整體性教學(xué)
——初中數(shù)學(xué)提質(zhì)增效的有效路徑

☉江蘇省海安市南莫中學(xué) 楊建生

初中數(shù)學(xué)課程有著自身嚴(yán)密的邏輯體系，它既不同于基礎(chǔ)性、綜合性的小學(xué)數(shù)學(xué)，也不同于專業(yè)性比較強(qiáng)的高中數(shù)學(xué)，它是兩者的過渡，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的核心部分.如何保證初中數(shù)學(xué)教學(xué)高效高質(zhì)？這是一個十分有價值的研究課題.當(dāng)下，有不少初中數(shù)學(xué)教師，注重“課時主義”，有一種“知識點(diǎn)情結(jié)”，由此讓初中數(shù)學(xué)教學(xué)處于散點(diǎn)、零碎、孤立狀態(tài).章建躍博士認(rèn)為，對于數(shù)學(xué)概念、定理等數(shù)學(xué)知識，教師一個個地教，學(xué)生一個個地學(xué)，容易迷失在局部，只見樹木不見森林.作為教師，必須有意識地運(yùn)用整體性思維，對盤根錯節(jié)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行整合，讓知識不再是雜亂無章的瓦礫.只有把握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在秩序，才能呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，形成系統(tǒng)的育人力量.

一、立足“類”，打通學(xué)生的思維通道

數(shù)學(xué)知識是一個整體性、結(jié)構(gòu)性的有機(jī)統(tǒng)一的系統(tǒng)，但是為了兼顧學(xué)生的數(shù)學(xué)接受心理，數(shù)學(xué)知識被人為分割，以“點(diǎn)”的形式分布于教材之中.因此，通常情況下，教師的數(shù)學(xué)教學(xué)是按照“知識點(diǎn)”，也就是按照“課時”展開的.這樣的教學(xué)優(yōu)點(diǎn)是有助于突出重點(diǎn)、分散難點(diǎn).但與此同時，也存在著割裂知識的弊病.作為教師，要立足“類”的視角，把握數(shù)學(xué)知識的整體的內(nèi)在的結(jié)構(gòu).只有這樣，才能把握數(shù)學(xué)知識的邏輯之鏈，滿足學(xué)生的成長之需.教學(xué)中，教師可以運(yùn)用“大問題”，設(shè)置“長任務(wù)”來組織教學(xué).

教學(xué)《一元二次方程》，考慮知識結(jié)構(gòu)、體系以及局部知識與整體知識的關(guān)系，筆者突破常規(guī)教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)一次方程學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，遷移概括一元二次方程定義、一般形式，獲得整體性認(rèn)知.在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一元二次方程的四種解法之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生深度探究.從整體到局部，學(xué)生在結(jié)構(gòu)性遷移中感受到數(shù)學(xué)知識的整體性.

1.問題情境

①如何用一張長方形紙做一個無蓋的長方體盒子？

②一張長為16cm、寬為12cm的長方形紙，如何做成一個底面積為96cm2的無蓋的長方體盒子？

2.自主解答

學(xué)生根據(jù)題意列出了方程，然后將方程變形，形成了“一元二次方程”的一般形式.對照形式，學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗(yàn)命名、定義.接著，筆者出示了一系列方程，讓學(xué)生自主判別是否是一元二次方程.通過判別，深化學(xué)生對二次項(xiàng)系數(shù)不為0的理性認(rèn)知.

3.探究方法

接著，筆者借助方程x2=16、（x-1）2=16、x2-2x-15=0，引導(dǎo)學(xué)生自主探究.從“直接開平方法”到“因式分解法”，從“配方法”到“公式法”，學(xué)生不僅掌握了各種解法，而且理解了各種解法之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，形成了解決問題的基本思想方法，即降次；形成了解決問題的基本思路，即將一元二次方程變形轉(zhuǎn)化為“x=a”的形式.在這個過程中，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性、創(chuàng)造性.

整體性教學(xué)，一方面順應(yīng)知識本身的發(fā)展邏輯，另一方面，關(guān)照學(xué)生數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)發(fā)展水平，賦予了學(xué)生自主探究的時空.學(xué)生能夠主動參與學(xué)習(xí)，活化了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，啟迪了學(xué)生的數(shù)學(xué)想象.學(xué)生在結(jié)構(gòu)探索中感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識的整體性，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

二、聚焦“變”，把握數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)知識教學(xué)，要注重知識生長點(diǎn)和延伸點(diǎn)，把每堂課的知識置于整體知識體系中，注重結(jié)構(gòu)和體系.”整體性教學(xué)是一種變易教學(xué)，通過“變”，把握數(shù)學(xué)知識整體與部分的關(guān)系，能夠把握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在本質(zhì).聚焦“變”，就是追求那種“會一題，通一類，連一片”的學(xué)習(xí)境界.

