四步七階段搞定初中數(shù)與代數(shù)概念教學(xué)設(shè)計*
——以認(rèn)識一元二次方程為例

☉太原師范學(xué)院教師教育學(xué)院 陳夢瑤 王保紅

數(shù)學(xué)是以思維為主導(dǎo)的學(xué)科，而概念是思維的基本單位，要想對學(xué)生思維品質(zhì)進行培養(yǎng)，上好概念課顯得尤為重要.哲學(xué)上對概念的理解是人腦對事物本質(zhì)特征的反映.在數(shù)學(xué)教學(xué)中要想展開一個知識點的學(xué)習(xí)，最基礎(chǔ)的工作就是概念的學(xué)習(xí)，在初中學(xué)習(xí)中分為四大塊：數(shù)與代數(shù)、幾何與圖形、概率與統(tǒng)計以及綜合與實踐.本文以一元二次方程為例，闡述數(shù)與代數(shù)概念教學(xué)設(shè)計的四步曲.

一、設(shè)計前請走好這四步

1.對概念的宏觀把握

通過對《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》進行查閱，對一元二次方程這一概念本質(zhì)屬性與教育價值進行把握，“課標(biāo)”中要求：“能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.”由此可以對本節(jié)知識的本質(zhì)屬性準(zhǔn)確定位為在形式上可以辨認(rèn)一元二次方程，會在具體情境中列出一元二次方程并將其轉(zhuǎn)化為一般式.教育價值為在已有知識基礎(chǔ)上，更加深入地通過具體情境深化方程模型思想，能在數(shù)學(xué)問題中尋找到等量關(guān)系并用方程描述.

2.教材分析

教材分析包括宏觀把控和教材細(xì)節(jié)分析.宏觀把控需要對整章知識、學(xué)生已有知識進行分析.本節(jié)知識在北師大版九年級上冊第二章第一節(jié)，以認(rèn)識、求解、應(yīng)用一元二次方程構(gòu)成整章，而初中主要應(yīng)用一元二次方程解決幾何等量問題、增長率問題以及利潤問題.北師大版教材對該節(jié)知識的編排呈現(xiàn)的三個實際問題情境均是幾何等量關(guān)系，教師必須明確每個問題的編寫意圖.其中第一個面積問題在學(xué)習(xí)一元一次方程時已經(jīng)有所涉及，因此可以利用學(xué)生熟悉的一元二次方程的面積問題進行課堂導(dǎo)入；第二個梯子下滑問題為了利用已有知識勾股定理，創(chuàng)建幾何與代數(shù)的關(guān)系，利用一元二次方程解決幾何問題；第三個自然數(shù)問題，要是將整式運算法則與一元二次方程聯(lián)系起來.通過三個具體問題抽象方程，并類比一元一次方程的概念定義一元二次方程，通過對習(xí)題考查的知識點的分析能夠把握這節(jié)課的重難點——系數(shù)的判別以及一般式的化簡，在此教師則需要強調(diào)和有針對性的練習(xí).

3.學(xué)情分析

在七年級上冊“整式及其加減”章節(jié)，學(xué)生已經(jīng)可以在具體情境中列出代數(shù)式，且初步形成符號意識；“一元一次方程”章節(jié)，學(xué)生已經(jīng)能探索具體情境中的數(shù)量關(guān)系，初步感受方程的模型思想，它的研究方法以及定義概念的方式為本節(jié)知識學(xué)習(xí)奠定了知識遷移的基石；在七年級下冊“整式乘除”章節(jié)完全平方式以及平方差公式的學(xué)習(xí)中，對學(xué)生的符號意識和推理能力有深層次的拔高，同時將幾何與代數(shù)結(jié)合，落實了幾何直觀核心素養(yǎng)，為一元二次方程中幾何與代數(shù)結(jié)合奠定基礎(chǔ)；八年級上冊“二元一次方程組”章節(jié)，學(xué)生再一次體會到在具體情境中尋找等量關(guān)系，樹立符號意識，體會方程的模型思想以及“消元”思想；八年級下冊“分式與分式方程”進一步深化了方程的思想.這些章節(jié)的學(xué)習(xí)均為今天一元二次方程的學(xué)習(xí)打好了基礎(chǔ)，方法上能達(dá)到遷移，思想上得到進一步的深化.這一系列知識的學(xué)習(xí)均為一元二次方程的認(rèn)識鋪設(shè)了道路.

