辨析矩形概念 促進性質(zhì)探索
——對一節(jié)矩形性質(zhì)研討課的教學思考

☉安徽省銅陵市第八中學 潘楷佳

2018年3月我省教研員會議在銅陵一中舉行，會上兩位老師各自奉獻了一節(jié)研討課.其中A老師的課題是人教2013年版數(shù)學八年級下18.2.1矩形（1），內(nèi)容是矩形概念、性質(zhì)和推論“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半”.這個內(nèi)容似乎不難教學，沒有爭鳴的必要，所以有關(guān)這方面的研討文獻也不多見.但是筆者認為，圖形性質(zhì)是圖形概念衍生出來的特征，由此如何加強概念的辨析，有效設(shè)計性質(zhì)探索的活動，是值得研討的.本文先從課堂觀察開始，談談矩形性質(zhì)的一些教學思考，以供研討.

一、課堂觀察

1.課堂實錄

環(huán)節(jié)1是概念引入階段.A教師先提問平行四邊形有哪些性質(zhì)，再觀察平行四邊形木框的變形，當其旋轉(zhuǎn)到與一個固定直角的一邊重合時停下，啟發(fā)學生得出矩形定義，并配以矩形實物圖片，以說明學習矩形的必要性.環(huán)節(jié)2是性質(zhì)探索階段，是本課重點.A教師給出問題“矩形作為特殊的平行四邊形，它具有哪些特殊的性質(zhì)呢？”學生經(jīng)過自主合作探究，發(fā)現(xiàn)矩形的性質(zhì)有：①四個角都是直角；②對角線相等；③軸對稱圖形，有兩條對稱軸；④對邊平行且相等；⑤對角線互相平分；⑥對角相等.然后師生互動分類，梳理出矩形的特性，折紙驗證和規(guī)范證明，得到矩形的3條性質(zhì).環(huán)節(jié)3是研究推論階段.A教師先出示生活鏈接-投圈游戲的圖片，圖片中矩形對角線的交點處放一目標物，四個頂點處各有一個學生的頭像.問這樣的隊形對每個人公平嗎？為什么？接著又問：“如果一個學生回家寫作業(yè)去了，剩下三個同學玩套圈游戲，還公平嗎？”由此引出推論.環(huán)節(jié)4是鞏固應用階段（略）.

2.課堂點評

（1）特點分析：A教師重視學生參與和教師引導，用啟發(fā)式教學概念，用探究式教學性質(zhì)；重視生活情境和問題設(shè)計，重視數(shù)學實驗，有實物、圖片和PPT動畫輔助，比如為了突出矩形位置，課件里固定一個粗線條的直角，是一種好的創(chuàng)意.又比如用smart設(shè)計了5個挑戰(zhàn)過關(guān)的練習，形式新穎.整節(jié)課培養(yǎng)了學生空間觀念和推理能力，也有數(shù)學思想的滲透.（2）思考起點：矩形也有不穩(wěn)定性，為何旋轉(zhuǎn)到直角時就停下？在啟發(fā)得到矩形概念時，缺乏辨析的深度；師生探究并得到矩形性質(zhì)時，為體現(xiàn)其特性，缺乏類比；生活鏈接的游戲不夠嚴謹，因為問題里沒有給出公平的標準，也沒有必要，因為推論是矩形性質(zhì)的自然延伸，這個整體不能割裂，而另起生活情境反而增加了學生的認知負擔.

二、教學研討

1.理解圖形性質(zhì)和概念的關(guān)系

章建躍博士說過，“理解數(shù)學，理解學生，理解教學，理解技術(shù)”.要做到四個理解實屬不易，這要“回到原點的追問（前不久剛剛仙逝的裴光亞先生的話）”.其困境有：矩形概念為何這樣定義？學生知道矩形多少知識？矩形概念和性質(zhì)是什么關(guān)系？又如何抓住矩形概念本質(zhì)設(shè)計性質(zhì)探索的問題呢？更一般地，什么是圖形性質(zhì)等？

筆者認為，圖形性質(zhì)是指圖形運動變化過程中保持不變的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，是由該圖形概念衍生出來的、區(qū)別于其他圖形的特征.并以命題的形式表達的，屬于充分條件范疇.同時，將圖像性質(zhì)說成圖形特征更準確更好理解，因為性質(zhì)的范疇更大.原華師大版初中數(shù)學教材就是把圖形的性質(zhì)表述為圖形特征的.

