順勢拓展 追問導(dǎo)學(xué)
——基于一節(jié)《函數(shù)零點問題的數(shù)形結(jié)合分析》課例的分析

福建省龍巖第一中學(xué) (364000) 莊炯林

眾所周知，一個成功的教育者，絕非照本宣科、生搬硬套地填鴨式教學(xué)就能夠成就的.傳授知識不是在建圖書館，否則建一所學(xué)校只要建圖書館和配備相應(yīng)的管理員就行了，教師豈不是無足輕重可有可無？恰恰，教師在教學(xué)中要充當(dāng)思想領(lǐng)袖、是智慧的集大成者，教師傳授給學(xué)生的學(xué)習(xí)方法、思考方式比傳授知識本身更重要.題目千變?nèi)f化，做不完，但是題型卻有固定的路數(shù).在教師平時的教學(xué)過程中，不能一味地追求題海題量，而應(yīng)該要能在一道道經(jīng)典的題目當(dāng)中擅長挖掘、拓展、延伸、逆向分析，那么，這一道題目便是千千萬萬的題目的化身，達到真正以學(xué)生為本、教師是主導(dǎo)，學(xué)生是主體的高效課堂目標(biāo).下面就以“追問導(dǎo)學(xué)”方式對生成知識與方法做一次課堂教學(xué)探討.

一、教學(xué)內(nèi)容分析

初學(xué)者(高一學(xué)生)大多不清楚為什么要研究函數(shù)的零點，因為在此之前他們都能用公式法直接求方程的根．其實，函數(shù)的零點問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要概念,從函數(shù)值與自變量對應(yīng)的角度看,就是使函數(shù)值為0的實數(shù)x.從方程的角度看,即為相應(yīng)方程的實數(shù)根；從函數(shù)的圖像角度看,函數(shù)的零點就是函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo).對于高中所接觸的函數(shù)相對較為復(fù)雜，除了研究函數(shù)的零點個數(shù)，還涉及到含參數(shù)的零點問題、復(fù)合函數(shù)的零點問題等等，教學(xué)時可通過舉例讓學(xué)生知道，有許多方程都不能用公式法求解，只能把方程交給函數(shù)，轉(zhuǎn)化為考察相應(yīng)函數(shù)的零點問題，從動態(tài)的角度來研究，以靜制動，借助形的角度來研究數(shù)的問題．所以函數(shù)的零點從不同的角度,將函數(shù)與方程，數(shù)與形有機的聯(lián)系在一起，體現(xiàn)的是函數(shù)知識的應(yīng)用.

二、教學(xué)實錄片段

1.提出問題，揭示方法

引例已知函數(shù)f(x)=

圖1

分析：首先可用函數(shù)與方程思想，將“函數(shù)y=f(x)-a存在三個零點”轉(zhuǎn)化為“方程f(x)-a=0存在三個解”即“函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=a有三個交點”，最后用數(shù)形結(jié)合思想分析.如圖1所示，當(dāng)a∈(-1,0]時，函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=a有三個交點.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生初步掌握數(shù)形結(jié)合思想在零點問題的應(yīng)用.從討論方程的解(或函數(shù)的零點)的個數(shù)問題揭示方法，將問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點個數(shù),其基本步驟是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式(不熟悉時,需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)),然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖像,圖像的交點個數(shù)即為方程解(或函數(shù)零點)的個數(shù).

2.順勢拓展，追問深化

追問1：已知函數(shù)f(x)=

圖2

生1：根據(jù)剛才引例的分析，如圖2所示，當(dāng)a∈(-1,0]時，函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=a有三個交點，且在直線y=a平移中x2,x3始終關(guān)于x=3對稱，即x2+x3=6，又x1∈[0,1)，所以x1+x2+x3=x1+6∈[6,7).

師：對，生1能利用剛才現(xiàn)有的成果進一步分析，使得問題得以解決.那同學(xué)們再看.

圖3

師：不錯！生2不僅能利用函數(shù)的奇偶性將函數(shù)圖像補全，而且利用奇偶性求解函數(shù)解析式，從動態(tài)圖形的觀察，以靜制動的方式實現(xiàn)問題的解答.接下來，同學(xué)們再看.

