絕知此路不虛探 又得曲線一共性*
——一道高考數(shù)學(xué)題的多角度探究與拓展

●

(貴州師范大學(xué)，貴州 貴陽 550025)

1 試題呈現(xiàn)

高考試題凝聚了命題人的心血和時代的理念，每一道試題都經(jīng)過命題者的反復(fù)考量與打磨.解析幾何中主要蘊含的數(shù)學(xué)思想是借助平面直角坐標(biāo)系，用代數(shù)的方法來研究幾何問題，這就體現(xiàn)了解析幾何具有代數(shù)與幾何的雙重身份.圓錐曲線是解析幾何的重要部分，對于圓錐曲線問題的解決，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生從代數(shù)和幾何兩大維度進(jìn)行多方面探究和思考，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.“課堂教學(xué)要立足基礎(chǔ)，高于基礎(chǔ)，挖掘本質(zhì)，探尋聯(lián)系，這也是素質(zhì)教育的一種體現(xiàn)”[1]，本文以2018年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第19題的第2)小題為例，探討解題策略，并進(jìn)行推廣.

圖1

1)當(dāng)l⊥x軸時，求直線AM的方程；

2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA=∠OMB.

(2018年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第19題)

分析這是一道經(jīng)典的圓錐曲線試題，其特點體現(xiàn)在：橢圓與直線的結(jié)合、直線過橢圓的焦點、定點M、求證兩角相等，有著較強的幾何意味.要解決此問題，通常有3個視角：1)將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用代數(shù)的方法解決此問題；2)從幾何的角度解決問題，用圖形的代數(shù)特點幫助達(dá)成幾何目標(biāo)；3)兩者的折中，幾何與代數(shù)相互交融，互相補充，最終解決數(shù)學(xué)問題.

2 解題策略

2.1 代數(shù)視角

根據(jù)學(xué)生的已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，要說明兩條直線與x軸的夾角相等，從代數(shù)的角度就是要說明兩直線的斜率互為相反數(shù)，因此較容易想到如下證法：

證法1(將角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系)設(shè)直線AM，BM的斜率分別為k1，k2，分情況討論：

由第1)小題可知，當(dāng)直線l⊥x軸時，k1=-k2，即直線AM，BM的斜率互為相反數(shù)，傾斜角互補，故∠OMA=∠OMB.

當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l:y=k(x-1)，點A(x1,y1)，點B(x2,y2)，聯(lián)立

得

(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,

從而

即直線AM，BM的斜率互為相反數(shù)，傾斜角互補，故∠OMA=∠OMB.

證法2(巧設(shè)直線方程，簡化計算)設(shè)直線AM，BM的斜率分別為k1，k2，分情況討論：

當(dāng)直線l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°；當(dāng)直線l與x軸不重合時，設(shè)直線l:my=x-1，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立

得

(m2+2)y2+2my-1=0，

從而

即直線AM，BM的斜率互為相反數(shù)，傾斜角互補，故∠OMA=∠OMB.

評注以上兩種證法本質(zhì)上是一樣的，都是通過聯(lián)立方程表示出點A，B坐標(biāo)之間的關(guān)系,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合兩直線的斜率表達(dá)式，最終證明兩直線的斜率互為相反數(shù)，從而得出問題的證明.證法2相對于證法1是在數(shù)學(xué)運算上的改進(jìn)，改變了直線l方程的設(shè)法，適當(dāng)簡化了運算過程.

2.2 幾何、代數(shù)融合的視角

代數(shù)視角通過證明兩直線的斜率相等得出證明，方法直接，運算卻稍顯復(fù)雜.該視角下讓幾何與代數(shù)適度融合，將兩角相等轉(zhuǎn)化為兩角的正切值相等或點到直線的距離相等的問題，再用代數(shù)的方法計算線段的長度，在一定程度上降低了計算難度.

證法3(利用兩角正切值求證兩角相等)假設(shè)直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=k(x-1)，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2).要證∠OMA=∠OMB，只需證明tan∠OMA=tan∠OMB即可.

由題意可知M(2,0)，從而

于是

即

(2-x1)y2=(x2-2)y1.

