在反思中探究，在探究中提高
——例談高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)

浙江省慈溪市周巷中學(xué) (315324) 朱建治

高三教學(xué)基本上就是復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)就離不開做題，講題，是就題論題還是借題發(fā)揮，筆者認為高三復(fù)習(xí)的課堂定位應(yīng)側(cè)重在學(xué)生認知的基礎(chǔ)上，如何充分調(diào)動學(xué)生的積極性、如何引導(dǎo)學(xué)生進行自覺反思、如何在反思中探究，進而提煉、創(chuàng)新，從而達到知識的構(gòu)建.本文將談?wù)勔惶迷诜此贾凶魈骄康膹?fù)習(xí)課教學(xué)實踐.

環(huán)節(jié)1:一題多解，感悟通法

例1 (2016浙江調(diào)研卷)已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點坐標在原點，點P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線上.

(1)寫出拋物線的方程;

(2)當(dāng)直線PA與PB斜率存在且傾斜角互補時，求y1+y2的值及直線AB的斜率.

解答：(1)y2=4x.

圖1

題目背景：這是一個非常經(jīng)典的定值，定點問題，在歷年學(xué)考，高考中屢有出現(xiàn)，其中也有好多現(xiàn)成的結(jié)論，對學(xué)生來說，沒出現(xiàn)過的都是新的，對教師來說是一個不可多得的教學(xué)素材，因此要利用好這個素材.

解法分析：方法一通過設(shè)直線PA與PB的方程，然后與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理解得A,B坐標，求出斜率，思路自然流暢.方法二利用拋物線上點的特殊性可以把兩點的斜率用一種字母表示，避開了方程組的聯(lián)立，簡化了計算，是拋物線中一種常用的，有效的通法.方法三設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，與拋物線聯(lián)立消x，利用y1+y2=-4為常數(shù)解得斜率k的值.這是直線與圓錐曲線解答題中，非常普遍的一種直線方程設(shè)法.但是對于一些計算弱的同學(xué)來說，引進兩個變量從心理上有點排斥，需要我們在課堂上多進行有效的訓(xùn)練.通過三種方法的解答，讓學(xué)生感悟解析幾何中的通性通法，感受拋物線的特殊性，從而達到知識的構(gòu)建.

環(huán)節(jié)2:追本溯源，反思探究

波利亞在解題理論中指出：解題需要回顧，通過反思自己的解題過程，思考無論是在解題過程中的某些問題，還是最終的結(jié)論，提出有價值的問題.羅增儒教授指出，解題完成以后，結(jié)論也是一種條件.因此通過對解法的回顧及結(jié)論的反思，師生共同作如下反思與探究.

反思1：由結(jié)論可知直線AB的斜率為定值，那么該定值是否與點P有關(guān)？若有關(guān)能否得到一般性結(jié)論?

反思2：定值直線AB的斜率,是否具備某種幾何性質(zhì)？

圖2

分析：運用極限的思想，如圖2，觀察到當(dāng)A,B兩點無限接近時，直線即為拋物線在P'(x0,-y0)處的切線，因此該定值即為切線的斜率,從而學(xué)生對該定值產(chǎn)生直觀的認識，認清了問題的本質(zhì).

反思3:與“直線PA與PB斜率存在且傾斜角互補”這一語句，敘述等價的自然語言還可以怎么表述？

分析：讀懂自然語言的表述是審題的關(guān)鍵，因此掌握語言的表述至關(guān)重要，該語句還可以表述為：“過點P作x軸的垂線，其恰好是∠APB平分線”; “直線PA與PB分別交x軸于C,D兩點，ΔACD為等腰三角形”；“直線PA與PB關(guān)于直線y=y0對稱”等等.

反思4:若kAB=-1，P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線上，直線PA與PB斜率存在時，問傾斜角是否互補？

分析：顯然這是結(jié)論與題設(shè)的互相交換，是命題中的常用方法，經(jīng)計算，當(dāng)kAB=-1時，可以得到kPA+kPB=0，所以傾斜角互補.這種變式在平時應(yīng)該多反思，多嘗試，多訓(xùn)練.

