構(gòu)建變量關(guān)系 理解“函數(shù)”特征

☉山東省臨沂沂堂中學(xué) 趙曉光

開學(xué)之初學(xué)校安排各年級(jí)各學(xué)科都要做一次學(xué)科打磨課的教研活動(dòng).作為一名數(shù)學(xué)青年教師代表自然責(zé)無旁貸地領(lǐng)旨掛帥，作了一節(jié)關(guān)于《一次函數(shù)》的教研課.課后我多次觀看當(dāng)時(shí)的課堂場景，與聽課教師進(jìn)行交流，希望自己能夠快速成長起來，成為課堂教學(xué)的佼佼者.我深知數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展的過程.需要以學(xué)情出發(fā)，創(chuàng)設(shè)一個(gè)激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的質(zhì)疑情境，在喚醒欲望的過程中存疑、解疑、釋疑.本次教研課我推陳出新，一改以往給學(xué)生大量的探究題，并要求學(xué)生快速釋疑的低效做法，而選擇新方式來講課.為此，我將創(chuàng)設(shè)的探究用PPT形式一一展示出來，并采用自主思考和小組交流等多種活動(dòng)來存疑、解疑、釋疑.在學(xué)生的探究活動(dòng)中做好引導(dǎo)和疏通，答疑和點(diǎn)撥.

一、課堂案例實(shí)錄

用電子白板展示：

探究1：去超市買桶裝方便面，單價(jià)為4元/桶，所要購買的數(shù)量為t桶，所用總費(fèi)用為f元.

（1）填寫相關(guān)表格.

t/桶 1 2 3 … n f/元 …

（2）試用含t的式子表示f.

師：哪位同學(xué)愿意在電子白板上填寫這個(gè)表格？

（生甲舉手，被允許后上臺(tái)填寫表格中的數(shù)據(jù)）

師：你怎么算出來的？

生甲：總費(fèi)用=價(jià)格×桶數(shù).

師：如何用含t的代數(shù)式表示f呢？

生甲：f=4t（學(xué)生板書出來）.

師：（示意學(xué)生回到自己座位上）請(qǐng)同學(xué)觀察上面等式哪些量在變，哪些量沒有變？

生：總費(fèi)用f、數(shù)量t在變，單價(jià)沒變.

師：總費(fèi)用隨數(shù)量的變化而變化.

用電子白板展示：

探究2：學(xué)生食堂每份飯的售價(jià)12元，如果早餐售出1800份，午餐售出2700份，晚餐售出3090份，三餐食堂收入各多少元？若設(shè)一餐售出x份，食堂收入為y元，怎樣用含x的式子表示y？

學(xué)生開始思考、演算.演算結(jié)束.

師：請(qǐng)乙同學(xué)來通過投影展示演算結(jié)果.

生乙：早餐食堂收入為12×1800=21600元；

午餐食堂收入為12×2700=32400元；

晚餐食堂收入為12×3090=37080元.

式子表示：y=12x.

師：請(qǐng)同學(xué)觀察上面等式中哪些量在變，哪些量沒有變？

生：x、y在變，食堂每份飯的售價(jià)12元沒變.

師：食堂收入隨售出飯的份數(shù)的變化而變化.

用電子白板展示：

探究3：從物理實(shí)驗(yàn)室找來一根50mm的彈簧，再找來一把刻度尺，作一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)（裝置如下圖），在彈簧的下端掛相同質(zhì)量的鉤碼，逐漸增加鉤碼數(shù)量，觀察彈簧長度，記錄隨鉤碼數(shù)量的變化：

鉤碼數(shù)量x/個(gè) 0 1 2 3 4彈簧長度L/mm 50

怎樣用含鉤碼數(shù)量x（個(gè)）的式子表示受力后的彈簧長度L（mm）？

布置任務(wù)，讓學(xué)習(xí)小組A三名學(xué)生上臺(tái)演示實(shí)驗(yàn).小組分工：生丙掛鉤碼、生丁讀刻度尺讀數(shù)、生戊記錄填表.

師：戊同學(xué)請(qǐng)你來說說填表的情況.

生戊：回答填表情況：

鉤碼數(shù)量x/個(gè) 0 1 2 3 4彈簧長度L/mm 50 58 66 74 82

師：請(qǐng)小組根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)分析，用含鉤碼數(shù)量x（個(gè)）的式子表示受力后的彈簧長度L（mm），怎么考慮的？

生丙：每增加一個(gè)鉤碼使彈簧伸長8mm，掛了x個(gè)鉤碼，受力后的彈簧長度便伸長8x，彈簧長原長為50mm，所以受力后的彈簧長度L=50+8x.（班級(jí)學(xué)生鼓掌）

師：回答很好，大家都能分清楚式子中的什么量在變化了吧？

學(xué)生：式子中的x、L在變.

用電子白板展示：

探究4：用80cm長的繩子圍成長方形，通過改變長方形的長和寬，計(jì)算所得到的長方形的面積怎樣變化？完成下列數(shù)表：

長/cm 35 30 25 20 15 10寬/cm面積/cm2

若長方形的邊長為ycm，面積為Scm2，則用含y的式子表示S為_______________.

教學(xué)活動(dòng)過程略去.