進(jìn)而 (2-x1)y2-(x2-2)y1=

-2kx1x2+3k(x1+x2)-4k=0,

即

tan∠OMA=tan∠OMB,

故

∠OMA=∠OMB.

圖2

k(x1-1)x-(x1-2)y-2k(x1-1)=0，

k(x2-1)x-(x2-2)y-2k(x2-1)=0.

要使∠OMA=∠OMB，只需d1=d2,d1,d2是點F到MA,MB的距離，其中

假設(shè)d1=d2，即

兩邊平方,得

于是d1=d2，故∠OMA=∠OMB.

評注以上兩種方法直接從兩角相等的幾何意義入手，思路清晰，凸顯幾何和代數(shù)之間聯(lián)系的緊密性，使得數(shù)學(xué)運算得到了簡化.

2.3 幾何視角

要證明兩個角相等，可將要證相等的兩個角構(gòu)造于兩個三角形中，通過證明兩個三角形相似，進(jìn)而得到兩個角相等.

圖3

作橢圓的準(zhǔn)線l:x=2，過點A作AD⊥l于點D，過點B作BE⊥l于點E.根據(jù)平行線分線段成比例，得

即

從而在Rt△ADM與Rt△BEM中，tan∠AMD=tan∠BME，即

∠AMD=∠BME，

故

∠OMA=∠OME.

評注以上方法思路清晰，步驟簡潔，幾乎沒有復(fù)雜的代數(shù)計算.究其原因:一方面是因為點M的特殊性——恰好為準(zhǔn)線與x軸的交點，由此便可借助橢圓的第二定義；另一方面是借助幾何方法——平行線分線段成比例定理、相似三角形性質(zhì).由此再次驗證在解析幾何中，借助幾何方法，往往能夠簡化問題解決的運算過程.

3 推廣結(jié)論

綜上所述，本題第2)小題中所要證明的∠OMA=∠OMB，從5個角度入手均可證.由證法5可知，利用橢圓第二定義是證明∠OMA=∠OMB的關(guān)鍵，主要考查學(xué)生對于橢圓性質(zhì)和定義的掌握以及應(yīng)用.在高中階段橢圓、雙曲線、拋物線相關(guān)性質(zhì)和定義構(gòu)成了圓錐曲線的知識框架，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，借助橢圓第二定義(即證法5)解決第2)小題得到啟示：

圖4

證明同證法5(略).

圖5

證明如圖5，過點A作AE⊥l于點E，過點B作BG⊥l于點G.根據(jù)平行線分線段成比例，得

從而在Rt△AEM與Rt△BGM中，tan∠AME=tan∠BMG，即

∠AME=∠BMG,

故

∠OMA=∠OMB.

圖6

證明如圖6，過點A作AE⊥l于點E，過點B作BG⊥l于點G.根據(jù)平行線分線段成比例，得

從而在Rt△AEM與Rt△BGM中,

tan∠AME=tan∠BMG,

即

∠AME=∠BMG，

故

∠FMA=∠FMB.

4 總結(jié)

波利亞對探索解題思路的過程建議分兩步：第一，努力在已知和未知之間找出直接的聯(lián)系；第二，如果找不出直接的聯(lián)系，就對原來的問題做出某些必要的變更或修改，引進(jìn)輔助問題[2].在解決問題時，必須對已經(jīng)給出的有效條件進(jìn)行分析，進(jìn)而深入挖掘內(nèi)含信息，內(nèi)含信息的構(gòu)建往往是解決問題的關(guān)鍵所在.

在本題中要使∠OMA=∠OMB得到證明，必須找出與兩個角相等相關(guān)的內(nèi)含信息：斜率、正切值、橢圓第二定義、角平分線的性質(zhì)等，從這幾個角度切入均可證∠OMA=∠OMB.通過5個角度的分析，從證法5中得到啟示：在雙曲線和拋物線中，如果滿足在橢圓中的條件，則也滿足求證的結(jié)論∠OMA=∠OMB.因此將該啟示拓展到雙曲線和拋物線中并證明，以期為學(xué)生和教師提供解決圓錐曲線的途徑和方法.