反思5:若已知斜率為定值-1的直線AB與拋物線交于A,B兩點，是否在拋物線上存在定點P,使得kPA+kPB=0？

分析：題設(shè)與結(jié)論互相交換，把定值問題又轉(zhuǎn)化為定點問題，經(jīng)計算，存在定點P(1,2)，使得kPA+kPB=0.通過這樣的變式反思，學(xué)生能把問題看得更清楚，更全面.從而學(xué)會自己提出問題，并解決問題.

針對以上的反思，從題設(shè)的關(guān)鍵詞入手，在教師的引導(dǎo)下一起作出如下的探究問題.

探究1 不改變題設(shè)的其他條件,第二問改成滿足條件kPA+kPB=1(為了計算方便故取和為1)，那么直線AB的斜率還會是定值嗎？

分析：利用方法一和方法二的運算，發(fā)現(xiàn)直線的斜率不是定值了，再利用方法三的運算：設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,聯(lián)立

探究2 若滿足條件kPA·kPB=1(為了計算方便故取積為1)，直線AB又具備什么性質(zhì)？

分析：同探究1，通過計算容易發(fā)現(xiàn)直線AB的斜率也不是定值，且計算得到直線AB過定點(-3,-2).

探究3 由探究1、2你能大膽猜想一般的情況嗎？

分析：探究3由于時間關(guān)系，不作課堂上處理，只是提出問題，并猜想：斜率和為定值，斜率積為定值時，直線具備過定點的性質(zhì)，有興趣的同學(xué)課后自行探究一般情況，無需記憶.因為涉及直線與圓錐曲線的性質(zhì)有上百條，避免增加學(xué)生負擔(dān)，不可能都去記憶.筆者認為了解問題的背景，掌握處理問題的方法比記一些結(jié)論更有效，這也是本堂課的目標所在.

探究4 過拋物線內(nèi)一定點(3,-2)的直線交拋物線于A,B兩點，問kPA·kPB是否為定值？

分析：還是條件與結(jié)論互換，通過計算容易得到kPA·kPB為定值-2.

探究5 類比橢圓與雙曲線是否也能得到類似的結(jié)論(課后探究)？

分析：圓錐曲線的性質(zhì)往往具備相通性，同樣的問題在不同的曲線中經(jīng)常會有共同的解法和共同的性質(zhì)，讓學(xué)生學(xué)會用聯(lián)系的觀點看問題，達到融會貫通.

環(huán)節(jié)3:考題再現(xiàn)，收獲成功

圖3

例2 (2017浙江4月學(xué)考)如圖3,已知拋物線C:y2=2px過點A(1,1).

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點P(3,-1)的直線與拋物線C交于M,N兩個不同的點M,N(均與點A不重合).設(shè)直線AM,AN的斜率分別為k1,k2，求證：k1·k2為定值.

解： (1)y2=x(過程略).

有了前面的反思與探究，再回顧這個學(xué)考題，如同囊中取物，唾手可得！學(xué)生的積極性與自信心得到極大的激發(fā).

課后反思：圓錐曲線是歷年高考的重點，也是整張試卷得分的分水嶺，因此在復(fù)習(xí)中如何高效復(fù)習(xí)一直是一線教師的困惑，并為之努力追求效益最大化.本節(jié)課共2課時，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展過程，達到兩個目標，其一：體會在直線與拋物線的綜合運用中，直線方程的設(shè)法對解題的影響，提高運算能力，掌握通性通法：其二：通過對一個定值問題的反思，認清問題的來龍去脈，展開一系列的探究，初步掌握一類定值問題和定點問題的解決方法.通過兩個目標的達成，讓學(xué)生學(xué)會反思，學(xué)會探究，掌握解決直線與圓錐曲線的一般處理方法.課堂實踐證明這是一種行之有效的復(fù)習(xí)方式.