圓的標準方程與一般方程的特點與分析

劉樂瑤

摘 要：圓的標準方程與一般方程各具特點，但都是我們所需要掌握的重要內(nèi)容。通過標準方程能夠?qū)σ话惴匠踢M行推導，能夠讓我們更好地理解圓的特點和相關(guān)知識。本文對圓的標準方程與一般方程進行分析，以供參考。

關(guān)鍵詞：圓的標準方程 圓的一般方程 分析研究

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2018）07-0-01

一、圓的標準方程分析

圓的標準方程為。在圓的標準方程中，包含有a、b、r這三個參數(shù)，也就是圓心坐標為（a，b），只需要將a、b、r計算出來，就可以確定圓的方程。所以，在對圓方程進行確定的過程中，應(yīng)當具備三個獨立的條件，圓的定位條件就是圓心坐標，圓的定形條件就是其半徑。[1]

1.圓的方程

當時，則圓心O的坐標為（0，0），我們將其稱之為1單位的圓；

當時，則圓心O的坐標為（0，0），其半徑為r；

當時，則圓心O的坐標為（a，b），其半徑為r。

在對圓的方程進行確定的過程中，主要是對待定系數(shù)法這一方法進行運用，也就是將有關(guān)a、b、r的方程組列出來，將a、b、r分別計算出來，亦或是將圓心（a，b）與半徑r計算出來，通常情況下，其步驟是：

依據(jù)有關(guān)題意，將圓的標準方程列出來；

依據(jù)相關(guān)已知條件，對有關(guān)a、b、r的方程組進行建構(gòu)；

對所建構(gòu)的方程組進行計算，分別將a、b、r的數(shù)值計算出來，將所計算的數(shù)值帶入到圓的標準方程中去，進而就可以將所求圓的方程計算出來。

2.方程推導

平面直角坐標系中，圓心O的坐標為（a，b），點P是圓中任意一點，其坐標為（x，y）。

圓屬于平面到定點距離等于定長的所有點的集合。[2]

因此，，分別將兩邊平方，可以得出。

3.點與圓

關(guān)于點P（x1，y1）與圓（x-a）2+（y-b）2=r2的位置關(guān)系：

當?shù)那闆r下，那么點P位于圓外；

當?shù)那闆r下，那么點P位于圓上；

當?shù)那闆r下，那么點P位于圓內(nèi)。

4.直線與圓的位置關(guān)系

在平面圖形中，在判定直線和圓的位置關(guān)系時，通常運用以下方法：

通過 其中B不等于0，可以得出關(guān)于x的一元二次方程。通過判別式的符號，就可以對圓與直線的位置關(guān)系進行確定，其位置關(guān)系如下：

倘若，那么圓與直線存在兩個交點，二者是相交關(guān)系；

倘若，那么圓與直線存在一個交點，二者是相切關(guān)系；

倘若，那么圓與直線不存在交點，二者是相離關(guān)系。

如果B=0，使y=b，那么就可以將兩個X值x1、x2計算出來，且規(guī)定，則：

倘若或者的情況下，二者是相離關(guān)系；

倘若的情況下，二者是相交關(guān)系。

幾何法：

將圓心到直線的距離d計算出來，半徑為r：

倘若，則二者是相離關(guān)系；

倘若，則二者是相切關(guān)系；

倘若，則二者是相交關(guān)系。

二、圓的一般方程

1.一般方程

圓的標準方程是與x和y相關(guān)二次方程，將元的標準方程展列開來，并根據(jù)x、y的降冪進行排列，可以得出：

假設(shè)D=-2a，E=-2b，F(xiàn)=a2+b2-R2，那么方程可以轉(zhuǎn)換成：

任何圓的方程都可以用以上形式來進行表示，相比較于一般形式的二元二次方程，其具有以下特征：

（1）x2項的系數(shù)等同于y2項的系數(shù)，并且二者不為0；

（2）該方程中不存在xy的乘積項。

2.推導過程

我們已經(jīng)得知圓的標準方程為，將其左半部分展開，可以得出：，在該方程中，假設(shè)，，，那么?？梢詫⒃匠瘫硎緸椋?。

3.推論

由此說明，一般情況下，將代表一個圓，所以，通過對一般方程進行配方運算，可以得出：

相比較于標準方程，可以判定：

（1）當?shù)那闆r下，一般方程的圓心可以用表示，圓的半徑則為。

（2）當?shù)那闆r下，一般方程只可以用一個點表示，這種半徑為零的圓稱之為點圓。

（3）當?shù)那闆r下，不存在任何點的坐標能夠與圓的一般方程相滿足，也就是說一般方程不能將任何圖形表述出來，這種情況我們稱之為虛圓。

三、圓的標準方程和一般方程之間關(guān)系

圓的標準方程與一般方程具有各自的優(yōu)勢，其中，圓的標準方程的優(yōu)勢就是能夠?qū)A心與半徑明確地指示出來，然而通過圓的一般方程，能夠?qū)⒎匠淌街械奶卣魍伙@出來，有助于對曲線的形狀開展相關(guān)區(qū)分工作。[3]

例題：計算方程的軌跡

解：在該方程中x2項與y2項的系數(shù)均為1，且不存在xy項，其與圓的方程形式相同，將該方程式進行配方可以得出：

，由此可以得出，該方程的軌跡就是一個圓，其圓心為點（1，-2），該圓的半徑為4。

此外，對于圓的標準方程與一般方程之間的關(guān)系予以深入了解，也能夠讓我們對于其他問題予以很好解決，對于我們相關(guān)知識點的學習起到重要輔助作用。

圓的方程作為數(shù)學領(lǐng)域中極為重要的知識，需要我們學習和掌握。通過對其推導過程的了解，我們能夠?qū)接懈羁痰恼J識，對公式也能夠更好地加以應(yīng)用。在此方面還有很大的提升空間，對于其相應(yīng)特點需要深入研究與探索，在圓的方程應(yīng)用方面同樣也需要不斷進行探索。

參考文獻

[1]陳冰.翻轉(zhuǎn)課堂在中職數(shù)學教學中的應(yīng)用初探——《圓的標準方程》的教學實踐有感[J].職業(yè)，2017（35）：100-101.

[2]馮柱.淺談思維導圖在《圓的一般方程》教學中的應(yīng)用[J].讀與寫（教育教學刊），2016，13（09）：103-104.

[3]李適君.淺談數(shù)學課堂的有效引入——以《圓的標準方程》為例[J].學周刊，2015（13）：90-91.