比如，教學(xué)《三角形三邊關(guān)系》，筆者以“等腰三角形”為載體，設(shè)計了一組變式習(xí)題，旨在讓學(xué)生深刻理解、掌握“三角形三邊關(guān)系”.

變式問題1：一個等腰三角形，若底是5cm，腰是8cm，則這個等腰三角形的周長是多少？

變式問題2：一個等腰三角形，若兩條邊的長度分別是5cm和8cm，則這個等腰三角形的周長是多少？

變式問題3：一個等腰三角形，若兩條邊的長度分別是8cm和3cm，則這個等腰三角形的周長是多少？

變式問題4：一個等腰三角形的周長是20cm，一條邊為6cm，則另兩條邊的長度分別為多少？

變式問題5：一個等腰三角形的周長是20cm，一條邊為4cm，則另兩條邊的長度分別為多少？

這樣的問題變式，聚焦于“三角形的三邊關(guān)系”.其中，變式問題1重在讓學(xué)生理解“腰”的內(nèi)涵；變式問題2重在引導(dǎo)學(xué)生對等腰三角形的周長進(jìn)行分類討論；變式問題3則將“等腰三角形的腰”與“三角形三邊關(guān)系”聯(lián)通起來，其目的在于不能因?yàn)橛懻撗目赡苄远雎匀切稳呹P(guān)系，凸顯三角形三邊關(guān)系是解決問題的基礎(chǔ)；變式問題4則是反其道而行之，重在結(jié)合“等腰三角形的特點(diǎn)”考查學(xué)生的逆向思維；變式問題5同樣是反其道而行之，但不僅要結(jié)合“等腰三角形特點(diǎn)”，更要結(jié)合“三角形的三邊關(guān)系”.這樣“數(shù)變、式變而境不變”的變式教學(xué)能夠激活學(xué)生整體變通的思維能力，有助于學(xué)生從多維視角審視數(shù)學(xué)知識.

在問題變式中，學(xué)生對問題的本質(zhì)展開深度思考.由于教師動態(tài)呈現(xiàn)形式，因此學(xué)生展開分層比較.在自主思考、小組交流中，學(xué)生不斷向數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)深處邁進(jìn)，逐步進(jìn)行關(guān)聯(lián)性的數(shù)學(xué)思考.通過“變”，將數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)含的深刻本質(zhì)顯露、敞亮出來.學(xué)生在變式中感受問題的變化，感受所學(xué)知識的關(guān)聯(lián)性，有助于其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

三、觀照“聯(lián)”，洞察知識的整體脈絡(luò)

初中數(shù)學(xué)整體性教學(xué)不僅重“變”，而且重“聯(lián)”.所謂“聯(lián)”，即是左右貫通，上下關(guān)聯(lián).數(shù)學(xué)的“聯(lián)”，是建立在數(shù)學(xué)思想方法的整體性、內(nèi)在的一致性基礎(chǔ)之上的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果我們忽視“聯(lián)”，就會降低數(shù)學(xué)知識關(guān)聯(lián)的融合度，弱化學(xué)生數(shù)理判斷的匹配度，還會壓縮學(xué)生數(shù)學(xué)思維的興趣度，分散學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的指向度，等等.關(guān)照“聯(lián)”，能夠打通學(xué)生的思維通道.南京大學(xué)的鄭毓信教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)的問題，不是求全，而是求‘聯(lián)’.”“聯(lián)”的數(shù)學(xué)教學(xué)追求一種結(jié)構(gòu)、整體、系統(tǒng)，講究的是一種集約謀劃、連點(diǎn)成線、勾面成體.正是通過“聯(lián)”，初中數(shù)學(xué)知識能夠成為一個有機(jī)體，學(xué)生的思維能夠成為一種完整的心理表征.