4.教學(xué)目標(biāo)的確定

通過對“課標(biāo)”以及教材的分析，在宏觀及微觀上均對這節(jié)內(nèi)容有很大把握，下一步則要制定具體的三維目標(biāo)，以上研究均可以對教學(xué)設(shè)計的每一個環(huán)節(jié)進行指導(dǎo)，在以上研究基礎(chǔ)上可以清晰明確地確定本節(jié)知識的三維目標(biāo)如下：

知識與技能：能在具體問題情境中尋找到等量關(guān)系并列出一元二次方程，能辨析一個方程是不是一元二次方程；能將任何形式的一元二次方程化為一般式，并能準(zhǔn)確判斷其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)項.

過程與方法：經(jīng)歷并探索用一元二次方程刻畫實際生活問題的過程，進一步深化方程思想，并提高學(xué)生的運算能力.

情感態(tài)度與價值觀：建立數(shù)學(xué)與實際生活關(guān)系，體會數(shù)學(xué)是解決實際生活問題的有利工具，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力.

以上四步有序完成以后，為教學(xué)設(shè)計的每一步設(shè)計提供好了支撐基礎(chǔ)，使教學(xué)設(shè)計的每一步都有根有據(jù).

二、一元二次方程的教學(xué)設(shè)計

1.尋找基石，引發(fā)疑惑

學(xué)生活動：列出下列方程，并對其命名.

問題1 在一卷公元前1600年左右遺留下來的古埃及紙草書中，記載著一些數(shù)學(xué)問題，其中一個問題翻譯過來是：“啊哈，它的全部，它的，其和等于19.”你能求出題中的“它”嗎？

問題2（古代雞兔同籠問題）今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

問題3 某長方形操場面積為5850m2，長和寬之差是25m，求操場的長和寬.

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)概念的發(fā)展均源于實際生活，在數(shù)學(xué)史中處處可以找實例，此處利用以前涉及過的數(shù)學(xué)史精準(zhǔn)喚醒學(xué)生的記憶，并強調(diào)數(shù)學(xué)文化的重要性，同時通過讓學(xué)生在實際問題中尋找等量關(guān)系，列出方程，從三類方程形式上的不同，與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)生沖突，激發(fā)學(xué)生的好奇心，引出新課，同時為類比一元一次方程概念概括一元二次方程概念作鋪墊，這也就是概念教學(xué)的第一階段即各種刺激的辨別.

2.結(jié)合實際問題，概括共同特征

問題4 面積問題：我們的教室地面的長為8m，寬為5m，要舉行班會裝飾教室，即在地面正中間鋪設(shè)一塊面積為18m的地毯，你能計算出未鋪地毯的四周條形區(qū)域的寬度嗎？首先列出方程.

問題5 梯子下滑問題：消防員用一個長為10m的梯子斜靠在樓房的墻上救援一只小貓，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.營救過程中梯子的底端向外滑動了1m，消防員想知道梯子頂端向下滑動了多少米？首先列出方程.

教師引導(dǎo)：要求學(xué)生一起尋找等量關(guān)系，并口頭陳述.

師生活動：對等量關(guān)系3、4、5的方程化簡，并觀察這三個等式有什么共同特征？同學(xué)們帶著教師的提問進行討論，類比一元一次方程定義給這類方程下定義.（滲透類比的思想、教師PPT展示一元一次方程概念）

設(shè)計意圖：在問題3基礎(chǔ)上，深化面積問題，問題4不論列方程還是化簡均難于問題3；問題5則利用熟悉的勾股定理作為生長點，建立幾何與方程的關(guān)系；以教材為依據(jù)對兩個問題進行改編，使問題更貼近于生活，讓學(xué)生深刻感受生活與數(shù)學(xué)的密切關(guān)系，并在具體問題情境中建立方程模型，并對方程進行基本的化簡，通過小組討論經(jīng)歷共同屬性的發(fā)現(xiàn)過程，對比一元一次方程形式，在問題的刺激下分化出一元二次方程形式的共同屬性，抽象出本質(zhì)屬性，類比一元一次方程概念，形成一元二次方程的概念，即在各種刺激中經(jīng)歷分化、抽象共同屬性，形成概念的過程.