圖形的概念和性質(zhì)之間存在著必然的聯(lián)系.從思維角度看，概念、判斷和推理是思維的基本形式，三者中概念是基礎(chǔ)，在概念基礎(chǔ)上進行判斷，在概念和判斷的基礎(chǔ)上進行推理，從而獲得圖形性質(zhì)，數(shù)學思維說到底就是概念的思維.從邏輯關(guān)系角度看，概念的內(nèi)涵外延決定了圖形性質(zhì)，限制了圖形性質(zhì)的適用范圍.如對頂角從屬于兩條直線相交的位置中，再結(jié)合互為補角的概念就必然有對頂角相等的數(shù)量關(guān)系；又如正比例函數(shù)y=kx（k≠0）概念中，因y總是x的k倍，故點（x，kx）呈現(xiàn)直線方向并經(jīng)過原點，當k≠0時直線從左到右不是上升就是下降；再如矩形，因為平行四邊形有一個內(nèi)角變?yōu)橹苯?，所以矩形的四個角都是直角，因為有一個直角的牽制，所以矩形的對角線相等，因為有一個直角的牽制，所以一組對邊的垂直平分線重合，矩形成為軸對稱圖形.

因此，概念的本質(zhì)是圖形性質(zhì)教學的邏輯起點.從概念辨析出發(fā)，圍繞一個“特”字去探索圖形性質(zhì)，應是自然之道.

2.重視學情，加強矩形概念的辨析

學生在小學里對長方形和正方形有所了解，認為長方形是有四個直角的四邊形，對長寬的印象深刻，知道了四個角都是直角、四條邊都相等的四邊形就是正方形.之前又知道了四邊形內(nèi)角和與其不穩(wěn)定性等，對平行四邊形概念、性質(zhì)、判定、運用及轉(zhuǎn)化為三角形的研究方法也有所了解，有了初步的邏輯思維能力和空間觀念，有了一定的獨立思考和綜合表達能力.這些都構(gòu)成矩形學習的認知基礎(chǔ)，但又是初中矩形概念學習的認知障礙.因為在啟發(fā)矩形定義時，如果教師沒有辨析與互動，那么學生仍會疑惑為什么就不能說“四個角為直角的四邊形叫矩形”呢？同時矩形長寬的關(guān)系屬性隱藏在概念之中，易被忽略.

事實上，平行四邊形和矩形都具有不穩(wěn)定性.學生容易發(fā)現(xiàn)，在平行四邊形從0度旋轉(zhuǎn)到180度的過程中，平行四邊形的四邊沒有改變但角一直在變化.可見矩形和一般平行四邊形的邏輯關(guān)系為：矩形首先是個平行四邊形，是因為一個內(nèi)角的特殊化而形成的，是平行四邊形下的第一個生長性概念.再引導學生以屬加種差形式得到定義：有一個直角的平行四邊形叫做矩形.這種種屬關(guān)系最好用大小圓等形式顯示出來，以強化辨析.故“四個角都是直角”只是矩形性質(zhì)而非概念本質(zhì).這種定義方式便于探究矩形性質(zhì)，也能遷移到菱形、正方形的學習中去.另外，長，指物體左右的距離；寬，指物體前后的距離；高，指物體上下的距離.故長不一定大于寬.這與人們通常的理解不一樣.因初中教材中沒有點明長方形與矩形的名稱關(guān)系，也沒有提到長寬關(guān)系，故這里要提一下.基于這樣的學情和概念本質(zhì)思考教學，才可能使學生有一個完整的概念認識.

3.基于素養(yǎng)，設(shè)計矩形性質(zhì)的探究

羅增儒教授說：“探究式教學是指學生在學習概念和原理時，教師提出一些事例和問題，組織學生‘自主、合作、探究’，發(fā)現(xiàn)并掌握相應結(jié)論的一種教學方法.”這種探究具有自主性、開放性、過程性、合作性、創(chuàng)造性等特點.

