數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)學(xué)生的再創(chuàng)造過程*
——以“兩條直線的平行和垂直”教學(xué)為例

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(常州市第二中學(xué),江蘇 常州 213003)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種再創(chuàng)造的過程.弗賴登塔爾說(shuō)過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行‘再創(chuàng)造’，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或者創(chuàng)造出來(lái).教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生.”[1]如何有效引導(dǎo)和幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造就成了教師首當(dāng)其沖要解決的問題，本文結(jié)合筆者開設(shè)的蘇教版高中《數(shù)學(xué)(必修2)》中“兩條直線的平行和垂直”公開課為例，就如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)再創(chuàng)造的過程，談?wù)勛约旱膶?shí)踐和思考.

1 教材分析

本節(jié)內(nèi)容選自蘇教版高中《數(shù)學(xué)(必修2)》第2.1節(jié)，學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了用坐標(biāo)表示平面幾何基本圖形中的點(diǎn)、線,用代數(shù)對(duì)象的有序?qū)崝?shù)對(duì)和方程表示幾何對(duì)象的點(diǎn)、線,在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步學(xué)習(xí)利用代數(shù)方程精確研究線與線之間的位置關(guān)系.解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題，核心思想是坐標(biāo)法思想[2].因此，在教學(xué)中要突出坐標(biāo)法思想，即通過建立坐標(biāo)系，把幾何對(duì)象轉(zhuǎn)化為代數(shù)對(duì)象，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用代數(shù)的工具、方法研究并獲得結(jié)論，然后再解釋幾何現(xiàn)象.

2 學(xué)情分析

平面幾何是學(xué)生初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過的內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)掌握了判斷線線位置關(guān)系的方法，這可以為新的判斷方法提供知識(shí)基礎(chǔ).本節(jié)課蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、分類討論、坐標(biāo)法等重要的思想方法，對(duì)思維嚴(yán)謹(jǐn)性要求較高.學(xué)生易于掌握線線平行和垂直的斜率關(guān)系，但是對(duì)于位置關(guān)系中的重合和斜率不存在的情況容易忽視.

3 教學(xué)目標(biāo)

結(jié)合教材分析和學(xué)情分析，設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)如下：

1)掌握用斜率判定兩條直線平行和垂直的方法，能夠判斷簡(jiǎn)單的線線位置關(guān)系；

2)讓學(xué)生進(jìn)一步感受坐標(biāo)法思想在研究幾何問題中的重要作用；

3)通過分類討論和數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

教學(xué)重點(diǎn)：掌握兩條直線平行和垂直時(shí)斜率的關(guān)系.

教學(xué)難點(diǎn)：線線平行和垂直需要考慮直線重合和斜率不存在的情況.

4 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

4.1 課題引入

問題1前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用坐標(biāo)系把平面幾何中的基本圖形點(diǎn)、線轉(zhuǎn)為代數(shù)對(duì)象的有序?qū)崝?shù)對(duì)、方程進(jìn)行表示.研究完基本圖形后，可以繼續(xù)利用坐標(biāo)系研究與點(diǎn)、線有關(guān)的哪些內(nèi)容？

生1：可以研究點(diǎn)與線、線與線的位置關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生習(xí)慣了教師給出學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生自己提出課題，這對(duì)學(xué)生思維有一定的挑戰(zhàn).在教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧平面幾何的學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生能夠提出課題，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)研究，從而充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性.

師：這些都是接下來(lái)要研究的內(nèi)容，本節(jié)課我們首先研究線與線的位置關(guān)系.直線l1,l2的位置關(guān)系有哪些？

生2：平行、相交、重合.

師：本節(jié)課我們主要研究線線平行和垂直.

圖1

問題2觀察圖1，直線l1,l2的位置關(guān)系是什么？

生3：平行.

師：你是怎么知道它們平行的？

生3：看起來(lái)平行.

師：看起來(lái)平行一定平行嗎？

生3：不一定，根據(jù)直線的無(wú)限延伸性，看起來(lái)平行，也有可能相交.

4.2 建構(gòu)概念

師：幾何直觀不夠精確，不能作為判斷平行的依據(jù)，你能利用所學(xué)的知識(shí)去判斷直線平行嗎？

設(shè)計(jì)意圖問題2是本節(jié)課設(shè)計(jì)的問題情境，這里給出的兩條直線不是平行的，形雖然直觀，但是容易有誤差.如何說(shuō)明直線平行，把學(xué)生推入思維的困境，他們就會(huì)思考如何才能準(zhǔn)確判斷直線平行，代數(shù)方法研究就有了必要性.

生4：利用同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角來(lái)判斷直線平行.

師：你怎么利用這些知識(shí)來(lái)判斷？

生4：在圖1中畫一條直線與這兩條直線相交.

師：聯(lián)系我們前面剛學(xué)的知識(shí)，這條線可以是哪條線？

生4：x軸.