比如，代數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要分支，有著豐富的教學(xué)內(nèi)容.作為數(shù)學(xué)教師，不僅要把握知識的形，更要領(lǐng)悟知識的內(nèi)在之神.梳理初中代數(shù)內(nèi)容，主要包括有理數(shù)、多項(xiàng)式加減、乘除、一元一次方程、因式分解、一元二次方程、不等式、分式、二元方程組、二次根式以及函數(shù)圖像，等等.不難發(fā)現(xiàn)，整個教材知識是以“方程為綱”、以“元”為序安排的.所謂“以方程為綱”，是指以方程帶動數(shù)的學(xué)習(xí)、式的學(xué)習(xí)，因?yàn)榉匠淌钦麄€代數(shù)研究的根源.同時，“以方程為綱”要求初中代數(shù)教學(xué)要從問題開始，還要回歸到問題解決之中.“以方程為綱”，我們可以梳理出這樣的一條知識脈絡(luò)：通過字母代數(shù)，從有理數(shù)引入多項(xiàng)式；從多項(xiàng)式引入一元一次方程；從解方程引入等式性質(zhì)；從等量關(guān)系引入不等量關(guān)系，進(jìn)而引入不等式；從實(shí)際復(fù)雜問題引入分式方程、二元方程、二次方程；從二次方程引入方程解的函數(shù)圖像，等等.再看“以元為序”，所謂“以元為序”，是指按未知數(shù)由少到多順序來編排方程，從一元一次方程到一元二次方程，再到二元一次方程組，等等.有了這樣的整體把握，教學(xué)中就能打通學(xué)生的思維通道.

觀照“聯(lián)”，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)富有結(jié)構(gòu)性.其中，既要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行架構(gòu)，又要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行建系，從而能將知識進(jìn)行橫向關(guān)聯(lián)和縱向融通.借助心理同化、順應(yīng)，外在知識結(jié)構(gòu)與內(nèi)在認(rèn)知結(jié)構(gòu)互動協(xié)調(diào)、共生共長.

四、建構(gòu)“體”，形成結(jié)構(gòu)遷移性思維

整體性教學(xué)不僅要讓學(xué)生掌握結(jié)構(gòu)性知識，更為重要的是形成學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維.結(jié)構(gòu)性思維有助于學(xué)生主動遷移知識、運(yùn)用知識.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要教技術(shù)、教方法和教技巧，而且要教思維方式、教解決問題的策略.不僅要引導(dǎo)學(xué)生“想得到”，而且要教學(xué)生“懂邏輯”、“能思維”.為此，教師要建構(gòu)“體”，引導(dǎo)學(xué)生主動遷移，讓學(xué)生能夠融會貫通、舉一反三.

以《從分?jǐn)?shù)到分式》教學(xué)片段為例，教學(xué)中，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)的發(fā)展歷程.學(xué)生回顧數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，通過反思、交流，形成了這樣的知識結(jié)構(gòu)，實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)包括分?jǐn)?shù)概念、分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算等.知識“體”的回顧，為學(xué)生學(xué)習(xí)“分式”發(fā)揮著先行組織的作用.在此基礎(chǔ)上，學(xué)生進(jìn)行類比，展開新的建構(gòu).代數(shù)式包括有理式和無理式，有理式包括整式和分式，整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，分式包括分式概念、分式基本性質(zhì)和分式的運(yùn)算等.學(xué)生由實(shí)數(shù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，推測出“代數(shù)式”結(jié)構(gòu)，不僅讓學(xué)生理解、掌握了代數(shù)式的內(nèi)容，更為重要的是初步感悟到代數(shù)式內(nèi)部知識的邏輯關(guān)系.在這個過程中，學(xué)生主動遷移、探究、發(fā)現(xiàn)，為進(jìn)一步系統(tǒng)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).當(dāng)學(xué)生理解、掌握了新知后，筆者有意識地將“數(shù)”的知識和“代數(shù)式”的知識融合起來，建構(gòu)了“數(shù)與代數(shù)”結(jié)構(gòu)體系，小的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)組合成大的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng).

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于追溯本源，從學(xué)生熟悉的數(shù)開始，逐步過渡到式，在數(shù)中孕育“式”，在數(shù)中“懂邏輯”，并從“數(shù)”的邏輯遷移到“式”的邏輯.在這個過程中，學(xué)生的結(jié)構(gòu)遷移性思維得到了發(fā)展.學(xué)生整合了知識能思維，經(jīng)歷了重構(gòu)會思考，其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到充分地發(fā)展.

整體性教學(xué)，呈現(xiàn)給學(xué)生的是一種全新的、科學(xué)化的教學(xué)圖景.基于學(xué)生立場，整體性教學(xué)追求知識的整體性、學(xué)生學(xué)習(xí)的整體性以及教師教學(xué)的整體性.立足“類”、聚焦“變”、觀照“聯(lián)”、建構(gòu)“體”，引導(dǎo)學(xué)生自建構(gòu)、互建構(gòu)、深建構(gòu)，不斷走近學(xué)習(xí)對象、不斷突破數(shù)學(xué)本身，不斷發(fā)掘并真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科育人價值.