實踐證明，平行四邊形、矩形、菱形、正方形知識容易混淆.從知識整體看，矩形與各種多邊形都有聯(lián)系，也是圓、相似形、立體幾何等知識的基礎(chǔ).從概念出發(fā)設(shè)計性質(zhì)探究的問題，才會使性質(zhì)教學不至于生硬，因為建立在學生思維最近發(fā)展區(qū)上的問題才是更有效的.問題要多元化設(shè)計，運用“問題及變式策略、類比策略、過程性策略、開放策略、系統(tǒng)化策略”教學.其中對角線相等可用全等證明，也可用勾股定理或軸對稱性證明.而矩形的軸對稱性用實驗或課件演示，這是軸對稱圖形性質(zhì)探究的通性通法.探究式教學還要注意積極評價、反思求異，盡可能地給學生機會展示不同的思維.筆者在自己的課堂里，一名成績一般的學生就提出用勾股定理證明對角線相等的方法.

矩形性質(zhì)探究之后應該：（1）類比平行四邊形確認矩形特征.如圖1，利用平行四邊形的動畫演示，抓住平行四邊形一角的旋轉(zhuǎn)，觀察另外三個角度和對角線長度的變化、一組對邊垂直平分線的重合、全等三角形對數(shù)等；矩形也是中心對稱圖形，觀察矩形繞著中心點O旋轉(zhuǎn)180度，可見其對邊、對角、對角線和其中三角形的重合等.這樣既體現(xiàn)了概念對性質(zhì)的作用，又容易強化學生對矩形特征的理解.（2）探究矩形內(nèi)部的結(jié)構(gòu).發(fā)現(xiàn)矩形被兩條對角線分割成四個面積相等的等腰三角形和四個全等的直角三角形.再從這四個全等的直角三角形中，抽象出任意一個含斜邊上中線的直角三角形模型，觀察就能得到推論“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”.這是一個建模的過程，是性質(zhì)的直接運用，也是研究推論的通性通法.這樣做沒有割裂性質(zhì)與推論的整體聯(lián)系，也能復習矩形和三角形、垂直平分線、軸對稱等知識的聯(lián)系，可完善學生的認知結(jié)構(gòu).

因為?ABCD的不穩(wěn)定性，即不會被對角線固定，所以實物木框不方便使用，但幾何畫板卻能把平行四邊形繞點B旋轉(zhuǎn)，也能從矩形ABCD中平移出△ABC等，幾何畫板不僅能將一些抽象的靜態(tài)圖形以動態(tài)形式顯示出來，而且為學生提供了一個探究平臺，是圖形性質(zhì)教學的首選工具，能有效培養(yǎng)學生的各種素養(yǎng).

圖1

從素養(yǎng)角度看，數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要落實在“四基”教學上，落實在知識技能學習的每一個環(huán)節(jié)里.所以本課教學目標應是：①經(jīng)歷概念的辨析同化過程，掌握矩形概念；②通過探究活動，理解矩形的兩條性質(zhì)和一個推論；③在概念性質(zhì)學習的過程中，發(fā)展學生的合情推理演繹推理能力，培養(yǎng)空間觀念，感悟數(shù)學思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗.

三、課堂重構(gòu)

環(huán)節(jié)（一）情境引入，辨析概念

問題1：我們學習了平行四邊形哪幾個方面的知識？

問題2：觀察下列圖片（課本、門等），你能抽象出哪種形狀的圖形？

追問：對這種圖形知識，你了解哪些？

設(shè)計意圖：先溫故知新，引導學生概括性回答，關(guān)注學生是否知道圖形的研究對象有哪些？接著從一組實物圖片中抽象出矩形，暗示本課的研究對象.并現(xiàn)場了解學生的學情，為概念辨析作準備.

