一道中考試題的“前世、今生和拓展”

☉山東省博興縣教學研究室 劉克光

☉山東省鄒平縣黃山實驗初中 由學芹

我們有幸參加了本市2018的中考數(shù)學命題工作.試卷中第19題如下：如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，點E、F分別在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，則AF的長為___________.

圖1

現(xiàn)把本試題命制的過程、思考、感悟與大家分享如下.

一、試題的前世

第19題來自新課標人教版九年級數(shù)學上冊第60頁的課本例題：如圖2，E是正方形ABCD中邊CD上任意一點，以點A為中心，把△ADE順時針旋轉90°，畫出旋轉后的圖形.

例題分析1：旋轉變換的特征有三個，對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.

例題分析2：正方形的特征有三個，正方形的各邊都相等，恰好便于旋轉后邊的重合；正方形的內角等于90°，恰好為本題中的旋轉角；經(jīng)過旋轉后所得三角形的邊BF，恰好在正方形的邊BC所在直線上.

圖2

例題分析3：正方形的特征決定了它本身是考查旋轉變換知識的很好載體.同樣正三角形等正多邊形也具有同樣的特征.

二、試題的今生

從此問題出發(fā)，通過固定點E的位置，在正方形內部作∠EAF，使其等于45°而得以下問題：

圖3

題1：如圖3，正方形ABCD的邊長為2，點E、F分別在CD、BC上，若AF=，且∠EAF=45°，則AE的長為_________.

此問題的突破口就是把△ADE順時針旋轉90°，得到“前世”的基本圖形（如圖4），利用∠BAF+∠DAE=45°， 證 明△AEF≌△AMF，得到MF=EF，在Rt△EFC中，利用勾股定理構造方程，使問題得以解決.

我們知道，一份考卷既是考查區(qū)分、學情反饋，同時又要發(fā)展師生、引領教學.但是在本次整份試題的命制過程中，一是感覺對矩形知識的考查較弱，二是感覺此題的區(qū)分度還不夠，于是思考能否把題一中設置的情景置于矩形之中.就是在這樣的思考下，得到了試卷中的第19題.

圖4

圖5

試卷中19題分析：此題的背景是矩形，但可通過分割矩形得到正方形.取AD中點M，作MN⊥BC于N，交AF于點P，從而得到題45°，求AF的長.1的基本圖形，易求得MP=，根據(jù)中位線定理可求得DF=2MP=，在Rt△AFD中利用勾股定理可求得

三、試題的拓展

對試題進行進一步思考，如果改變題目中的條件，問題能否得解呢？

變式1：如圖6，矩形ABCD的邊長為AB=3，AD=6，若點E、F分別在BC、DC上，BE=1，且∠EAF=

圖6

變式2：如圖7，矩形ABCD的邊長為AB=3，AD=6，若點E、F分別在線段BC、直線DC上，BE=，且∠EAF=45°，求AF的長.

圖7

變式3：如圖8，矩形ABCD的邊長為AB=3，AD=6，若點E、F均在BC上，BE=，且∠EAF=45°，求AF的長.

圖8

變式4：如圖9，矩形ABCD的邊長為AB=3，AD=8，若點E、F分別在BC、DC上，BE=2，且∠EAF=45°，求AF的長.

分析1：此題中，邊長不是整數(shù)倍的關系，但我們可以類比以上問題的解決方法，取AM=3，作MN⊥BC于點N，交AF于點P，可分割得到正方形.然后采用試題中第19題的方法求得MP=，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得DF=＜DC，說明點F在邊DC上，在Rt△AFD中利用勾股定理可求得

圖9

分析2：通過變式4的解答過程，我們可以看到邊長為任意數(shù)的矩形問題也可以通過轉化為正方形的問題來解決，從而使學生真正體驗到“千題萬題不離母題”的基本活動經(jīng)驗.

四、試題命制過程的思考

1.維護學業(yè)水平考試的公平性、客觀性

源自教材的問題背景，學生能從教材中找到它的影子，更易于接納并思考.面對這樣的問題，學生的心理活動是積極主動的，因而可以有效激發(fā)學生的探究欲望，促進學生的數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維.同時源于教材背景的問題，更有利于學生找到解決問題的切入點，提高思維的效率和效度，激發(fā)學生數(shù)學學習的興趣，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習習慣，進而掌握有效的數(shù)學學習方法.

2.積累解題方法，提高解題能力

問題中的不變量，為試題的“前世、今生和拓展”搭橋.上述問題中，無論它的前世、今生和拓展，都是借助了正方形的特殊性質：四條邊都相等、四個角都是直角.正是有了這樣的圖形背景，為圖形的旋轉變換創(chuàng)造了必要的條件，為問題的解決提供了思考方向，也為我們命制試題、解答問題提供了方法支持.所以在教學中，我們要引導學生善于從變化中找到不變的特性，用“執(zhí)果索因”的聯(lián)想法，體會一題多變、多題同法之數(shù)學化歸思想的精髓，提高學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

3.引領教學，告別題海

源于教材、又高出教材的原創(chuàng)命題，讓人會有“回味無窮、漸入佳境”的感覺.面對這樣的問題，勢必會引領教師重視教材，創(chuàng)造性地利用教材，告別題海，告別對題型的死訓練，引導學生走上學習解題、積累方法、感悟思想、開發(fā)智慧的“數(shù)學育人”之路，進而實現(xiàn)傳授知識和技能，關注過程和方法，培養(yǎng)學生良好的學習情感、積極的學習態(tài)度和正確的價值觀三維目標的高效落實.