教師總結(jié)：我們之前學(xué)的一元一次方程、二元一次方程可以幫助我們破解生活問題，我們發(fā)現(xiàn)一元二次方程也可以，以后遇到等量關(guān)系問題，可以多方面考慮，可以考慮用一元二次方程來解決.

設(shè)計意圖：教師的總結(jié)，為了在思維上提升學(xué)生，落實利用方程解決實際問題，小小的總結(jié)，不起眼但是卻可以點醒學(xué)生，引起學(xué)生的注意.

3.深入認(rèn)識，確定關(guān)鍵屬性

問題6 歸納一般式：將上述三個方程移項，按照等號左邊為一次三項式，等號右邊都為0整理，你發(fā)現(xiàn)了什么？

教師引導(dǎo)：教師帶領(lǐng)學(xué)生化簡一個.

設(shè)計意圖：教師通過巡視觀察學(xué)生移項過程中的主要錯誤，強調(diào)學(xué)生易錯點，加深學(xué)生印象，同時再次回到情境，對一元二次方程的概念進行檢驗，在此基礎(chǔ)上深入認(rèn)識概念，歸納一元二次方程的一般式且用符號表示新概念ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）并定義二次項系數(shù)和一次項系數(shù)，落實教學(xué)目標(biāo).

問題7 小組討論，完成下表1.

表1

設(shè)計意圖：及時強化鞏固，從正例做起，通過小組討論，暴露學(xué)生認(rèn)識上的錯誤，捉住易錯處進行強調(diào)，讓知識的生成更自然，不為了強調(diào)而故作假設(shè).

問題8 深入理解一般式：討論為什么a≠0，并判斷5x2=0，x2-2x=0，7x2-8=0，4x3-4=0是不是一元二次方程？

設(shè)計意圖：再次深入認(rèn)識一元一次方程與一元二次方程的本質(zhì)不同，深化對概念的本質(zhì)屬性的理解，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)a≠0時一般式變?yōu)閎x+c=0，即變?yōu)橐辉淮畏匠?，強調(diào)a≠0的重要性，再利用正反例對比確定一元二次方程關(guān)鍵屬性.

4.練習(xí)，拓展提升

問題9 提升對概念的理解：方程xm+4+4x=0為一元二次方程，m為多少？

設(shè)計意圖：比問題8更深一個層次對概念進行理解，抽象為符號表示的形式對學(xué)生思維層次要求會更高，在本節(jié)課中是對學(xué)生思維的一個拔高.

問題10 根據(jù)題意，列一元二次方程：

（1）衣服設(shè)計師想要將一塊面積為54m2的長方形布料剪成正方形，將它的一邊剪短5m，另一邊剪短2m，恰好變?yōu)橐粋€正方形，你能計算這個正方形布料邊長為多少嗎？

（2）從前有一天，一個笨漢拿著竹竿進門，橫拿豎拿都進不去，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺，他的鄰居教他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個笨漢一試，不多不少剛好進去，你知道竹竿有多長嗎？（三尺為一米）

設(shè)計意圖：第一題改編自教材中的問題，利用數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生感受生活中的樂趣，學(xué)生在實際情景中尋找等量關(guān)系，列出一元二次方程，及時對教學(xué)目標(biāo)進行落實與強化，第二題利用《九章算術(shù)》中的問題將數(shù)學(xué)文化在無形中傳遞，并和所學(xué)知識緊密聯(lián)系.

問題11 完成下面的表2.