問題3：觀察平行四邊形木框的變形，哪些量不變？哪些量在變？變形中它還是平行四邊形嗎？為什么？

追問（1） 有沒有特殊平行四邊形出現(xiàn)？因什么而產(chǎn)生？（預設(shè)答長方形，給出矩形名稱并說明矩形和長方形的關(guān)系；過程中用幾何畫板或?qū)嵨镅菔酒叫兴倪呅我粋€角從0度到180度的旋轉(zhuǎn)，以突出概念的本質(zhì)）

追問（2） 矩形應該怎么定義呢？（預設(shè)有四個直角的四邊形叫做矩形，有一個直角的平行四邊形叫做矩形.說明前一種說法掩蓋了矩形的本質(zhì)屬性）

追問（3） 矩形和平行四邊形是什么關(guān)系？（給出兩圓的包含關(guān)系圖）

設(shè)計意圖：問題串和動態(tài)演示的目的是為了發(fā)現(xiàn)矩形是由平行四邊形變形而來的，且直角位置唯一.了解概念的包含關(guān)系，滲透類比思想，為定義矩形積累感性經(jīng)驗.而要學生說出定義，是為了直指本質(zhì)，明確概念辨析的教學方向，把概念同化過程建立在學生認知的基礎(chǔ)之上，提高針對性.

環(huán)節(jié)（二）操作確認，探究性質(zhì)

問題4：平行四邊形因為一個內(nèi)角的特殊化成為矩形，所以矩形很特殊.這種特殊性體現(xiàn)在哪些方面？（動手畫圖、小組合作）

設(shè)計意圖：引導學生利用定義畫出矩形，并自主、合作、探究矩形有哪些特征.積累數(shù)學活動經(jīng)驗.

問題5：請用命題的語句說說你的發(fā)現(xiàn).

追問（1） 對比平行四邊形性質(zhì)，哪些發(fā)現(xiàn)是矩形特有的？

追問（2） 怎么證明這幾個特性呢？

追問（3） 還有其他證法嗎？

設(shè)計意圖：探究之后的歸納概括，不能由老師直接給出.應注意培養(yǎng)學生用符號、命題等數(shù)學語言表達的能力，培養(yǎng)猜想需要梳理，猜想需要證明的反思意識，培養(yǎng)思維的靈活性等.（其中課件準備用勾股定理證明對角線相等的過程，以便隨機調(diào)用）

問題6：請看?ABCD繞一個點B旋轉(zhuǎn)，說說平行四邊形內(nèi)角與對角線是怎么變化的？全等三角形有幾對？一組對邊垂直平分線的位置關(guān)系怎樣？

設(shè)計意圖：利用動畫演示，直觀說明矩形特性，類比平行四邊形性質(zhì)，體會一般與特殊的關(guān)系，發(fā)展空間觀念等（也可把矩形繞中心O旋轉(zhuǎn)和對折，以驗證性質(zhì)）.

環(huán)節(jié)（三）延續(xù)探究，特性運用

問題7：請進一步觀察，矩形除了以上三條性質(zhì)外，還有什么結(jié)構(gòu)特征？

追問：單獨觀察一個直角三角形，如Rt△ABC，BO是它的什么線段，BO與AC有關(guān)系嗎？

設(shè)計意圖：進一步分析矩形結(jié)構(gòu)，了解矩形與其他知識的關(guān)聯(lián).對于Rt△ABC中的BO與AC關(guān)系，學生自然會聯(lián)系矩形思考，既復習了矩形性質(zhì)，又得到這條推論（順便還要提一提這條推論的逆定理也成立，可嘗試課外探究）.

環(huán)節(jié)（四）簡答練習題與課堂小結(jié)（略）

四、教研感悟

因為初中教材里的矩形概念和小學教材的描述不一致，所以備課時必須查閱小學教材，做到心中有數(shù)，提高對學情的把握，有利于矩形特征的教學，做到理解數(shù)學、理解學生.但是運用技術(shù)輔助教學是千變?nèi)f化和不斷發(fā)展的，且教學有法教無定法.因此理解教學是一門與時俱進的學問，確實“教學應是一種學術(shù)活動（羅增儒教授的話）”，爭鳴即是研討課的出發(fā)點，又是研討課的特征，而研討是教師專業(yè)發(fā)展的途徑之一.