師：這時(shí)直線與x軸正方向所成角也稱為傾斜角，傾斜角是對(duì)直線傾斜程度的刻畫，還有什么量也可以刻畫？

生4：斜率.

師：如何利用傾斜角和斜率來(lái)判斷直線平行？

生4：首先要建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)計(jì)意圖教學(xué)中要突出坐標(biāo)法的思想，坐標(biāo)法的第一步就是建立坐標(biāo)系.“為什么要建系，如何想到要建系”這是非常有價(jià)值的教學(xué)點(diǎn).通過設(shè)問，學(xué)生自己感受建立坐標(biāo)系的必要性，從而滲透坐標(biāo)法思想在解決幾何問題中的重要作用.

圖2

問題3觀察圖2，當(dāng)直線l1,l2平行時(shí)，它們的傾斜角有什么關(guān)系？

生5：傾斜角相等.

師：為什么？

生5：因?yàn)閮A斜角就是同位角，兩直線平行，同位角相等.

問題4當(dāng)直線l1,l2平行時(shí)，它們的斜率有什么關(guān)系呢？

生6：斜率相等.

師：能不能說(shuō)“若直線l1,l2平行，則斜率相等”？

生6：當(dāng)斜率存在，兩條直線平行，則斜率相等.

師：直線l1,l2平行可以推出斜率相等，反過來(lái)，直線l1,l2斜率相等可以推出平行嗎？

生7：需要指出直線l1,l2不重合.

師：當(dāng)直線l1,l2斜率不存在時(shí)，且l1,l2不重合，則l1∥l2.

總結(jié)當(dāng)直線l1,l2斜率存在時(shí)，有

當(dāng)直線l1,l2斜率不存在，且l1,l2不重合時(shí)，l1∥l2.

師：回到問題情境，請(qǐng)利用所學(xué)知識(shí)判斷圖1中的直線是否平行？

生8：首先需要在兩條直線上各取兩個(gè)點(diǎn)，然后度量坐標(biāo)，再計(jì)算斜率，判斷斜率是否相等就可以判斷直線的位置關(guān)系.

圖3

學(xué)生敘述方法，教師利用幾何畫板軟件進(jìn)行操作，如圖3，發(fā)現(xiàn)斜率不相等，則直線l1,l2不平行.然后對(duì)直線l1,l2進(jìn)行延伸，找到兩條直線的交點(diǎn)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)代數(shù)方法研究幾何問題的精確性的認(rèn)同.

師：利用坐標(biāo)系從代數(shù)角度可以精確研究直線的平行，光從形的角度容易出現(xiàn)誤差，華羅庚先生曾說(shuō)過：“形少數(shù)時(shí)難入微”，就是這個(gè)意思.

通過回顧問題情境，教師向?qū)W生展示坐標(biāo)法思想，具體如下：

問題5觀察圖4和圖5中的兩組直線l1，l2，它們是什么位置關(guān)系？

圖4 圖5

圖6

教師首先展示圖4和圖5，給出垂直時(shí)傾斜角的關(guān)系：β=α+90°，0°<α<90°，90°<β<180°；繼而讓學(xué)生猜想一般情況下線線垂直的斜率關(guān)系(如圖6)，猜想：l1⊥l2?k1k2=-1.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生難以直接發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線l1⊥l2時(shí)的斜率關(guān)系，這里采用從特殊到一般的方法，讓學(xué)生通過具體實(shí)例，猜想k1k2=-1；再讓直線動(dòng)起來(lái)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線l1⊥l2時(shí)，始終有k1k2=-1，從而驗(yàn)證猜想的正確性.

師：通過操作能否說(shuō)明“若直線l1⊥l2，則k1k2=-1”？

生(眾)：不可以，需要給出證明.

師：請(qǐng)利用條件“k=tanα,其中α≠90°，β=α+90°，0°<α<90°”給出證明.

設(shè)計(jì)意圖這是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生可以類比利用直線傾斜角的等式關(guān)系，推導(dǎo)出斜率關(guān)系，教師可以放手讓學(xué)生去推導(dǎo).

學(xué)生得到：

k1k2= tanαtanβ=tanαtan(α+90°)=

思考當(dāng)k1k2=-1時(shí)，直線l1,l2垂直嗎？你能將上述的發(fā)現(xiàn)總結(jié)一下嗎？

設(shè)計(jì)意圖給學(xué)生總結(jié)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生自己提出需要注意斜率不存在的情況，強(qiáng)化學(xué)生的分類討論意識(shí).

總結(jié)設(shè)直線l1,l2的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1，k2都存在時(shí)，l1⊥l2?k1k2=-1；當(dāng)k1不存在、k2=0時(shí)，l1⊥l2.

4.3 課堂練習(xí)

例1已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)(-1,-2),(1,2)，判斷下列直線與l1的位置關(guān)系.

1)直線l2經(jīng)過點(diǎn)(3,1),(5,5)；

2)直線l3經(jīng)過點(diǎn)(-2,1),(2,-1)；

3)直線l4經(jīng)過點(diǎn)(2,4),(3,6).