取M>max{2,2p,1+p}, 可知 由引理1.3、馬爾可夫不等式、 p≥1、E|X|1+p<∞、條件(A1)和式(2.4)得

A．5B．6C．7D．8

圖4

生3：“函數(shù)y=[f(x)]2+f(x)的零點個數(shù)”等價于“方程[f(x)]2+f(x)=0根的個數(shù)”，令t=f(x)則t2+t=0，得t=0或t=-1，此時f(x)=0及f(x)=-1的解為方程[f(x)]2+f(x)=0根的個數(shù)，即函數(shù)y=[f(x)]2+f(x)的零點個數(shù).如圖4所示，函數(shù)y=f(x)與y=0有5個交點，函數(shù)y=f(x)與y=-1有3個交點，共8個，故選D.

師：對！追問3帶來復(fù)合函數(shù)的零點問題，生3巧妙的利用換元法，轉(zhuǎn)化為內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的零點問題，贊！如果是接下來這題呢？

生4：以生3的解題提示，令t=f(x)，則t2+at+2a=0，如圖5-1所示，函數(shù)y=f(x)與y=t在t∈(-1,1)內(nèi)有5個交點，也是最多交點，要使得方程[f(x)]2+af(x)+2a=0有10個不相等的根，方程t2+at+2a=0在t∈(-1,1)內(nèi)須有不同的兩解，即函數(shù)g(x)=t2+at+2a在(-1,1)有兩個不同的零點，如圖5-2所示，有

圖5-1 圖5-2

A.方程f(f(x))=0有且僅有3個根

B.方程g(g(x))=0有且僅有4個根

C.方程g(f(x))=0有且僅有5個根

D.方程f(g(x))=0有且僅有6個根

圖6-1 圖6-2

生5：如圖6-1所示，A選項中，滿足方程f[f(x)]=0的f(x)有3個不同的值，f(x)等于-2，0，2，而當(dāng)f(x)=0時對應(yīng)3個不同的x值；當(dāng)f(x)=±2時，沒有對應(yīng)的x值．故滿足方程f[f(x)]=0的x值共有3個，即方程f[f(x)]=0有且僅有3個根，故A正確．

如圖6-1、6-2所示，D選項中，滿足方程f[g(x)]=0的g(x)有三個不同值，g(x)等于-2，0，2，如圖可知，由于每個g(x)值對應(yīng)了2個x值，故滿足f[g(x)]=0的x值有6個，即方程f[g(x)]=0有且僅有6個根，故D正確．故選C.

師：非常好！生5能融會貫通，分別從兩個函數(shù)圖像中的零點個數(shù)出發(fā)，將多組合的復(fù)合函數(shù)一一分析清楚，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，達到“不畫圖，沒前途，畫了圖，不糊涂”的境界.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生學(xué)會“學(xué)中思考，融會貫通”，提升素養(yǎng).設(shè)計一個入口較寬的問題，順勢拓展問題，步步追問的形式，讓每一個追問都有一定挑戰(zhàn)性，讓學(xué)生從一題多變中體會知識的連續(xù)性，讓學(xué)生合理利用現(xiàn)學(xué)的理論知識求解，逐步拓寬解題思維，不僅培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識，也達到知識認知的廣度和寬度.使學(xué)生能將陌生的問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題，把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題，當(dāng)依靠形說不清時再次把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)，感受數(shù)學(xué)解題其實就是一個不斷轉(zhuǎn)化的過程．

3.點撥指導(dǎo)，歸納總結(jié)

問題：以引例為出發(fā)點，順勢拓展步步追問，你有哪些收獲？

設(shè)計意圖：在學(xué)生談收獲，談體驗的過程中，教師將本節(jié)課的內(nèi)容回顧總結(jié)，概括升華，進一步優(yōu)化學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，把課堂所學(xué)的知識與方法較快轉(zhuǎn)化為學(xué)生的核心素養(yǎng)，也更進一步培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力．主要是讓學(xué)生歸納總結(jié)以下兩點：①函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)換的方法與技巧；②數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的方針與策略.

三、教與學(xué)的思考

在課堂教學(xué)中讓學(xué)生在親身體驗中認識數(shù)學(xué)思想方法，解決問題，理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識、技能和方法.多關(guān)注學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的過程.以問題串組織教學(xué)，一步步引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)思路，5個追問把整節(jié)課知識點串了起來，這樣的課堂是高效的，學(xué)生在思考中發(fā)現(xiàn)，在探究中感悟．立足放手讓學(xué)生來說，把舞臺交給學(xué)生，充分體現(xiàn)教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的教學(xué)理念．學(xué)生的大膽嘗試，縝密的思維，條理清晰的思路正是我們老師希望看到的，這樣的學(xué)生也是我們老師希望培養(yǎng)的．