在教師的指導(dǎo)下學(xué)生根據(jù)以上創(chuàng)設(shè)的4個(gè)探究對(duì)其作出的關(guān)系式進(jìn)行歸納：

（1）什么是變量，其主要特征與含義是什么？

（2）常量的特征與含義又是什么？

……

二、課后交流與反思

再次觀看自己授課的錄像，在備課組教師的交流切磋中深深感悟到了這樣的幾點(diǎn)不足：

1.在創(chuàng)設(shè)探究環(huán)境時(shí)，很多是自己的一廂情愿，沒有抓住學(xué)生的實(shí)際情況，例如，探究1和2都是以買與賣的材料為載體，雷同的材料不足以拓寬學(xué)生視野，備課組成員認(rèn)為應(yīng)該更換材料.

2.課堂采用了問題驅(qū)動(dòng)式的講課方式，形式上對(duì)探究學(xué)生釋疑不拖泥帶水，探究本身是否足夠深刻，能否喚醒學(xué)生的思維？這是課后交流時(shí)一些教師提出了的.還有教師提出：學(xué)生在課堂上探究、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律的過程中，總是讓個(gè)別或者少數(shù)的學(xué)生來回答，有些像一言堂.盡管得出變量、常量概念是學(xué)生自己總結(jié)出來的，很多是學(xué)生看書而已，探究是否只成了部分好學(xué)生的戲臺(tái)？

3.還有教師認(rèn)為：教師作為指導(dǎo)者，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力不能僅僅依靠探究的情景，更多地要注入教師的心血.要讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考、能夠思考，在探究2的問題突破時(shí)，給學(xué)生不到3分鐘的時(shí)間，很多學(xué)生的表格都沒有完成，數(shù)值計(jì)算也過于“龐大”，應(yīng)該減小數(shù)值的運(yùn)算量，探究的目的是讓學(xué)生明確變量和常量，大量的數(shù)值運(yùn)算使得本末倒置.探究3是物理方面的問題，盡管是學(xué)生自己動(dòng)手操作的，而且是合作探究的，但下面的學(xué)生只是觀望，還有學(xué)生糾結(jié)在彈簧長度是否可以任意伸長等方面，離開了創(chuàng)設(shè)情境的初衷.

4.也有教師認(rèn)為，課堂用了大量的時(shí)間來鋪墊變量與常量，是否有些得不償失.為什么沒有對(duì)探究進(jìn)行延伸，比如說加入函數(shù)的定義、用方程組的觀點(diǎn)解決探究4，等等.還有就是本節(jié)課只談了變量、常量的數(shù)值關(guān)系，沒有涉及單位問題，變量的取值范圍問題等.

和眾教師30多分鐘的交流雖然短暫，但其尖銳、一針見血地指出存在的問題是刻骨銘心的.借助他人的意見或建議，我重新調(diào)整了本節(jié)內(nèi)容的解決方法：

1.將探究1留給學(xué)生課前作，讓導(dǎo)學(xué)案前置，起著預(yù)熱的作用.

2.將探究2換一種背景材料，替換成水池加水或者是高鐵行駛之類的背景材料，也讓學(xué)生在課前完成，課堂上開門見山地提出問題：“在探究1和探究2中，自己在解決問題的過程中，觀察到了什么嗎？請(qǐng)四位學(xué)生上臺(tái)寫出自己的見解.”這樣就可以直接得出：①每一個(gè)式子中都有兩個(gè)量可以變化，有不變的數(shù)值；②其中一個(gè)量改變，另一個(gè)量也會(huì)隨著改變；③當(dāng)一個(gè)量給出一個(gè)數(shù)值時(shí)，另一個(gè)量的數(shù)值也是一定的，等等.

3.探究3是學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的，但觀望的學(xué)生太多，將學(xué)生分組，彈簧改為橡皮筋來做實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生全員動(dòng)手，組與組之間競爭，掀起課堂探究的高潮.盡管各組得出的表格中的數(shù)值不同，其最終的表達(dá)式也不同，但規(guī)律是相同的.再通過小組展示小組實(shí)驗(yàn)結(jié)果、得出的關(guān)系式，讓全班學(xué)生議一議、評(píng)一評(píng)強(qiáng)化記憶.

4.在本節(jié)課之末，嘗試讓學(xué)生仔細(xì)觀察生活中的現(xiàn)象編制一道題，從而深化對(duì)變量和常量的理解.

三、寫在最后

再次講授打磨后的課的時(shí)候顯得輕松自然，課堂氣氛高漲而和諧.變量與常量是函數(shù)的基礎(chǔ)，升華為生生不息的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中體現(xiàn)出來的重要數(shù)學(xué)模型——自變量與函數(shù).從變量與常量的角度思考更多的是數(shù)學(xué)中定量地描述數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.所以，本節(jié)課關(guān)鍵所在是構(gòu)建概念，一個(gè)函數(shù)初步的概念.在課堂教學(xué)中是不能僅僅著眼于具體探究情境的釋疑過程，還要不斷將具體情境中的相關(guān)數(shù)學(xué)思想抽象化，從整體上認(rèn)識(shí)“函數(shù)”的本質(zhì).函數(shù)是數(shù)學(xué)的基本思想，需要通過一定材料的載體來體現(xiàn)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)是一個(gè)漫長的過程，既需要領(lǐng)悟教材的內(nèi)容，也需要教師恰如其分的點(diǎn)撥，更需要學(xué)生在積極的探究過程中親身經(jīng)歷和感悟.

總而言之，在教學(xué)中需要注重實(shí)踐，更需要同行們的幫助和交流，通過教研活動(dòng)可以讓教師獲得新生、走向成熟.P