答案1)l1∥l2；2)l1⊥l2；3)重合.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)判斷直線之間的位置關(guān)系，強(qiáng)化對(duì)公式的掌握.第3)小題的設(shè)計(jì)是讓學(xué)生了解畫圖的重要性，利用斜率判斷平行無(wú)法排除重合的情況.解析幾何本質(zhì)上是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，解析幾何兼具“形”“數(shù)”兩個(gè)方面的特點(diǎn)，畫出圖形，利用圖形的幾何直觀能夠讓我們預(yù)判直線的位置關(guān)系，然后再用代數(shù)方法加以驗(yàn)證，這正是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).

例2已知△ABC的頂點(diǎn)為A(2,-1),B(-1,1)，C(3,7),

1)試判斷△ABC的形狀；

2)求過點(diǎn)B與AC平行的直線l1的方程；

3)求過點(diǎn)B與AC垂直的直線l2的方程.

答案1)直角三角形；2) 8x-y+9=0；3)x+8y-7=0.

設(shè)計(jì)意圖通過例2的教學(xué)，繼續(xù)強(qiáng)化學(xué)生解決解析幾何問題的畫圖意識(shí).

4.4 課堂總結(jié)

問題6本節(jié)課你有哪些收獲，請(qǐng)從知識(shí)層面和思想方法層面進(jìn)行總結(jié).

問題7接下來(lái)，我們還可以繼續(xù)利用坐標(biāo)系研究平面幾何的哪些內(nèi)容？

設(shè)計(jì)意圖總結(jié)反思是一節(jié)課的提升，是學(xué)生收獲戰(zhàn)利品的時(shí)候，十分重要，不能走形式，要給予學(xué)生必要的時(shí)間總結(jié)內(nèi)化.問題7的提出，讓知識(shí)學(xué)習(xí)具有系統(tǒng)性和連續(xù)性，從而激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究的欲望.

5 教學(xué)反思

1)充分了解學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是再創(chuàng)造的前提.

2)創(chuàng)設(shè)有效問題情境，是再創(chuàng)造的關(guān)鍵.

問題情境是一節(jié)課至關(guān)重要的部分，好的開始是成功的一半.好的問題情境能夠一下子吸引學(xué)生的興趣和注意力.筆者在最初進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)發(fā)現(xiàn)教材給出的情境設(shè)計(jì)很簡(jiǎn)單，直接給出了直線平行和垂直的斜率關(guān)系，然后加以證明就結(jié)束了.筆者在查閱相關(guān)資料后，發(fā)現(xiàn)本節(jié)課主要有兩種問題情境的設(shè)計(jì)模式：一類給出建筑物平行和垂直的實(shí)例，然后引入課題；另一類是給出幾組具體的直線平行和垂直的方程，讓學(xué)生畫圖發(fā)現(xiàn)特殊的位置關(guān)系，再一般化研究.前者設(shè)計(jì)的問題情境在課題引出后就失去了價(jià)值，后者則過于平淡，兩者都難以有效體現(xiàn)再創(chuàng)造的過程.

為什么初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過的直線平行和垂直在高中階段還要再學(xué)習(xí)？學(xué)生是存在困惑的，抓住這一點(diǎn)，筆者給出了一組看似平行實(shí)則相交的直線讓學(xué)生去判斷位置關(guān)系，學(xué)生認(rèn)為平行，卻沒有合適的方法去證明，就會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知沖突，就有自發(fā)學(xué)習(xí)新知的內(nèi)在需求.問題情境的設(shè)計(jì)能有效體現(xiàn)形的直觀但容易有偏差，為了彌補(bǔ)形的不足，需要建立坐標(biāo)系，利用代數(shù)方法的精確研究直線的位置關(guān)系，使得教學(xué)過程順其自然.教師帶著疑惑，引導(dǎo)學(xué)生自主探究出直線平行的斜率關(guān)系，再回到問題情境，讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)去解決問題情境提出的問題.這樣的設(shè)計(jì)讓問題情境不再只是點(diǎn)綴，而是使學(xué)生浸潤(rùn)于問題情境中，通過自主思考，探索解決問題的方法，學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)中獲得成就感.

3)大膽留白，是再創(chuàng)造的保障.

學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，再好的教學(xué)設(shè)計(jì)，如果學(xué)生的思維沒有參與，那么將會(huì)事倍功半.教師往往替學(xué)生想的太多、包辦的太多，使得教學(xué)設(shè)計(jì)過于“飽滿”，留給學(xué)生思考的余地很少，學(xué)生的思維能力很難得到提高發(fā)展.教師要做的就是設(shè)計(jì)具有啟發(fā)性和目的性的好問題，在教學(xué)中大膽留白，讓學(xué)生去思考探索，去展示交流想法，把學(xué)生充分卷進(jìn)課堂中來(lái)，這樣才能真正體現(xiàn)學(xué)生的主體性地位，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的再創(chuàng)造.