表2

設(shè)計意圖：進一步強化對一元二次方程及其一般式的認(rèn)識，并能通過及時的鞏固準(zhǔn)確無誤的確定二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項，同時在完成表格后，及時利用簡單的一元二次方程4-7x2=0預(yù)告新課，即求解一元二次方程的方法.

5.本節(jié)小結(jié)

教師引導(dǎo)：讓學(xué)生從方法、思想上總結(jié)本節(jié)課，并形成框圖.

設(shè)計意圖：以學(xué)生為主導(dǎo)課堂小結(jié)，可以及時抓住學(xué)生的注意力，增強本節(jié)課的課堂效果，并引導(dǎo)學(xué)生將以前的知識與今天的知識一起納入框圖，形成對知識的整體把握，養(yǎng)成好的思維品質(zhì).

三、概念教學(xué)設(shè)計策略

1.以四步為基礎(chǔ)，為教學(xué)設(shè)計鋪好路

在進行一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計之前首先要從“課標(biāo)”看起，從宏觀上把握上課的基本思想不偏離正軌，其次是對教材的研讀，達(dá)到本章知識的整體把握，小到本節(jié)知識的每一個問題、練習(xí)題以及概念呈現(xiàn)方式，深入挖掘編者的設(shè)計意圖，合理選擇在課堂中應(yīng)該呈現(xiàn)的情境，如果教材挖掘不夠，會使得教學(xué)設(shè)計的導(dǎo)入流于形式；再次是對學(xué)情的把握，學(xué)情的把握能讓我們尋找到本節(jié)概念課的生長點，創(chuàng)造性地引入新課并可以通過類比形成概念，使知識自然生成，自然遷移，概念的理解順理成章，新知識的學(xué)習(xí)不再是痛苦的，而變成一種享受；最后就是在以上三步基礎(chǔ)上穩(wěn)扎穩(wěn)打地確定三維教學(xué)目標(biāo)，知識與技能目標(biāo)是可測的，過程與方法則貫穿整堂課，情感態(tài)度與價值觀則需要潛移默化的實施.做好這四步，教學(xué)目標(biāo)的確定也不再困難.

2.以七階段為指導(dǎo)，設(shè)計概念教學(xué)

在概念的教學(xué)中，形成概念需要經(jīng)歷七個階段，即在具體情境中辨別各種刺激模式、分化出各種刺激模式的屬性（共同屬性）、抽象出各種刺激模式的共同屬性并加以提煉（本質(zhì)屬性）、形成概念、檢驗概念并明確關(guān)鍵屬性（回到情境，通過正反例確認(rèn)）、用符號表示新概念、對新概念進行精致，由于概念不是抽象難懂的，它的學(xué)習(xí)必須結(jié)合具體問題情境，在概念教學(xué)設(shè)計中以這七個階段進行評判和指導(dǎo)，可以使概念教學(xué)的教學(xué)設(shè)計順利進行，并且每一步的設(shè)計都恰到好處，從而使知識的落實穩(wěn)扎穩(wěn)打.

3.概念的教學(xué)，不忘數(shù)學(xué)文化的傳播

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)如同建設(shè)樓房的地基一樣重要，《概念多元表征的教學(xué)設(shè)計對概念學(xué)習(xí)的影響》指出直接學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)概念是困難的，用數(shù)學(xué)概念的多元表征學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是一種新理念和策略.教師可以利用問題情境進行概念教學(xué)，這是因為概念的發(fā)展與形成均源自實際問題情境，由此可見概念是有源頭的，這就需要教師對概念的源頭進行挖掘，同時結(jié)合學(xué)情，選取合適的數(shù)學(xué)史作為情境，既不會使學(xué)生覺得概念的產(chǎn)生十分突兀，又可以創(chuàng)設(shè)吸引學(xué)生眼球的問題情境，使概念的學(xué)習(xí)自然而然、水到渠成，同時傳遞了數(shù)學(xué)文化，一舉兩得.同樣也可以利用數(shù)學(xué)文化來貫穿整節(jié)課，以一個數(shù)學(xué)故事為鏈，捆綁整節(jié)課的學(xué)習(xí).