段為例,教學(xué)中,筆者首先引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)的發(fā)展歷程.學(xué)生回顧數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程,通過反思、交流,形成了這樣的知識結(jié)構(gòu),實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù),有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù),分?jǐn)?shù)包括分?jǐn)?shù)概念、分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算等.知識“體”的回顧,為學(xué)生學(xué)習(xí)“分式”發(fā)揮著先行組織的作用.在此基礎(chǔ)上,學(xué)生進(jìn)行類比,展開新的建構(gòu).代數(shù)式包括有理式和無理式,有理式包括整式和分式,整式包括單項式和多項式,分式包括分式概念、分式基本性質(zhì)和分式的運(yùn)算等.學(xué)生由實數(shù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu),推測出“代數(shù)式”結(jié)構(gòu),不僅讓學(xué)生理解、掌握了代數(shù)式的內(nèi)容,更為重要的是初步感悟到代數(shù)式內(nèi)部知識的邏輯關(guān)系.在這個過程中,學(xué)生主動遷移、探究、發(fā)現(xiàn),為進(jìn)一步系統(tǒng)學(xué)習(xí)奠定了堅實基礎(chǔ).當(dāng)學(xué)生理解、掌握了新知后,筆者有意識地將“數(shù)”的知識和“代數(shù)式”的知識融合起來,建構(gòu)了“數(shù)與代數(shù)”結(jié)構(gòu)體系,小的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)組合成大的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng).

    在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要善于追溯本源,從學(xué)生熟悉的數(shù)開始,逐步過渡到式,在數(shù)中孕育“式”,在數(shù)中“懂邏輯”,并從“數(shù)”的邏輯遷移到“式”的邏輯.在這個過程中,學(xué)生的結(jié)構(gòu)遷移性思維得到了發(fā)展.學(xué)生整合了知識能思維,經(jīng)歷了重構(gòu)會思考,其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到充分地發(fā)展.

    整體性教學(xué),呈現(xiàn)給學(xué)生的是一種全新的、科學(xué)化的教學(xué)圖景.基于學(xué)生立場,整體性教學(xué)追求知識的整體性、學(xué)生學(xué)習(xí)的整體性以及教師教學(xué)的整體性.立足“類”、聚焦“變”、觀照“聯(lián)”、建構(gòu)“體”,引導(dǎo)學(xué)生自建構(gòu)、互建構(gòu)、深建構(gòu),不斷走近學(xué)習(xí)對象、不斷突破數(shù)學(xué)本身,不斷發(fā)掘并真正實現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科育人價值.

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